კვადრატული განტოლების თვისებების შესწავლისას დაწესდა შეზღუდვა - ნულზე ნაკლები დისკრიმინანტისთვის, ამონახსნი არ არსებობს. მაშინვე განისაზღვრა, რომ საუბარია რეალური რიცხვების ერთობლიობაზე. მათემატიკოსის ცნობისმოყვარე გონება დაინტერესდება - რა არის საიდუმლო, რომელიც შეიცავს პუნქტს რეალური მნიშვნელობების შესახებ?
დროთა განმავლობაში მათემატიკოსებმა შემოიღეს რთული რიცხვების ცნება, სადაც მეორე ფესვის პირობითი მნიშვნელობა მინუს ერთის ერთეულად არის აღებული.
ისტორიული ფონი
მათემატიკური თეორია ვითარდება თანმიმდევრულად, მარტივიდან რთულამდე. მოდით გავარკვიოთ, როგორ გაჩნდა კონცეფცია სახელწოდებით "კომპლექსური რიცხვი" და რატომ არის ის საჭირო.
უხსოვარი დროიდან მათემატიკის საფუძველი იყო ჩვეულებრივი ანგარიში. მკვლევარებმა იცოდნენ მხოლოდ ღირებულებების ბუნებრივი ნაკრები. შეკრება და გამოკლება მარტივი იყო. რაც უფრო რთული გახდა ეკონომიკური ურთიერთობები, გამრავლების გამოყენება დაიწყო იგივე მნიშვნელობების დამატების ნაცვლად. არსებობს საპირისპირო ოპერაციაგამრავლება - გაყოფა.
ნატურალური რიცხვის კონცეფცია ზღუდავდა არითმეტიკული მოქმედებების გამოყენებას. შეუძლებელია ყველა გაყოფის ამოცანის ამოხსნა მთელი რიცხვების სიმრავლეზე. წილადებთან მუშაობამ გამოიწვია ჯერ რაციონალური მნიშვნელობების კონცეფცია, შემდეგ კი ირაციონალური მნიშვნელობები. თუ რაციონალისთვის შესაძლებელია ხაზის წერტილის ზუსტი მდებარეობის მითითება, მაშინ ირაციონალურისთვის შეუძლებელია ასეთი წერტილის მითითება. თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ მიახლოებითი ინტერვალი. რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების გაერთიანება ქმნიდა ნამდვილ სიმრავლეს, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გარკვეული წრფის სახით მოცემული მასშტაბით. ყოველი ნაბიჯი ხაზის გასწვრივ არის ნატურალური რიცხვი და მათ შორის არის რაციონალური და ირაციონალური მნიშვნელობები.
თეორიული მათემატიკის ერა დაიწყო. ასტრონომიის, მექანიკის, ფიზიკის განვითარება მოითხოვდა უფრო და უფრო რთული განტოლებების ამოხსნას. ზოგადად, ნაპოვნი იქნა კვადრატული განტოლების ფესვები. უფრო რთული კუბური მრავალწევრის ამოხსნისას მეცნიერები წინააღმდეგობაში წავიდნენ. კუბის ფესვის კონცეფცია უარყოფითიდან აზრი აქვს, მაგრამ კვადრატული ფესვისთვის მიიღება გაურკვევლობა. უფრო მეტიც, კვადრატული განტოლება მხოლოდ კუბურის განსაკუთრებული შემთხვევაა.
1545 წელს იტალიელმა ჯ. კარდანომ შემოგვთავაზა წარმოსახვითი რიცხვის ცნების შემოღება.
ეს რიცხვი არის მინუს ერთის მეორე ფესვი. ტერმინი რთული რიცხვი საბოლოოდ ჩამოყალიბდა მხოლოდ სამასი წლის შემდეგ, ცნობილი მათემატიკოსის გაუსის ნაშრომებში. მან შესთავაზა ალგებრის ყველა კანონის ოფიციალურად გაფართოება წარმოსახვით რიცხვამდე. რეალური ხაზი გაფართოვდათვითმფრინავები. სამყარო უფრო დიდია.
ძირითადი ცნებები
გაიხსენეთ რამდენიმე ფუნქცია, რომლებსაც აქვთ შეზღუდვები რეალურ კომპლექტზე:
- y=arcsin(x), განსაზღვრულია უარყოფით და დადებით 1-ს შორის.
- y=ln(x), ათობითი ლოგარითმი აზრი აქვს დადებითი არგუმენტებით.
- კვადრატული ფესვი y=√x, გამოითვლება მხოლოდ x ≧ 0.
აღნიშნავთ i=√(-1), შემოგთავაზებთ ისეთ ცნებას, როგორც წარმოსახვით რიცხვს, ეს ამოიღებს ყველა შეზღუდვას ზემოაღნიშნული ფუნქციების განსაზღვრის სფეროდან. ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) აზრი აქვს რთული რიცხვების გარკვეულ სივრცეში.
ალგებრული ფორმა შეიძლება დაიწეროს როგორც გამოხატულება z=x + i×y რეალური x და y მნიშვნელობების სიმრავლეზე, და i2 =-1.
ახალი კონცეფცია ხსნის ყველა შეზღუდვას ნებისმიერი ალგებრული ფუნქციის გამოყენებასთან დაკავშირებით და ემსგავსება სწორი ხაზის გრაფიკს რეალური და წარმოსახვითი მნიშვნელობების კოორდინატებში.
კომპლექსური თვითმფრინავი
კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიული ფორმა ვიზუალურად გვაძლევს საშუალებას წარმოვადგინოთ მათი მრავალი თვისება. Re(z) ღერძზე ჩვენ აღვნიშნავთ x რეალურ მნიშვნელობებს, Im(z)-ზე - y-ის წარმოსახვითი მნიშვნელობები, შემდეგ z წერტილი სიბრტყეზე აჩვენებს საჭირო კომპლექსურ მნიშვნელობას.
განმარტებები:
- Re(z) - რეალური ღერძი.
- Im(z) - ნიშნავს წარმოსახვით ღერძს.
- z - რთული რიცხვის პირობითი წერტილი.
- ვექტორის სიგრძის რიცხვითი მნიშვნელობა ნულიდან z-მდე ეწოდებამოდული.
- რეალური და წარმოსახვითი ცულები ყოფს თვითმფრინავს მეოთხედებად. კოორდინატების დადებითი მნიშვნელობით - I მეოთხედი. როდესაც რეალური ღერძის არგუმენტი 0-ზე ნაკლებია, ხოლო წარმოსახვითი ღერძი 0-ზე მეტია - II მეოთხედი. როცა კოორდინატები უარყოფითია – III კვარტალი. ბოლო, მეოთხე კვარტალი შეიცავს ბევრ დადებით რეალურ მნიშვნელობას და უარყოფით წარმოსახვით მნიშვნელობას.
ამგვარად, სიბრტყეზე x და y კოორდინატების მნიშვნელობებით, ყოველთვის შეიძლება რთული რიცხვის წერტილის ვიზუალიზაცია. პერსონაჟი i შემოყვანილია რეალური ნაწილის წარმოსახვითისაგან გამოსაყოფად.
თვისებები
- როდესაც წარმოსახვითი არგუმენტის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ჩვენ ვიღებთ მხოლოდ რიცხვს (z=x), რომელიც მდებარეობს რეალურ ღერძზე და ეკუთვნის რეალურ სიმრავლეს.
- სპეციალური შემთხვევა, როდესაც რეალური არგუმენტის მნიშვნელობა ხდება ნული, გამოთქმა z=i×y შეესაბამება წერტილის მდებარეობას წარმოსახვით ღერძზე.
- Z=x + i×y-ის ზოგადი ფორმა იქნება არგუმენტების ნულოვანი მნიშვნელობებისთვის. მიუთითებს კომპლექსური რიცხვის დამახასიათებელი წერტილის მდებარეობას ერთ-ერთ მეოთხედში.
ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა
გაიხსენეთ პოლარული კოორდინატთა სისტემა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების sin და cos განმარტება. აშკარაა, რომ ამ ფუნქციების დახმარებით შესაძლებელია თვითმფრინავის ნებისმიერი წერტილის მდებარეობის აღწერა. ამისათვის საკმარისია ვიცოდეთ პოლარული სხივის სიგრძე და დახრილობის კუთხე რეალურ ღერძზე.
განმარტება. ∣z ∣ ფორმის ჩანაწერს გამრავლებული cos(ϴ) ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამით და წარმოსახვითი ნაწილი i ×sin(ϴ) ეწოდება ტრიგონომეტრიული კომპლექსური რიცხვი. აქ აღნიშვნა არის დახრილობის კუთხე რეალურ ღერძზე
ϴ=arg(z) და r=∣z∣, სხივის სიგრძე.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებიდან და თვისებებიდან გამომდინარეობს ძალიან მნიშვნელოვანი Moivre ფორმულა:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
ამ ფორმულის გამოყენებით მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების მრავალი სისტემის ამოხსნა. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ჩნდება ძალაუფლების ამაღლების პრობლემა.
მოდული და ფაზა
კომპლექსური ნაკრების აღწერის დასასრულებლად, ჩვენ გთავაზობთ ორ მნიშვნელოვან განმარტებას.
პითაგორას თეორემის ცოდნით, ადვილია გამოვთვალოთ სხივის სიგრძე პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში.
r=∣z∣=√(x2 + y2), ასეთ აღნიშვნას კომპლექსურ სივრცეზე ეწოდება " მოდული" და ახასიათებს მანძილს 0-დან სიბრტყის წერტილამდე.
კომპლექსური სხივის დახრილობის კუთხეს რეალურ ხაზთან ϴ ჩვეულებრივ ფაზას უწოდებენ.
განმარტება აჩვენებს, რომ რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები აღწერილია ციკლური ფუნქციების გამოყენებით. კერძოდ:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
პირიქით, ფაზა დაკავშირებულია ალგებრულ მნიშვნელობებთან ფორმულით:
ϴ=არქტანი(x/y) + μ, შესწორება μ შეყვანილია გეომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის გასათვალისწინებლად.
ეილერის ფორმულა
მათემატიკოსები ხშირად იყენებენ ექსპონენციალურ ფორმას. სიბრტყის რთული რიცხვები იწერება გამონათქვამების სახით
z=r × ei×ϴ , რაც გამომდინარეობს ეილერის ფორმულიდან.
ეს ჩანაწერი ფართოდ გამოიყენება ფიზიკური რაოდენობების პრაქტიკული გამოსათვლელად. პრეზენტაციის ფორმა ფორმაშიექსპონენციალური რთული რიცხვები განსაკუთრებით მოსახერხებელია საინჟინრო გამოთვლებისთვის, სადაც საჭირო ხდება სქემების გამოთვლა სინუსოიდური დენებით და აუცილებელია ვიცოდეთ ფუნქციათა ინტეგრალების მნიშვნელობა მოცემულ პერიოდში. თავად გამოთვლები ემსახურება როგორც ინსტრუმენტი სხვადასხვა მანქანებისა და მექანიზმების დიზაინში.
ოპერაციების განსაზღვრა
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ძირითადი მათემატიკური ფუნქციებით მუშაობის ყველა ალგებრული კანონი ვრცელდება კომპლექსურ რიცხვებზე.
ჯამური ოპერაცია
კომპლექსური მნიშვნელობების დამატებისას ემატება მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებიც.
z=z1 + z2 სადაც z1 და z2 - ზოგადი რთული რიცხვები. გამოხატვის გარდაქმნის შემდეგ, ფრჩხილების გახსნისა და აღნიშვნის გამარტივების შემდეგ, მივიღებთ ნამდვილ არგუმენტს x=(x1 + x2), წარმოსახვითი არგუმენტი y.=(y 1 + y2).
გრაფიკაზე, როგორც ჩანს, ორი ვექტორის დამატებაა ცნობილი პარალელოგრამის წესის მიხედვით.
გამოკლების ოპერაცია
მიჩნეულია შეკრების განსაკუთრებულ შემთხვევად, როდესაც ერთი რიცხვი დადებითია, მეორე უარყოფითია, ანუ მდებარეობს სარკის კვარტალში. ალგებრული აღნიშვნა ჰგავს განსხვავებას რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს შორის.
z=z1 - z2, ან, არგუმენტების მნიშვნელობების გათვალისწინებით, მიმატების მსგავსად ოპერაცია, ვიღებთ რეალურ მნიშვნელობებს x=(x1 - x2) და წარმოსახვითი y=(y1 - y2).
გამრავლება კომპლექსურ სიბრტყეზე
პოლინომებთან მუშაობის წესების გამოყენებით გამოვიყვანთ ფორმულასრთული რიცხვების ამოსახსნელად.
ზოგადი ალგებრული წესების მიხედვით z=z1×z2, აღწერეთ თითოეული არგუმენტი და ჩამოთვალეთ მსგავსი არგუმენტები. რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები შეიძლება დაიწეროს ასე:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
უფრო ლამაზად გამოიყურება, თუ გამოვიყენებთ ექსპონენციალურ კომპლექსურ რიცხვებს.
გამოთქმა ასე გამოიყურება: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
უბრალოდ, მოდულები მრავლდება და ფაზები ემატება.
დივიზიონი
როდესაც გაყოფის მოქმედება განვიხილავთ როგორც გამრავლების ინვერსიას, ჩვენ ვიღებთ მარტივ გამოხატვას ექსპონენციალური აღნიშვნით. z1 მნიშვნელობის z2-ზე გაყოფა მათი მოდულების და ფაზური სხვაობის გაყოფის შედეგია. ფორმალურად, რთული რიცხვების ექსპონენციალური ფორმის გამოყენებისას, ასე გამოიყურება:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
ალგებრული აღნიშვნის სახით რთული სიბრტყის რიცხვების გაყოფის ოპერაცია იწერება ცოტა უფრო რთულად:
z=z1 / z2.
არგუმენტების აღწერისას და პოლინომიური გარდაქმნების შესრულებისას, ადვილია მნიშვნელობების მიღებაx=x1 × x2 + y1 × y2, შესაბამისად y=x2 × y1 - x1 × y2 , თუმცა, აღწერილ სივრცეში, ეს გამოთქმა აზრი აქვს, თუ z2 ≠ 0.
ამოიღეთ ფესვი
ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი შეიძლება გამოყენებულ იქნას უფრო რთული ალგებრული ფუნქციების განსაზღვრისას - ამაღლება ნებისმიერ ხარისხზე და მასზე შებრუნებული - ფესვის ამოღებისას.
n სიმძლავრის აწევის ზოგადი კონცეფციის გამოყენებით, მივიღებთ განმარტებას:
zn =(r × eiϴ).
საერთო თვისებების გამოყენებით, გადაწერეთ როგორც:
zn =rn × eiϴ.
ჩვენ მივიღეთ მარტივი ფორმულა რთული რიცხვის ხარისხამდე ასაყვანად.
ხარისხის განსაზღვრებიდან ვიღებთ ძალიან მნიშვნელოვან შედეგს. წარმოსახვითი ერთეულის ლუწი სიძლიერე ყოველთვის არის 1. წარმოსახვითი ერთეულის ნებისმიერი კენტი ძალა ყოველთვის არის -1.
ახლა შევისწავლოთ შებრუნებული ფუნქცია - ფესვის ამოღება.
აღნიშვნის გასაადვილებლად ავიღოთ n=2. კომპლექსური სიბრტყეზე z კომპლექსური მნიშვნელობის w კვადრატული ფესვი ითვლება გამოსახულებად z=±, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი რეალური არგუმენტისთვის, რომელიც მეტია ან ტოლია. ნული. w ≦ 0-სთვის გამოსავალი არ არის.
მოდით შევხედოთ უმარტივეს კვადრატულ განტოლებას z2 =1. რთული რიცხვების ფორმულების გამოყენებით გადაწერეთ r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. ჩანაწერიდან ჩანს, რომ r2 =1 და ϴ=0, მაშასადამე, ჩვენ გვაქვს უნიკალური ამონახსნი 1-ის ტოლი.მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება მოსაზრებას, რომ z=-1 ასევე შეესაბამება კვადრატული ფესვის განმარტებას.
მოდით გავარკვიოთ რას არ ვითვალისწინებთ. თუ გავიხსენებთ ტრიგონომეტრიულ აღნიშვნას, მაშინ აღვადგენთ განცხადებას - ϴ ფაზაში პერიოდული ცვლილებით, რთული რიცხვი არ იცვლება. მოდით p აღვნიშნოთ პერიოდის მნიშვნელობა, შემდეგ გვაქვს r2 × ei2ϴ =ei(0+p), საიდანაც 2ϴ=0 + p, ან ϴ=p / 2. ამიტომ, ei0 =1 და eip/2 =-1. მივიღეთ მეორე ამონახსნი, რომელიც შეესაბამება კვადრატული ფესვის ზოგად გაგებას.
ასე რომ, რთული რიცხვის თვითნებური ფესვის მოსაძებნად, ჩვენ მივყვებით პროცედურას.
- დაწერეთ ექსპონენციალური ფორმა w=∣w∣ × ei(არგ (წ) + პკ), k არის თვითნებური მთელი რიცხვი.
- სასურველი რიცხვი ასევე წარმოდგენილია ეილერის ფორმით z=r × eiϴ.
- გამოიყენეთ ფესვის ამოღების ფუნქციის ზოგადი განმარტება r ei ϴ =∣w∣ × ei(არგ(w) + pk).
- მოდულების და არგუმენტების ტოლობის ზოგადი თვისებებიდან ვწერთ rn =∣w∣ და nϴ=arg (w) + p×k.
- კომპლექსური რიცხვის ფესვის საბოლოო ჩანაწერი აღწერილია ფორმულით z=√∣w∣ × ei ( არგ (ვ) + პკ ) / .
- შენიშვნა. ∣w∣-ის მნიშვნელობა, განსაზღვრებით,დადებითი რეალური რიცხვია, ამიტომ ნებისმიერი ხარისხის ფესვს აქვს აზრი.
ველი და კონიუგაცია
დასკვნის სახით, ჩვენ ვაძლევთ ორ მნიშვნელოვან განმარტებას, რომლებსაც მცირე მნიშვნელობა აქვს რთული რიცხვებით გამოყენებითი ამოცანების გადასაჭრელად, მაგრამ აუცილებელია მათემატიკური თეორიის შემდგომი განვითარებისთვის.
მიმატებისა და გამრავლების გამოსახულებები ქმნიან ველს, თუ ისინი აკმაყოფილებენ z რთული სიბრტყის ნებისმიერი ელემენტის აქსიომებს:
- კომპლექსური ჯამი არ იცვლება რთული ტერმინების ადგილების ცვლილებით.
- განცხადება მართალია - კომპლექსურ გამოსახულებაში ორი რიცხვის ნებისმიერი ჯამი შეიძლება შეიცვალოს მათი მნიშვნელობით.
- არსებობს ნეიტრალური მნიშვნელობა 0, რომლისთვისაც z + 0=0 + z=z მართალია.
- ნებისმიერი z-სთვის არის საპირისპირო - z, რომლის დამატება იძლევა ნულს.
- კომპლექსური ფაქტორების ადგილების შეცვლისას რთული პროდუქტი არ იცვლება.
- ნებისმიერი ორი რიცხვის გამრავლება შეიძლება შეიცვალოს მათი მნიშვნელობით.
- არსებობს ნეიტრალური მნიშვნელობა 1, რომლის გამრავლება არ ცვლის კომპლექსურ რიცხვს.
- ყოველ z ≠ 0-ზე არის z-1, რომელიც მრავლდება 1-ზე.
- ორი რიცხვის ჯამის მესამედზე გამრავლება უდრის თითოეული მათგანის ამ რიცხვზე გამრავლების ოპერაციას და შედეგების მიმატებას.
- 0 ≠ 1.
-ზე
რიცხვებს z1 =x + i×y და z2 =x - i×y ეწოდება კონიუგატს.
თეორემა. კონიუგაციისთვის, განცხადება მართალია:
- ჯუმის უღლება უდრის შეერთებულ ელემენტთა ჯამს.
- პროდუქტის კონიუგატი არისკონიუგაციების პროდუქტი.
- მიუღლების უღლება უდრის თავად რიცხვს.
ზოგად ალგებრაში ასეთ თვისებებს ველის ავტომორფიზმები ეწოდება.
მაგალითები
კომპლექსური რიცხვების მოცემული წესებისა და ფორმულების დაცვით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იმუშაოთ მათთან.
მოდით განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითები.
პრობლემა 1. განტოლების გამოყენებით 3y +5 x i=15 - 7i განსაზღვრეთ x და y.
გადაწყვეტილება. გავიხსენოთ რთული ტოლობების განმარტება, შემდეგ 3y=15, 5x=-7. ამიტომ, x=-7 / 5, y=5.
ამოცანა 2. გამოთვალეთ მნიშვნელობები 2 + i28 და 1 + i135.
გადაწყვეტილება. ცხადია, 28 არის ლუწი რიცხვი, კომპლექსური რიცხვის განსაზღვრის შედეგიდან გვაქვს i28 =1, რაც ნიშნავს, რომ გამოხატულება 2 + i. 28 =3. მეორე მნიშვნელობა, i135 =-1, შემდეგ 1 + i135 =0.
ამოცანა 3. გამოთვალეთ 2 + 5i და 4 + 3i მნიშვნელობების ნამრავლი.
გადაწყვეტილება. რთული რიცხვების გამრავლების ზოგადი თვისებებიდან ვიღებთ (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). ახალი მნიშვნელობა იქნება -7 + 26i.
ამოცანა 4. გამოთვალეთ განტოლების ფესვები z3 =-i.
გადაწყვეტილება. რთული რიცხვის პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს. განვიხილოთ ერთ-ერთი შესაძლო. განმარტებით, ∣ - i∣=1, -i ფაზა არის -p / 4. თავდაპირველი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც r3ei3ϴ =e-p/4+pk, საიდანაც z=e-p / 12 + pk/3, ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის k.
გადაწყვეტილებების კომპლექტს აქვს ფორმა (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
რატომ გვჭირდება რთული რიცხვები
ისტორიამ ბევრი მაგალითი იცის, როდესაც მეცნიერები, რომლებიც მუშაობენ თეორიაზე, არც კი ფიქრობენ მათი შედეგების პრაქტიკულ გამოყენებაზე. მათემატიკა, უპირველეს ყოვლისა, გონების თამაშია, მიზეზ-შედეგობრივი ურთიერთობების მკაცრი დაცვა. თითქმის ყველა მათემატიკური კონსტრუქცია დაყვანილია ინტეგრალური და დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნით, ხოლო ისინი, თავის მხრივ, გარკვეული მიახლოებით, იხსნება მრავალწევრების ფესვების მოძიებით. აქ პირველად ვხვდებით წარმოსახვითი რიცხვების პარადოქსს.
მეცნიერები ბუნებისმეტყველები, რომლებიც წყვეტენ სრულიად პრაქტიკულ ამოცანებს, მიმართავენ სხვადასხვა განტოლების ამონახსნებს, აღმოაჩენენ მათემატიკურ პარადოქსებს. ამ პარადოქსების ინტერპრეტაციას მივყავართ აბსოლუტურად გასაოცარ აღმოჩენებამდე. ელექტრომაგნიტური ტალღების ორმაგი ბუნება ერთ-ერთი ასეთი მაგალითია. რთული რიცხვები გადამწყვეტ როლს თამაშობენ მათი თვისებების გაგებაში.
ამ, თავის მხრივ, იპოვა პრაქტიკული გამოყენება ოპტიკაში, რადიოელექტრონიკაში, ენერგეტიკასა და ბევრ სხვა ტექნოლოგიურ სფეროში. კიდევ ერთი მაგალითი, ბევრად უფრო რთული ფიზიკური ფენომენების გაგება. ანტიმატერია ნაწინასწარმეტყველები იყო კალმის წვერზე. და მხოლოდ მრავალი წლის შემდეგ იწყება მისი ფიზიკური სინთეზის მცდელობები.
არ იფიქროთ, რომ მხოლოდ ფიზიკაშია ასეთი სიტუაციები. არანაკლებ საინტერესო აღმოჩენები ხდება ველურ ბუნებაში, მაკრომოლეკულების სინთეზში, ხელოვნური ინტელექტის შესწავლისას. და ეს ყველაფერი დამსახურებააჩვენი ცნობიერების გაფართოება, ბუნებრივი მნიშვნელობების მარტივი შეკრებისა და გამოკლების თავიდან აცილება.
