სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების განტოლებების დაყენების მეთოდები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

სწორი ხაზი არის მთავარი გეომეტრიული ობიექტი სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში. სწორედ სწორი ხაზებიდან აგებულია მრავალი ფიგურა, მაგალითად: პარალელოგრამი, სამკუთხედი, პრიზმა, პირამიდა და ა.შ. განვიხილოთ სტატიაში წრფეთა განტოლებების დაყენების სხვადასხვა გზები.

სწორი ხაზის განმარტება და მისი აღწერის განტოლებების ტიპები

თითოეულ მოსწავლეს აქვს კარგი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტზეა საუბარი. სწორი ხაზი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წერტილების კრებული და თუ თითოეულ მათგანს რიგრიგობით დავუკავშირებთ ყველა დანარჩენს, მაშინ მივიღებთ პარალელური ვექტორების ერთობლიობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შესაძლებელია წრფის თითოეულ წერტილში მოხვედრა მისი ერთ-ერთი ფიქსირებული წერტილიდან, მისი გადატანა რეალურ რიცხვზე გამრავლებულ რომელიმე ერთეულ ვექტორზე. სწორი ხაზის ეს განმარტება გამოიყენება ვექტორული ტოლობის დასადგენად მისი მათემატიკური აღწერისთვის, როგორც სიბრტყეში, ასევე სამგანზომილებიან სივრცეში.

სწორი ხაზი შეიძლება მათემატიკურად იყოს წარმოდგენილი შემდეგი ტიპის განტოლებით:

• ზოგადი;
• ვექტორი;
• პარამეტრული;
• სეგმენტებში;
• სიმეტრიული (კანონიკური).

შემდეგ განვიხილავთ ყველა დასახელებულ ტიპს და ვაჩვენებთ როგორ ვიმუშაოთ მათთან პრობლემების გადაჭრის მაგალითების გამოყენებით.

სწორი ხაზის ვექტორული და პარამეტრული აღწერა

დავიწყოთ სწორი ხაზის განსაზღვრით ცნობილი ვექტორის მეშვეობით. დავუშვათ, რომ არის ფიქსირებული წერტილი M სივრცეში (x₀; y₀; z_{0). ცნობილია, რომ სწორი ხაზი გადის მასში და მიმართულია ვექტორული სეგმენტის გასწვრივ v¯(a; b; c). როგორ მოვძებნოთ წრფის თვითნებური წერტილი ამ მონაცემებიდან? ამ კითხვაზე პასუხი მისცემს შემდეგ თანასწორობას:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; გ)}

სადაც λ არის თვითნებური რიცხვი.

მსგავსი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის, სადაც ვექტორების და წერტილების კოორდინატები წარმოდგენილია ორი რიცხვის სიმრავლით:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

დაწერილი განტოლებები ეწოდება ვექტორულ განტოლებებს, ხოლო მიმართული სეგმენტი v¯ არის მიმართულების ვექტორი სწორი ხაზისთვის.

წერილობითი გამონათქვამებიდან მიიღება შესაბამისი პარამეტრული განტოლებები უბრალოდ, საკმარისია მათი ცალსახად გადაწერა. მაგალითად, სივრცეში შემთხვევისთვის ვიღებთ შემდეგ განტოლებას:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

მოხერხებულია პარამეტრულ განტოლებებთან მუშაობა, თუ საჭიროა ქცევის ანალიზითითოეული კოორდინატი. გაითვალისწინეთ, რომ მიუხედავად იმისა, რომ პარამეტრს λ შეუძლია მიიღოს თვითნებური მნიშვნელობები, ის იგივე უნდა იყოს სამივე ტოლობაში.

ზოგადი განტოლება

სწორი ხაზის განსაზღვრის კიდევ ერთი გზა, რომელიც ხშირად გამოიყენება განხილულ გეომეტრიულ ობიექტთან სამუშაოდ, არის ზოგადი განტოლების გამოყენება. ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის ასე გამოიყურება:

Ax + By + C=0

აქ დიდი ლათინური ასოები წარმოადგენს კონკრეტულ ციფრულ მნიშვნელობებს. ამ თანასწორობის მოხერხებულობა ამოცანების გადაჭრაში მდგომარეობს იმაში, რომ ის აშკარად შეიცავს ვექტორს, რომელიც პერპენდიკულარულია სწორი ხაზის მიმართ. თუ მას n¯-ით აღვნიშნავთ, მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ:

n¯=[A; B]

გარდა ამისა, გამოსახულება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად სწორი ხაზიდან გარკვეულ წერტილამდე მანძილის დასადგენად P(x₁; y_{1). დ მანძილის ფორმულა არის:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

ადვილია იმის ჩვენება, რომ თუ ცვლადს გამოვხატავთ y ცვლადს ზოგადი განტოლებიდან, მივიღებთ სწორი ხაზის დაწერის შემდეგ ცნობილ ფორმას:

y=kx + b

სადაც k და b ცალსახად განისაზღვრება A, B, C რიცხვებით.

განტოლება სეგმენტებში და კანონიკურ

განტოლება სეგმენტებში ყველაზე მარტივია ზოგადი ხედიდან. ჩვენ გაჩვენებთ როგორ გააკეთოთ ეს.

დავუშვათ, რომ გვაქვს შემდეგი ხაზი:

Ax + By + C=0

გადაიტანეთ თავისუფალი წევრი ტოლობის მარჯვენა მხარეს, შემდეგ გავყოთ მასზე მთელი განტოლება, მივიღებთ:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, სადაც q=-C / A, p=-C / B

ჩვენ მივიღეთ ე.წ. განტოლება სეგმენტებში. მან მიიღო სახელი იმის გამო, რომ მნიშვნელი, რომლითაც იყოფა თითოეული ცვლადი, აჩვენებს წრფის გადაკვეთის კოორდინატის მნიშვნელობას შესაბამის ღერძთან. მოსახერხებელია ამ ფაქტის გამოყენება კოორდინატთა სისტემაში სწორი ხაზის გამოსახვისთვის, აგრეთვე მისი ფარდობითი პოზიციის გასაანალიზებლად სხვა გეომეტრიულ ობიექტებთან მიმართებაში (სწორი ხაზები, წერტილები)..

ახლა გადავიდეთ კანონიკური განტოლების მიღებაზე. ამის გაკეთება უფრო ადვილია, თუ გავითვალისწინებთ პარამეტრულ ვარიანტს. თვითმფრინავის შემთხვევისთვის გვაქვს:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

გამოვხატავთ პარამეტრს λ თითოეულ ტოლობაში, შემდეგ ვაიგივებთ მათ, მივიღებთ:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

ეს არის სასურველი განტოლება დაწერილი სიმეტრიული ფორმით. ისევე როგორც ვექტორული გამოხატულება, ის ცალსახად შეიცავს მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს და ერთ-ერთი წერტილის კოორდინატებს, რომელიც ეკუთვნის წრფეს.

შეიძლება დავინახოთ, რომ ამ აბზაცში ჩვენ მივეცით განტოლებები ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ სწორი ხაზის განტოლება სივრცეში. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ თუ კანონიკური ფორმაჩანაწერებს და სეგმენტებში გამოხატვას ექნება იგივე ფორმა, მაშინ ზოგადი განტოლება სივრცეში სწორი ხაზისთვის წარმოდგენილია გადაკვეთის სიბრტყეების ორი განტოლების სისტემით.

სწორი წრფის განტოლების აგების პრობლემა

გეომეტრიიდან ყველა მოსწავლემ იცის, რომ ორი წერტილის მეშვეობით შეგიძლიათ ერთი ხაზის დახატვა. დავუშვათ, რომ კოორდინატთა სიბრტყეში მოცემულია შემდეგი პუნქტები:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

აუცილებელია ვიპოვოთ წრფის განტოლება, რომელსაც ეკუთვნის ორივე წერტილი, სეგმენტებით, ვექტორული, კანონიკური და ზოგადი სახით.

ჯერ ავიღოთ ვექტორული განტოლება. ამისათვის განსაზღვრეთ პირდაპირი მიმართულების ვექტორი M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

ახლა შეგიძლიათ შექმნათ ვექტორული განტოლება პრობლემის ფორმულირებაში მითითებული ორი წერტილიდან ერთ-ერთის აღებით, მაგალითად, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

კანონიკური განტოლების მისაღებად საკმარისია აღმოჩენილი ტოლობა გარდაქმნათ პარამეტრულ ფორმად და გამოვრიცხოთ პარამეტრი λ. ჩვენ გვაქვს:

x=-1 - 2λ, შესაბამისად λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, შემდეგ მივიღებთ λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

დარჩენილი ორი განტოლება (ზოგადი და სეგმენტები) შეგიძლიათ იპოვოთ კანონიკური განტოლებიდან შემდეგნაირად გარდაქმნით:

x + 1=-2y + 6;

ზოგადი განტოლება: x + 2y - 5=0;

სეგმენტების განტოლება: x / 5 + y / 2, 5=1

მიღებული განტოლებები აჩვენებს, რომ ვექტორი (1; 2) უნდა იყოს წრფის პერპენდიკულარული. მართლაც, თუ იპოვით მის სკალარულ ნამრავლს მიმართულების ვექტორთან, მაშინ ის ნულის ტოლი იქნება. ხაზის სეგმენტის განტოლება ამბობს, რომ წრფე კვეთს x-ღერძს (5; 0) და y-ღერძს (2, 5; 0).

წრფეთა გადაკვეთის წერტილის განსაზღვრის პრობლემა

ორი სწორი ხაზი მოცემულია სიბრტყეზე შემდეგი განტოლებით:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

აუცილებელია ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა.

პრობლემის გადაჭრის ორი გზა არსებობს:

1. გადააქციეთ ვექტორული განტოლება ზოგად ფორმაში, შემდეგ ამოხსენით ორი წრფივი განტოლების სისტემა.
2. არ შეასრულოთ ტრანსფორმაციები, უბრალოდ ჩაანაცვლეთ გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი, გამოხატული λ პარამეტრით, პირველ განტოლებაში. შემდეგ იპოვეთ პარამეტრის მნიშვნელობა.

მოდით გავაკეთოთ მეორე გზა. ჩვენ გვაქვს:

x=-λ;

y=-1 + 3λ;

2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;

λ=2

შეცვალეთ მიღებული რიცხვი ვექტორულ განტოლებაში:

(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)

ამგვარად, ერთადერთი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ორივე წრფეს, არის წერტილი კოორდინატებით (-2; 5). მასში ხაზები იკვეთება.