სკოლაშიც კი, თითოეული ჩვენგანი სწავლობდა განტოლებებს და, რა თქმა უნდა, განტოლებათა სისტემებს. მაგრამ ბევრმა არ იცის, რომ მათი გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ყველა მეთოდს, რომელიც შედგება ორზე მეტი ტოლობისგან.
ისტორია
დღეს ცნობილია, რომ განტოლებების და მათი სისტემების ამოხსნის ხელოვნება წარმოიშვა ძველ ბაბილონსა და ეგვიპტეში. თუმცა, თანასწორობა ჩვეულ ფორმაში გაჩნდა ტოლობის ნიშნის "=""-ის გამოჩენის შემდეგ, რომელიც შემოიღო 1556 წელს ინგლისელმა მათემატიკოსმა რეკორდმა. სხვათა შორის, ეს ნიშანი შეირჩა მიზეზით: ეს ნიშნავს ორ პარალელურ თანაბარ სეგმენტს. მართლაც, არ არსებობს თანასწორობის უკეთესი მაგალითი.
უცნობების თანამედროვე ასოების აღნიშვნებისა და ხარისხების ნიშნების დამფუძნებელი არის ფრანგი მათემატიკოსი ფრანსუა ვიეტი. თუმცა, მისი აღნიშვნები მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდა დღევანდელისაგან. მაგალითად, უცნობი რიცხვის კვადრატს აღნიშნა Q ასოთი (ლათ. „quadratus“), კუბი კი ასო C-ით (ლათ. „cubus“). ეს აღნიშვნები ახლა არასასიამოვნო ჩანს, მაგრამ მაშინეს იყო ყველაზე გასაგები გზა წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების დასაწერად.
თუმცა, ამოხსნის მაშინდელი მეთოდების მინუსი ის იყო, რომ მათემატიკოსები მხოლოდ დადებით ფესვებს თვლიდნენ. შესაძლოა, ეს გამოწვეულია იმით, რომ ნეგატიურ მნიშვნელობებს პრაქტიკული გამოყენება არ ჰქონდათ. ასეა თუ ისე, ეს იყო იტალიელი მათემატიკოსები ნიკოლო ტარტალია, ჯეროლამო კარდანო და რაფაელ ბომბელი, ვინც პირველებმა განიხილეს უარყოფითი ფესვები მე-16 საუკუნეში. ხოლო თანამედროვე სახე, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მთავარი მეთოდი (დისკრიმინანტის საშუალებით) შეიქმნა მხოლოდ მე-17 საუკუნეში დეკარტისა და ნიუტონის ნაშრომის წყალობით.
მე-18 საუკუნის შუა ხანებში შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა გაბრიელ კრამერმა იპოვა ახალი გზა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის გასაადვილებლად. ამ მეთოდს შემდგომში მისი სახელი დაარქვეს და დღემდე ვიყენებთ. მაგრამ კრამერის მეთოდზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ, ახლა კი განვიხილავთ წრფივ განტოლებებს და მათ ამოხსნის მეთოდებს სისტემისგან განცალკევებით.
წრფივი განტოლებები
წრფივი განტოლებები არის უმარტივესი ტოლობები ცვლად(ებ)ებთან. ისინი კლასიფიცირდება როგორც ალგებრული. წრფივი განტოლებები იწერება ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად: 2+…a x =b. ჩვენ დაგვჭირდება მათი წარმოდგენა ამ ფორმით შემდგომი სისტემებისა და მატრიცების შედგენისას.
წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები
ამ ტერმინის განმარტება ასეთია: ეს არის განტოლებათა ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ საერთო უცნობი და საერთო ამონახსნები. როგორც წესი, სკოლაში ყველაფერს სისტემები წყვეტდაორი ან თუნდაც სამი განტოლებით. მაგრამ არსებობს სისტემები ოთხი ან მეტი კომპონენტით. ჯერ გავარკვიოთ, როგორ ჩავწეროთ ისინი, რათა შემდგომში მათი გადაჭრა მოსახერხებელი იყოს. პირველი, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები უკეთესად გამოიყურება, თუ ყველა ცვლადი დაიწერება x-დ შესაბამისი ინდექსით: 1, 2, 3 და ა.შ. მეორეც, ყველა განტოლება უნდა დაიყვანა კანონიკურ ფორმამდე: a1x1+a2 x 2+…a x =ბ.
ყველა ამ ნაბიჯის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ საუბარი იმაზე, თუ როგორ მოვძებნოთ ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემებისთვის. მატრიცები ძალიან სასარგებლო იქნება ამისთვის.
მატრიცები
მატრიცა არის ცხრილი, რომელიც შედგება რიგებისა და სვეტებისგან და მისი ელემენტები განლაგებულია მათ კვეთაზე. ეს შეიძლება იყოს კონკრეტული მნიშვნელობები ან ცვლადები. ყველაზე ხშირად, ელემენტების აღსანიშნავად, ხელმოწერები მოთავსებულია მათ ქვეშ (მაგალითად, a11 ან a23). პირველი ინდექსი ნიშნავს მწკრივის ნომერს, მეორე კი სვეტის ნომერს. მატრიცებზე, ისევე როგორც ნებისმიერ სხვა მათემატიკურ ელემენტზე, შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ოპერაციები. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ:
1) გამოკლეთ და დაამატეთ იმავე ზომის ცხრილები.
2) გაამრავლეთ მატრიცა რომელიმე რიცხვზე ან ვექტორზე.
3) ტრანსპოზირება: გადააქციეთ მატრიცის რიგები სვეტებად და სვეტები მწკრივად.
4) გაამრავლეთ მატრიცები, თუ ერთი მათგანის მწკრივების რაოდენობა უდრის მეორის სვეტების რაოდენობას.
ყველა ამ ტექნიკას უფრო დეტალურად განვიხილავთ, რადგან ისინი მომავალში გამოგვადგება. მატრიცების გამოკლება და დამატება ძალიან მარტივია. Ისეროგორც ჩვენ ვიღებთ ერთი და იგივე ზომის მატრიცებს, მაშინ ერთი ცხრილის თითოეული ელემენტი შეესაბამება მეორის თითოეულ ელემენტს. ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ (გამოვაკლებთ) ამ ორ ელემენტს (მნიშვნელოვანია, რომ ისინი ერთსა და იმავე ადგილებში იყვნენ თავიანთ მატრიცებში). მატრიცის რიცხვზე ან ვექტორზე გამრავლებისას, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე (ან ვექტორზე). ტრანსპოზიცია ძალიან საინტერესო პროცესია. ხანდახან ძალიან საინტერესოა მისი ნახვა რეალურ ცხოვრებაში, მაგალითად, ტაბლეტის ან ტელეფონის ორიენტაციის შეცვლისას. დესკტოპის ხატები არის მატრიცა და როცა პოზიციის შეცვლას ახდენთ, ის ტრანსპონირდება და ფართოვდება, მაგრამ მცირდება სიმაღლეში.
მოდით კიდევ ერთხელ შევხედოთ ისეთ პროცესს, როგორიცაა მატრიცის გამრავლება. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ გამოგვადგება, ამის ცოდნა მაინც სასარგებლო იქნება. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი მატრიცა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ ცხრილში სვეტების რაოდენობა უდრის მეორეში მწკრივების რაოდენობას. ახლა ავიღოთ ერთი მატრიცის მწკრივის ელემენტები და მეორის შესაბამისი სვეტის ელემენტები. ვამრავლებთ მათ ერთმანეთზე და შემდეგ ვამატებთ (ანუ, მაგალითად, ელემენტების ნამრავლი a11 და a12 b-ზე. 12და b22 ტოლი იქნება: a11b12 + a 12 b22). ამრიგად, მიიღება ცხრილის ერთი ელემენტი, რომელიც შემდგომში ივსება მსგავსი მეთოდით.
ახლა შეგვიძლია დავიწყოთ იმის გარკვევა, თუ როგორ არის ამოხსნილი წრფივი განტოლებათა სისტემა.
გაუსის მეთოდი
ეს თემა სკოლაშიც კი იწყება. ჩვენ კარგად ვიცით „ორი წრფივი განტოლების სისტემის“ცნება და ვიცით მათი ამოხსნა.მაგრამ რა მოხდება, თუ განტოლებების რაოდენობა ორზე მეტია? ამაში დაგვეხმარება გაუსის მეთოდი.
რა თქმა უნდა, ამ მეთოდის გამოყენება მოსახერხებელია, თუ მატრიცას გააკეთებთ სისტემიდან. მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ მისი გარდაქმნა და მისი სუფთა სახით ამოხსნა.
მაშ, როგორ ხსნის ეს მეთოდი ხაზოვანი გაუსის განტოლებების სისტემას? სხვათა შორის, მიუხედავად იმისა, რომ ეს მეთოდი მის სახელს ატარებს, ის ძველ დროში აღმოაჩინეს. გაუსი გვთავაზობს შემდეგს: განახორციელოს მოქმედებები განტოლებებით, რათა საბოლოოდ შევიყვანოთ მთელი ნაკრები საფეხურზე. ანუ აუცილებელია, რომ ზემოდან ქვევით (თუ სწორად არის მოთავსებული) პირველი განტოლებიდან ბოლომდე ერთი უცნობი შემცირდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ მივიღოთ, ვთქვათ, სამი განტოლება: პირველში - სამი უცნობი, მეორეში - ორი, მესამეში - ერთი. შემდეგ ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ პირველ უცნობს, შევცვლით მის მნიშვნელობას მეორე ან პირველ განტოლებაში და შემდეგ ვიპოვით დარჩენილ ორ ცვლადს.
კრამერის მეთოდი
ამ მეთოდის დასაუფლებლად, სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია მატრიცების შეკრების, გამოკლების უნარების დაუფლება და ასევე უნდა შეძლოთ დეტერმინანტების პოვნა. ამიტომ, თუ ამ ყველაფერს ცუდად აკეთებ ან საერთოდ არ იცი როგორ, უნდა ისწავლო და ივარჯიშო.
რა არის ამ მეთოდის არსი და როგორ შევქმნათ ის ისე, რომ მივიღოთ წრფივი კრამერის განტოლებათა სისტემა? ყველაფერი ძალიან მარტივია. ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის რიცხვითი (თითქმის ყოველთვის) კოეფიციენტებიდან უნდა ავაშენოთ მატრიცა. ამისათვის უბრალოდ აიღეთ რიცხვები უცნობის წინ და დაალაგეთ ისინიცხრილი იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი ჩაწერილია სისტემაში. თუ რიცხვს წინ უძღვის "-" ნიშანი, მაშინ ჩავწერთ უარყოფით კოეფიციენტს. ასე რომ, ჩვენ შევადგინეთ პირველი მატრიცა უცნობის კოეფიციენტებიდან, ტოლობის ნიშნების შემდეგ რიცხვების გარეშე (ბუნებრივია, განტოლება უნდა შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე, როდესაც მხოლოდ რიცხვია მარჯვნივ და ყველა უცნობი კოეფიციენტები მარცხნივ). შემდეგ თქვენ უნდა შექმნათ კიდევ რამდენიმე მატრიცა - თითო თითოეული ცვლადი. ამისათვის ჩვენ რიგრიგობით ვცვლით თითოეულ სვეტს კოეფიციენტებით პირველ მატრიცაში ტოლობის ნიშნის შემდეგ რიცხვების სვეტით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე მატრიცას და შემდეგ ვპოულობთ მათ დეტერმინანტებს.
მას შემდეგ რაც ჩვენ ვიპოვეთ განმსაზღვრელი, საქმე მცირეა. ჩვენ გვაქვს საწყისი მატრიცა და არის რამდენიმე შედეგად მიღებული მატრიცა, რომლებიც შეესაბამება სხვადასხვა ცვლადებს. სისტემის ამონახსნების მისაღებად მიღებული ცხრილის განმსაზღვრელს ვყოფთ საწყისი ცხრილის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული რიცხვი არის ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა უცნობს.
სხვა მეთოდები
არის კიდევ რამდენიმე მეთოდი წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მისაღებად. მაგალითად, ეგრეთ წოდებული გაუს-იორდანიის მეთოდი, რომელიც გამოიყენება კვადრატული განტოლებათა სისტემის ამონახსნების მოსაძებნად და ასევე დაკავშირებულია მატრიცების გამოყენებასთან. ასევე არსებობს ჯაკობის მეთოდი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნისთვის. ის ყველაზე მარტივია კომპიუტერთან ადაპტაციისთვის და გამოიყენება გამოთვლებში.
რთული შემთხვევები
სირთულე ჩვეულებრივ ხდება მაშინ, როდესაც განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. მაშინ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ან სისტემა არათანმიმდევრულია (ანუ მას არ აქვს ფესვები), ან მისი ამონახსნების რიცხვი მიდრეკილია უსასრულობისკენ. თუ გვაქვს მეორე შემთხვევა, მაშინ უნდა ჩავწეროთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები. ის შეიცავს მინიმუმ ერთ ცვლადს.
დასკვნა
აქ მივედით დასასრულამდე. შეჯამება: ჩვენ გავაანალიზეთ რა არის სისტემა და მატრიცა, ვისწავლეთ როგორ მოვძებნოთ ზოგადი ამონახსნები წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის. გარდა ამისა, განიხილებოდა სხვა ვარიანტებიც. ჩვენ გავარკვიეთ, როგორ იხსნება წრფივი განტოლებათა სისტემა: გაუსის მეთოდი და კრამერის მეთოდი. ვისაუბრეთ რთულ შემთხვევებზე და გამოსავლის სხვა გზებზე.
ფაქტობრივად, ეს თემა ბევრად უფრო ვრცელია და თუ მისი უკეთ გაგება გსურთ, გირჩევთ, წაიკითხოთ უფრო სპეციალიზებული ლიტერატურა.
