მოსწავლე ყველაზე ხშირად მე-2 რიგის ზედაპირებს პირველ კურსზე ხვდება. თავდაპირველად, ამ თემაზე ამოცანები შეიძლება მარტივი ჩანდეს, მაგრამ როდესაც თქვენ სწავლობთ უმაღლეს მათემატიკას და ღრმავდებით მეცნიერულ მხარეში, საბოლოოდ შეგიძლიათ შეწყვიტოთ ორიენტირება იმაზე, რაც ხდება. იმისათვის, რომ ეს არ მოხდეს, საჭიროა არა მხოლოდ დამახსოვრება, არამედ იმის გაგება, თუ როგორ მიიღება ესა თუ ის ზედაპირი, როგორ მოქმედებს კოეფიციენტების შეცვლა მასზე და მის მდებარეობაზე თავდაპირველ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით და როგორ უნდა იპოვოთ ახალი სისტემა. (ერთი, რომელშიც მისი ცენტრი ემთხვევა საწყისი კოორდინატებს, ხოლო სიმეტრიის ღერძი პარალელურია ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძისა). დავიწყოთ თავიდან.
განმარტება
GMT ეწოდება მე-2 რიგის ზედაპირს, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს შემდეგი ფორმის ზოგად განტოლებას:
F(x, y, z)=0.
აშკარაა, რომ თითოეულ წერტილს, რომელიც მიეკუთვნება ზედაპირს, უნდა ჰქონდეს სამი კოორდინატი გარკვეული დანიშნულების საფუძველზე. თუმცა ზოგიერთ შემთხვევაში წერტილების ლოკუსი შეიძლება გადაგვარდეს, მაგალითად, სიბრტყეში. ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი კოორდინატი მუდმივია და უდრის ნულს მისაღები მნიშვნელობების მთელ დიაპაზონში.
ზემოხსენებული ტოლობის სრული დახატული ფორმა ასე გამოიყურება:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – ზოგიერთი მუდმივი, x, y, z – ცვლადები, რომლებიც შეესაბამება რომელიმე წერტილის აფინურ კოორდინატებს. ამ შემთხვევაში მუდმივი ფაქტორიდან ერთი მაინც არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ანუ არც ერთი წერტილი არ შეესაბამება განტოლებას.
მაგალითების აბსოლუტურ უმრავლესობაში, ბევრი რიცხვითი ფაქტორი კვლავ ნულის ტოლია და განტოლება მნიშვნელოვნად გამარტივებულია. პრაქტიკაში, იმის დადგენა, მიეკუთვნება თუ არა წერტილი ზედაპირს, არ არის რთული (საკმარისია მისი კოორდინატების ჩანაცვლება განტოლებაში და შემოწმება, დაცულია თუ არა იდენტურობა). ასეთ სამუშაოში მთავარია ამ უკანასკნელის კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა.
ზემოთ დაწერილი განტოლება განსაზღვრავს მე-2 რიგის ნებისმიერ (ყველა ქვემოთ ჩამოთვლილ) ზედაპირს. ქვემოთ განვიხილავთ მაგალითებს.
მე-2 რიგის ზედაპირების ტიპები
მე-2 რიგის ზედაპირების განტოლებები განსხვავდება მხოლოდ Anm კოეფიციენტების მნიშვნელობებში. ზოგადი თვალსაზრისით, მუდმივთა გარკვეული მნიშვნელობებისთვის, შესაძლებელია სხვადასხვა ზედაპირის მიღება, კლასიფიცირებული შემდეგნაირად:
- ცილინდრები.
- ელიფსური ტიპი.
- ჰიპერბოლური ტიპი.
- კონუსური ტიპი.
- პარაბოლური ტიპი.
- თვითმფრინავები.
თითოეულ ჩამოთვლილ ტიპს აქვს ბუნებრივი და წარმოსახვითი ფორმა: წარმოსახვითი ფორმით, რეალური წერტილების ადგილი ან გადაგვარდება უფრო მარტივ ფიგურად, ან საერთოდ არ არსებობს.
ცილინდრები
ეს არის უმარტივესი ტიპი, ვინაიდან შედარებით რთული მრუდი დევს მხოლოდ ძირში და მოქმედებს როგორც სახელმძღვანელო. გენერატორები არის სწორი ხაზები, პერპენდიკულარული სიბრტყეზე, რომელშიც დევს ფუძე.
გრაფიკი გვიჩვენებს წრიულ ცილინდრის, ელიფსური ცილინდრის განსაკუთრებულ შემთხვევას. XY სიბრტყეში მისი პროექცია იქნება ელიფსი (ჩვენს შემთხვევაში წრე) - სახელმძღვანელო, ხოლო XZ - მართკუთხედი - ვინაიდან გენერატორები Z ღერძის პარალელურია. ზოგადი განტოლებიდან მის მისაღებად საჭიროა. კოეფიციენტებს მივცეთ შემდეგი მნიშვნელობები:
ჩვეულებრივი სიმბოლოების ნაცვლად გამოიყენება x, y, z, x სერიული ნომრით - არ აქვს მნიშვნელობა.
ფაქტობრივად, 1/a2და აქ მითითებული სხვა მუდმივები არის იგივე კოეფიციენტები, რომლებიც მითითებულია ზოგად განტოლებაში, მაგრამ ჩვეულებრივია მათი ჩაწერა ამ ფორმით - ეს არის კანონიკური წარმოდგენა. გარდა ამისა, გამოყენებული იქნება მხოლოდ ასეთი აღნიშვნა.
ასე განისაზღვრება ჰიპერბოლური ცილინდრი. სქემა იგივეა - ჰიპერბოლა იქნება სახელმძღვანელო.
y2=2px
პარაბოლური ცილინდრი გარკვეულწილად განსხვავებულად არის განსაზღვრული: მისი კანონიკური ფორმა მოიცავს p კოეფიციენტს, რომელსაც ეწოდება პარამეტრი. სინამდვილეში, კოეფიციენტი უდრის q=2p, მაგრამ ჩვეულებრივია მისი დაყოფა წარმოდგენილ ორ ფაქტორად.
არის სხვა ტიპის ცილინდრი: წარმოსახვითი. არცერთი რეალური წერტილი არ ეკუთვნის ასეთ ცილინდრს. იგი აღწერილია განტოლებითელიფსური ცილინდრი, მაგრამ ერთეულის ნაცვლად არის -1.
ელიფსური ტიპი
ელიფსოიდი შეიძლება გაიჭიმოს ერთ-ერთი ღერძის გასწვრივ (რომლის გასწვრივ ეს დამოკიდებულია ზემოთ მითითებულ a, b, c მუდმივებზე; აშკარაა, რომ უფრო დიდი კოეფიციენტი შეესაბამება უფრო დიდ ღერძს.).
არსებობს ასევე წარმოსახვითი ელიფსოიდი - იმ პირობით, რომ კოორდინატების ჯამი გამრავლებული კოეფიციენტებზე არის -1:
ჰიპერბოლოიდები
როდესაც მინუსი გამოჩნდება ერთ-ერთ მუდმივში, ელიფსოიდური განტოლება იქცევა ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის განტოლებად. უნდა გვესმოდეს, რომ ეს მინუსი არ უნდა მდებარეობდეს x3 კოორდინატამდე! ის მხოლოდ განსაზღვრავს რომელი ღერძი იქნება ჰიპერბოლოიდის ბრუნვის ღერძი (ან მის პარალელურად, მას შემდეგ, რაც კვადრატში გამოჩნდება დამატებითი ტერმინები (მაგალითად, (x-2)2) ფიგურის ცენტრი ინაცვლებს, რის შედეგადაც ზედაპირი მოძრაობს კოორდინატთა ღერძების პარალელურად). ეს ეხება მე-2 რიგის ყველა ზედაპირს.
გარდა ამისა, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ განტოლებები წარმოდგენილია კანონიკური ფორმით და მათი შეცვლა შესაძლებელია მუდმივების ცვლილებით (ნიშნის შენარჩუნებით!); ხოლო მათი ფორმა (ჰიპერბოლოიდი, კონუსი და ასე შემდეგ) იგივე დარჩება.
ეს განტოლება უკვე მოცემულია ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდით.
კონუსური ზედაპირი
კონუსების განტოლებაში არ არის ერთეული - ტოლობა ნულის მიმართ.
მხოლოდ შეზღუდულ კონუსურ ზედაპირს ეწოდება კონუსი. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს, რომ რეალურად, სქემაზე იქნება ორი ე.წ. კონუსი.
მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ყველა განხილულ კანონიკურ განტოლებაში, მუდმივები ნაგულისხმევად დადებითია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ნიშანმა შეიძლება გავლენა მოახდინოს საბოლოო სქემაზე.
კოორდინატთა სიბრტყეები ხდება კონუსის სიმეტრიის სიბრტყეები, სიმეტრიის ცენტრი მდებარეობს საწყისზე.
წარმოსახვითი კონუსის განტოლებაში მხოლოდ პლიუსებია; მას ეკუთვნის ერთი რეალური ქულა.
პარაბოლოიდები
სივრცეში მე-2 რიგის ზედაპირებს შეუძლიათ მიიღონ სხვადასხვა ფორმა, თუნდაც მსგავსი განტოლებებით. მაგალითად, არსებობს პარაბოლოიდების ორი ტიპი.
x2/a2+y2/b2=2z
ელიფსური პარაბოლოიდი, როდესაც Z ღერძი ნახაზზე პერპენდიკულარულია, დაპროექტებული იქნება ელიფსად.
x2/a2-y2/b2=2z
ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი: მონაკვეთები ZY-ის პარალელურად სიბრტყეებით წარმოქმნიან პარაბოლებს, ხოლო მონაკვეთები XY-ის პარალელურ სიბრტყეებზე წარმოქმნიან ჰიპერბოლას.
გადაკვეთის სიბრტყეები
არის შემთხვევები, როდესაც მე-2 რიგის ზედაპირები სიბრტყეში გადაგვარდება. ეს თვითმფრინავები შეიძლება განლაგდეს სხვადასხვა გზით.
ჯერ განიხილეთ გადამკვეთი სიბრტყეები:
x2/a2-y2/b2=0
კანონიკური განტოლების ეს მოდიფიკაცია იწვევს მხოლოდ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს (წარმოსახვითი!); ყველა რეალური წერტილი არის კოორდინატის ღერძზე, რომელიც აკლია განტოლებას (კანონიკურში - Z ღერძი).
პარალელური თვითმფრინავები
y2=a2
როცა მხოლოდ ერთი კოორდინატია, მე-2 რიგის ზედაპირები გადაგვარდება პარალელური სიბრტყეების წყვილში. გახსოვდეთ, Y-ის ადგილი ნებისმიერ სხვა ცვლადს შეუძლია; მაშინ მიიღება სხვა ღერძების პარალელური სიბრტყეები.
y2=−a2
ამ შემთხვევაში ისინი წარმოსახვითი ხდებიან.
დამთხვევა თვითმფრინავები
y2=0
ასეთი მარტივი განტოლებით სიბრტყეების წყვილი გადაგვარდება ერთში - ისინი ერთმანეთს ემთხვევა.
არ დაგავიწყდეთ, რომ სამგანზომილებიანი საფუძვლის შემთხვევაში, ზემოაღნიშნული განტოლება არ განსაზღვრავს სწორ ხაზს y=0! მას აკლია დანარჩენი ორი ცვლადი, მაგრამ ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ მათი მნიშვნელობა მუდმივია და ნულის ტოლია.
შენობა
მოსწავლისთვის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანაა მე-2 რიგის ზედაპირების აგება. კიდევ უფრო რთულია ერთი კოორდინატთა სისტემიდან მეორეზე გადასვლა, მრუდის კუთხეების გათვალისწინებით ღერძებთან და ცენტრის გადაადგილებასთან მიმართებაში. გავიმეოროთ, თუ როგორ უნდა განვსაზღვროთ ნახატის სამომავლო ხედვა თანმიმდევრულად ანალიტიკური საშუალებითგზა.
მეორე რიგის ზედაპირის ასაგებად გჭირდებათ:
- მიიტანეთ განტოლება კანონიკურ ფორმამდე;
- განისაზღვროს შესასწავლი ზედაპირის ტიპი;
- კონსტრუქცია კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე დაყრდნობით.
ქვემოთ განიხილება ყველა ტიპი:
კონსოლიდაციისთვის, მოდით დეტალურად აღვწეროთ ამ ტიპის დავალების ერთი მაგალითი.
მაგალითები
დავუშვათ, რომ არსებობს განტოლება:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60წ+144=0
მოვიყვანოთ კანონიკურ ფორმამდე. გამოვყოთ სრული კვადრატები, ანუ არსებული ტერმინები ისე დავალაგოთ, რომ ისინი იყოს ჯამის ან სხვაობის კვადრატის გაფართოება. მაგალითად: თუ (a+1)2=a2+2a+1 მაშინ a2+2a +1=(a+1)2. მეორე ოპერაციას ჩავატარებთ. ამ შემთხვევაში არ არის აუცილებელი ფრჩხილების გახსნა, რადგან ეს მხოლოდ გაართულებს გამოთვლებს, მაგრამ აუცილებელია საერთო კოეფიციენტის 6 ამოღება (ფრჩხილებში Y-ის სრული კვადრატით):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
ცვლადი z ამ შემთხვევაში მხოლოდ ერთხელ ჩნდება - ახლა შეგიძლიათ დატოვოთ იგი.
ჩვენ ვაანალიზებთ განტოლებას ამ ეტაპზე: ყველა უცნობს წინ უძღვის პლუს ნიშანი; ექვსზე გაყოფისას ერთი რჩება. მაშასადამე, ჩვენ გვაქვს განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ელიფსოიდს.
გაითვალისწინეთ, რომ 144 დარეგულირდა 150-6-ში, რის შემდეგაც -6 გადავიდა მარჯვნივ. რატომ უნდა გაკეთდეს ეს ასე? ცხადია, ამ მაგალითში ყველაზე დიდი გამყოფი არის -6, ასე რომ მასზე გაყოფის შემდეგერთი დარჩა მარჯვნივ, აუცილებელია 144-დან ზუსტად 6-ის „გადადება“(ის, რომ უნდა იყოს მარჯვნივ, მიუთითებს თავისუფალი წევრის არსებობა - მუდმივი, რომელიც არ მრავლდება უცნობზე).
გაყავით ყველაფერი ექვსზე და მიიღეთ ელიფსოიდის კანონიკური განტოლება:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
მე-2 რიგის ზედაპირების ადრე გამოყენებულ კლასიფიკაციაში განიხილება განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ფიგურის ცენტრი არის კოორდინატების სათავეში. ამ მაგალითში ის ოფსეტურია.
ვვარაუდობთ, რომ ყოველი ფრჩხილები უცნობიებით არის ახალი ცვლადი. ანუ: a=x-1, b=y+5, c=z. ახალ კოორდინატებში ელიფსოიდის ცენტრი ემთხვევა წერტილს (0, 0, 0), შესაბამისად, a=b=c=0, საიდანაც: x=1, y=-5, z=0. საწყის კოორდინატებში ფიგურის ცენტრი დევს წერტილში (1, -5, 0).
ელიფსოიდი მიიღება ორი ელიფსისგან: პირველი XY სიბრტყეში და მეორე XZ სიბრტყეში (ან YZ - არ აქვს მნიშვნელობა). კოეფიციენტები, რომლებითაც იყოფა ცვლადები, კვადრატულია კანონიკურ განტოლებაში. მაშასადამე, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში უფრო სწორი იქნება გავყოთ ორი, ერთი და სამის ფესვზე.
პირველი ელიფსის მცირე ღერძი, Y ღერძის პარალელურად, არის ორი. ძირითადი ღერძი, რომელიც პარალელურად არის x-ღერძი, არის ორი ფესვის ორი ფესვი. მეორე ელიფსის მცირე ღერძი, Y ღერძის პარალელურად, იგივე რჩება - ის უდრის ორს. ხოლო მთავარი ღერძი, Z ღერძის პარალელურად, უდრის სამის ორ ფესვს.
საწყისი განტოლებიდან მიღებული მონაცემების კანონიკურ ფორმაში გადაყვანის შედეგად შეგვიძლია დავხატოთ ელიფსოიდი.
შეჯამება
გაშუქებულია ამ სტატიაშითემა საკმაოდ ვრცელია, მაგრამ, ფაქტობრივად, როგორც ახლა ხედავთ, არც ისე რთული. მისი განვითარება, ფაქტობრივად, მთავრდება იმ მომენტში, როდესაც თქვენ იმახსოვრებთ ზედაპირების სახელებს და განტოლებებს (და, რა თქმა უნდა, როგორ გამოიყურება ისინი). ზემოთ მოცემულ მაგალითში ჩვენ დეტალურად განვიხილეთ თითოეული ნაბიჯი, მაგრამ განტოლების კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა მოითხოვს უმაღლესი მათემატიკის მინიმალურ ცოდნას და არ უნდა შეუქმნას რაიმე სირთულეს მოსწავლეს.
არსებული თანასწორობის სამომავლო განრიგის ანალიზი უკვე უფრო რთული ამოცანაა. მაგრამ მისი წარმატებული გადაწყვეტისთვის საკმარისია იმის გაგება, თუ როგორ არის აგებული მეორე რიგის შესაბამისი მრუდები - ელიფსები, პარაბოლები და სხვა.
გადაგვარების შემთხვევები - კიდევ უფრო მარტივი განყოფილება. ზოგიერთი ცვლადის არარსებობის გამო გამარტივებულია არა მხოლოდ გამოთვლები, როგორც ზემოთ აღინიშნა, არამედ თავად კონსტრუქცია.
როგორც კი დამაჯერებლად შეძლებთ ყველა სახის ზედაპირის დასახელებას, შეცვალეთ მუდმივები, გადააქციეთ გრაფიკი ამა თუ იმ ფორმაში - თემა აითვისება.
წარმატებები სწავლაში!
