ვფიქრობ, ჩვენ უნდა დავიწყოთ ისეთი დიდებული მათემატიკური ხელსაწყოს ისტორიით, როგორიცაა დიფერენციალური განტოლებები. ყველა დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების მსგავსად, ეს განტოლებები გამოიგონა ნიუტონმა მე-17 საუკუნის ბოლოს. მან სწორედ ეს აღმოჩენა მიიჩნია იმდენად მნიშვნელოვანი, რომ დაშიფრა კიდეც შეტყობინება, რომელიც დღეს შეიძლება ასე ითარგმნოს: „ბუნების ყველა კანონი აღწერილია დიფერენციალური განტოლებით“. ეს შეიძლება გადაჭარბებულად მოგეჩვენოთ, მაგრამ ასეა. ფიზიკის, ქიმიის, ბიოლოგიის ნებისმიერი კანონი შეიძლება აღწერილი იყოს ამ განტოლებებით.
მათემატიკოსებმა ეილერმა და ლაგრანგმა დიდი წვლილი შეიტანეს დიფერენციალური განტოლებების თეორიის შემუშავებასა და შექმნაში. უკვე მე-18 საუკუნეში მათ აღმოაჩინეს და განავითარეს ის, რასაც ახლა სწავლობენ უნივერსიტეტების უმაღლეს კურსებზე.
დიფერენციალური განტოლებების შესწავლაში ახალი ეტაპი დაიწყო ანრი პუანკარეს წყალობით. მან შექმნა „დიფერენციალური განტოლებათა თვისებრივი თეორია“, რომელმაც რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიასთან ერთად მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა ტოპოლოგიის - სივრცისა და მისი მეცნიერების საფუძველში.თვისებები.
რა არის დიფერენციალური განტოლებები?
ბევრ ადამიანს ეშინია ერთი ფრაზის "დიფერენციალური განტოლების". თუმცა, ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ ამ ძალიან სასარგებლო მათემატიკური აპარატის მთელ არსს, რომელიც სინამდვილეში არც ისე რთულია, როგორც ეს სახელიდან ჩანს. იმისათვის, რომ დაიწყოთ საუბარი პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებებზე, ჯერ უნდა გაეცნოთ ძირითად ცნებებს, რომლებიც არსებითად დაკავშირებულია ამ განმარტებასთან. და ჩვენ დავიწყებთ დიფერენციალით.
დიფერენცია
ბევრმა იცის ეს კონცეფცია სკოლიდან. თუმცა, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას. წარმოიდგინეთ ფუნქციის გრაფიკი. ჩვენ შეგვიძლია გავზარდოთ ის იმდენად, რომ მისი რომელიმე სეგმენტი სწორი ხაზის ფორმას მიიღებს. მასზე ვიღებთ ორ წერტილს, რომლებიც უსასრულოდ ახლოს არიან ერთმანეთთან. მათ კოორდინატებს შორის სხვაობა (x ან y) იქნება უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა. მას დიფერენციალი ეწოდება და აღინიშნება dy (დიფერენციალური y-დან) და dx (დიფერენცია x-დან) ნიშნებით. ძალიან მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ დიფერენციალი არ არის სასრული მნიშვნელობა და ეს არის მისი მნიშვნელობა და მთავარი ფუნქცია.
და ახლა ჩვენ უნდა განვიხილოთ შემდეგი ელემენტი, რომელიც გამოგვადგება დიფერენციალური განტოლების ცნების ახსნაში. ეს არის წარმოებული.
წარმოებული
ალბათ ყველას გვსმენია სკოლაში და ეს კონცეფცია. წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის ან შემცირების სიჩქარე. თუმცა ამ განმარტებიდანბევრი რამ გაურკვეველი ხდება. შევეცადოთ ავხსნათ წარმოებული დიფერენციალური თვალსაზრისით. დავუბრუნდეთ ფუნქციის უსასრულოდ მცირე სეგმენტს ორი წერტილით, რომლებიც მინიმალურ მანძილზეა ერთმანეთისგან. მაგრამ ამ მანძილზეც კი ფუნქცია ახერხებს გარკვეული ოდენობით შეცვლას. და ამ ცვლილების აღსაწერად მათ შექმნეს წარმოებული, რომელიც სხვაგვარად შეიძლება დაიწეროს დიფერენციალთა თანაფარდობით: f(x)'=df/dx.
ახლა ღირს წარმოებულის ძირითადი თვისებების გათვალისწინება. მათგან მხოლოდ სამია:
- ჯუმის ან სხვაობის წარმოებული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წარმოებულების ჯამი ან სხვაობა: (a+b)'=a'+b' და (a-b)'=a'-b'.
- მეორე თვისება დაკავშირებულია გამრავლებასთან. ნამრავლის წარმოებული არის ერთი ფუნქციის ნამრავლებისა და მეორის წარმოებულის ჯამი: (ab)'=a'b+ab'.
- სხვაობის წარმოებული შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ტოლობის სახით: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
ყველა ეს თვისება სასარგებლო იქნება პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების საპოვნელად.
არსებობს ასევე ნაწილობრივი წარმოებულები. ვთქვათ, გვაქვს ფუნქცია z, რომელიც დამოკიდებულია x და y ცვლადებზე. ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის გამოსათვლელად, ვთქვათ, x-თან მიმართებაში, უნდა ავიღოთ y ცვლადი მუდმივად და უბრალოდ განვასხვავოთ.
ინტეგრალი
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კონცეფცია არის ინტეგრალი. სინამდვილეში, ეს არის წარმოებულის პირდაპირი საპირისპირო. არსებობს რამდენიმე ტიპის ინტეგრალი, მაგრამ უმარტივესი დიფერენციალური განტოლებების ამოსახსნელად, ჩვენ გვჭირდება ყველაზე ტრივიალური განუსაზღვრელი ინტეგრალები.
მაშ რა არის ინტეგრალი? ვთქვათ, გვაქვს გარკვეული დამოკიდებულება ვx-დან. მისგან ვიღებთ ინტეგრალს და ვიღებთ ფუნქციას F (x) (ხშირად უწოდებენ ანტიწარმოებულს), რომლის წარმოებული უდრის თავდაპირველ ფუნქციას. ამრიგად F(x)'=f(x). აქედან გამომდინარეობს აგრეთვე, რომ წარმოებულის ინტეგრალი თავდაპირველი ფუნქციის ტოლია.
დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას ძალიან მნიშვნელოვანია ინტეგრალის მნიშვნელობისა და ფუნქციის გაგება, რადგან ამონახსნის საპოვნელად ძალიან ხშირად მოგიწევთ მათი მიღება.
განტოლებები განსხვავდება მათი ბუნებიდან გამომდინარე. შემდეგ განყოფილებაში განვიხილავთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ტიპებს და შემდეგ ვისწავლით როგორ ამოხსნათ ისინი.
დიფერენციალური განტოლებების კლასები
"დიფური" იყოფა მათში ჩართული წარმოებულების თანმიმდევრობის მიხედვით. ამრიგად, არსებობს პირველი, მეორე, მესამე და მეტი რიგი. ისინი ასევე შეიძლება დაიყოს რამდენიმე კლასად: ჩვეულებრივი და ნაწილობრივი წარმოებულები.
ამ სტატიაში განვიხილავთ პირველი რიგის ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებებს. ჩვენ ასევე განვიხილავთ მაგალითებს და მათი გადაჭრის გზებს შემდეგ თავებში. ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ODE-ებს, რადგან ეს არის ყველაზე გავრცელებული ტიპის განტოლებები. ჩვეულებრივი იყოფა ქვესახეობებად: განცალკევებული ცვლადებით, ერთგვაროვანი და ჰეტეროგენული. შემდეგი, თქვენ შეიტყობთ, თუ როგორ განსხვავდებიან ისინი ერთმანეთისგან და ისწავლით როგორ მოაგვაროთ ისინი.
გარდა ამისა, ეს განტოლებები შეიძლება გაერთიანდეს ისე, რომ მას შემდეგ მივიღოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა. ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ სისტემებს და ვისწავლით როგორ გადავჭრათ ისინი.
რატომ განვიხილავთ მხოლოდ პირველ შეკვეთას? იმიტომ, რომ თქვენ უნდა დაიწყოთ მარტივით და აღწეროთ ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია დიფერენციალთანგანტოლებები, ერთ სტატიაში უბრალოდ შეუძლებელია.
გამყოფი ცვლადი განტოლებები
ეს არის ალბათ უმარტივესი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. ეს მოიცავს მაგალითებს, რომლებიც შეიძლება დაიწეროს ასე: y'=f(x)f(y). ამ განტოლების ამოსახსნელად ჩვენ გვჭირდება წარმოებულის დიფერენციალთა თანაფარდობის სახით წარმოდგენის ფორმულა: y'=dy/dx. მისი გამოყენებით ვიღებთ შემდეგ განტოლებას: dy/dx=f(x)f(y). ახლა შეგვიძლია მივმართოთ სტანდარტული მაგალითების ამოხსნის მეთოდს: ცვლადებს დავყოფთ ნაწილებად, ანუ ყველაფერს y ცვლადით გადავიტანთ იმ ნაწილზე სადაც dy მდებარეობს და იგივეს გავაკეთებთ x ცვლადთან ერთად. ვიღებთ ფორმის განტოლებას: dy/f(y)=f(x)dx, რომელიც წყდება ორივე ნაწილის ინტეგრალის აღებით. ნუ დაივიწყებთ მუდმივზე, რომელიც უნდა დაყენდეს ინტეგრალის აღების შემდეგ.
ნებისმიერი "განსხვავების" ამონახსნი არის x-ის y-ზე დამოკიდებულების ფუნქცია (ჩვენს შემთხვევაში) ან, თუ არსებობს რიცხვითი პირობა, მაშინ პასუხი არის რიცხვის სახით. მოდით გავაანალიზოთ ამოხსნის მთელი კურსი კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით:
y'=2ysin(x)
ცვლადების გადატანა სხვადასხვა მიმართულებით:
dy/y=2sin(x)dx
ახლა ჩვენ ვიღებთ ინტეგრალებს. ყველა მათგანი შეგიძლიათ იხილოთ ინტეგრალების სპეციალურ ცხრილში. და ჩვენ ვიღებთ:
ln(y)=-2cos(x) + C
თუ საჭიროა, შეგვიძლია გამოვხატოთ "y" როგორც "x"-ის ფუნქცია. ახლა შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ჩვენი დიფერენციალური განტოლება ამოხსნილია, თუ პირობა არ არის მოცემული. შეიძლება მიცემული პირობა, მაგალითად, y(n/2)=e. შემდეგ ჩვენ უბრალოდ ჩავანაცვლებთ ამ ცვლადების მნიშვნელობას ამონახსნით დაიპოვნეთ მუდმივის მნიშვნელობა. ჩვენს მაგალითში ის უდრის 1-ს.
პირველი რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები
ახლა გადადით უფრო რთულ ნაწილზე. პირველი რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება დაიწეროს ზოგადი სახით შემდეგნაირად: y'=z(x, y). უნდა აღინიშნოს, რომ ორი ცვლადის სწორი ფუნქცია ერთგვაროვანია და ის არ შეიძლება დაიყოს ორ დამოკიდებულებად: z x-ზე და z y-ზე. განტოლების ჰომოგენურია თუ არა შემოწმება საკმაოდ მარტივია: ვაკეთებთ ჩანაცვლებას x=kx და y=ky. ახლა ჩვენ გავაუქმებთ ყველა კ. თუ ყველა ეს ასო შემცირდა, მაშინ განტოლება ერთგვაროვანია და შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გააგრძელოთ მისი ამოხსნა. წინ რომ ვიხედოთ, ვთქვათ: ამ მაგალითების ამოხსნის პრინციპიც ძალიან მარტივია.
ჩვენ უნდა გავაკეთოთ ჩანაცვლება: y=t(x)x, სადაც t არის გარკვეული ფუნქცია, რომელიც ასევე დამოკიდებულია x-ზე. მაშინ შეგვიძლია გამოვხატოთ წარმოებული: y'=t'(x)x+t. ამ ყველაფრის ჩვენს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით და მისი გამარტივებით, ვიღებთ მაგალითს t და x განცალკევებული ცვლადებით. ვხსნით და ვიღებთ დამოკიდებულებას t(x). როდესაც მივიღეთ, ჩვენ უბრალოდ ვცვლით y=t(x)x ჩვენს წინა ჩანაცვლებაში. შემდეგ ვიღებთ y-ის დამოკიდებულებას x-ზე.
უფრო გასაგებად, მოდით შევხედოთ მაგალითს: xy'=y-xey/x.
შეცვლით შემოწმებისას ყველაფერი მცირდება. ასე რომ, განტოლება მართლაც ერთგვაროვანია. ახლა ვაკეთებთ კიდევ ერთ ჩანაცვლებას, რომელზეც ვისაუბრეთ: y=t(x)x და y'=t'(x)x+t(x). გამარტივების შემდეგ ვიღებთ შემდეგ განტოლებას: t'(x)x=-et. მიღებულ მაგალითს ვხსნით გამოყოფილი ცვლადებით და ვიღებთ: e-t=ln(Cx). ჩვენ მხოლოდ უნდა შევცვალოთ t y/x-ით (ბოლოს და ბოლოს, თუ y=tx, მაშინ t=y/x) და მივიღებთპასუხი: e-y/x=ln(xC).
პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები
კიდევ ერთი დიდი თემის დროა. ჩვენ გავაანალიზებთ პირველი რიგის არაერთგვაროვან დიფერენციალურ განტოლებებს. რით განსხვავდებიან ისინი წინა ორისგან? მოდი გავარკვიოთ. პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები ზოგადი ფორმით შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: y' + g(x)y=z(x). ღირს იმის გარკვევა, რომ z(x) და g(x) შეიძლება იყოს მუდმივები.
და ახლა მაგალითი: y' - yx=x2.
მის გადაჭრის ორი გზა არსებობს და ორივეს თანმიმდევრობით განვიხილავთ. პირველი არის თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი.
განტოლების ამგვარად ამოსახსნელად ჯერ მარჯვენა მხარე უნდა გაუტოლოთ ნულს და ამოხსნათ მიღებული განტოლება, რომელიც ნაწილების გადაადგილების შემდეგ მიიღებს ფორმას:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1e x2/2.
ახლა ჩვენ უნდა შევცვალოთ მუდმივი C1 ფუნქციით v(x), რომელიც უნდა ვიპოვოთ.
y=vex2/2.
შევცვალოთ წარმოებული:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
და ჩაანაცვლეთ ეს გამონათქვამები თავდაპირველ განტოლებაში:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
თქვენ ხედავთ, რომ ორი ტერმინი გაუქმებულია მარცხენა მხარეს. თუ ზოგიერთ მაგალითში ეს არ მოხდა, მაშინ თქვენ გააკეთეთ რაღაც არასწორი.განაგრძეთ:
v'ex2/2 =x2.
ახლა ჩვენ ვხსნით ჩვეულებრივ განტოლებას, რომელშიც უნდა გამოვყოთ ცვლადები:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
ინტეგრალის ამოსაღებად, აქ უნდა გამოვიყენოთ ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით. თუმცა, ეს არ არის ჩვენი სტატიის თემა. თუ გაინტერესებთ, შეგიძლიათ ისწავლოთ როგორ განახორციელოთ ასეთი ქმედებები თავად. ეს არ არის რთული და საკმარისი ოსტატობისა და ყურადღების მიღებით დიდ დროს არ მოითხოვს.
მოდით მივმართოთ არაჰომოგენური განტოლებების ამოხსნის მეორე მეთოდს: ბერნულის მეთოდს. რომელი მიდგომაა უფრო სწრაფი და მარტივი, თქვენზეა დამოკიდებული.
ასე რომ, განტოლების ამ მეთოდით ამოხსნისას ჩვენ უნდა გავაკეთოთ ჩანაცვლება: y=kn. აქ k და n არის x-დამოკიდებული ფუნქციები. მაშინ წარმოებული ასე გამოიყურება: y'=k'n+kn'. ჩაანაცვლეთ ორივე ჩანაცვლება განტოლებაში:
k'n+kn'+xkn=x2.
ჯგუფი:
k'n+k(n'+xn)=x2.
ახლა ჩვენ უნდა გავუტოლოთ ნულს, რაც არის ფრჩხილებში. ახლა, თუ დააკავშირებთ ორ მიღებულ განტოლებას, მიიღებთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების სისტემას, რომელიც უნდა ამოხსნათ:
n'+xn=0;
k'n=x2.
პირველი ტოლობა ამოხსნილია როგორც ჩვეულებრივი განტოლება. ამისათვის თქვენ უნდა გამოყოთ ცვლადები:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
აიღეთ ინტეგრალი და მიიღეთ: ln(n)=x2/2. მაშინ, თუ გამოვხატავთ n:
n=ex2/2.
ახლა ჩვენ ვცვლით მიღებულ ტოლობას სისტემის მეორე განტოლებაში:
k'ex2/2=x2.
და გარდაქმნით, მივიღებთ იგივე ტოლობას, როგორც პირველ მეთოდში:
dk=x2/ex2/2.
არც ჩვენ გადავალთ შემდგომ ნაბიჯებზე. აღსანიშნავია, რომ თავდაპირველად პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა იწვევს მნიშვნელოვან სირთულეებს. თუმცა, რაც უფრო ღრმად ჩასწვდებით თემას, ის უფრო და უფრო უკეთესდება.
სად გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებები?
დიფერენციალური განტოლებები ძალიან აქტიურად გამოიყენება ფიზიკაში, რადგან თითქმის ყველა ძირითადი კანონი იწერება დიფერენციალური ფორმით და ფორმულები, რომლებსაც ჩვენ ვხედავთ, არის ამ განტოლებების ამოხსნა. ქიმიაში ისინი გამოიყენება იმავე მიზეზით: მათგან გამომდინარეობს ძირითადი კანონები. ბიოლოგიაში დიფერენციალური განტოლებები გამოიყენება ისეთი სისტემების ქცევის მოდელირებისთვის, როგორიცაა მტაცებელი-მტაცებელი. ისინი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას, მაგალითად, მიკროორგანიზმების კოლონიის რეპროდუქციის მოდელების შესაქმნელად.
როგორ დაეხმარება დიფერენციალური განტოლებები ცხოვრებაში?
ამ კითხვაზე პასუხი მარტივია: არავითარ შემთხვევაში. თუ თქვენ არ ხართ მეცნიერი ან ინჟინერი, მაშინ ისინი ნაკლებად სავარაუდოა, რომ თქვენთვის სასარგებლო იყოს. თუმცა, ზოგადი განვითარებისთვის, არ არის ცუდი იმის ცოდნა, თუ რა არის დიფერენციალური განტოლება და როგორ იხსნება იგი. და შემდეგ შვილის ან ქალიშვილის კითხვა "რა არის დიფერენციალური განტოლება?" არ დაგაბნევთ. ისე, თუ მეცნიერი ან ინჟინერი ხართ, მაშინ თქვენ თვითონ გესმით ამ თემის მნიშვნელობა ნებისმიერ მეცნიერებაში. მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ახლა ჩნდება კითხვა "როგორ გადავჭრათ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება?" თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ პასუხის გაცემა. დამეთანხმებით, ყოველთვის სასიამოვნოაროცა ხვდები რისი გაგებაც კი ეშინიათ ადამიანებს.
მთავარი სასწავლო პრობლემები
ამ თემის გაგების მთავარი პრობლემა არის ფუნქციების ინტეგრირებისა და დიფერენცირების ცუდი უნარი. თუ წარმოებულებისა და ინტეგრალების მიღებაში ცუდად ხართ, მაშინ ალბათ მეტი უნდა ისწავლოთ, დაეუფლოთ ინტეგრაციისა და დიფერენცირების სხვადასხვა მეთოდებს და მხოლოდ ამის შემდეგ დაიწყოთ სტატიაში აღწერილი მასალის შესწავლა.
ზოგიერთს უკვირს, როდესაც აღმოაჩენენ, რომ dx შეიძლება გადავიდეს, რადგან ადრე (სკოლაში) ნათქვამი იყო, რომ წილადი dy/dx განუყოფელია. აქ თქვენ უნდა წაიკითხოთ წარმოებულის შესახებ ლიტერატურა და გაიგოთ, რომ ეს არის უსასრულო სიდიდის თანაფარდობა, რომლის მანიპულირებაც შესაძლებელია განტოლებების ამოხსნისას.
ბევრს მაშინვე არ ესმის, რომ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამონახვა ხშირად ფუნქცია ან ინტეგრალია, რომლის აღებაც შეუძლებელია და ეს ბოდვა მათ უამრავ უბედურებას უქმნის.
კიდევ რისი შესწავლა შეიძლება უკეთესი გაგებისთვის?
საუკეთესოა დიფერენციალური გამოთვლების სამყაროში შემდგომი ჩაძირვა დაიწყოთ სპეციალიზებული სახელმძღვანელოებით, მაგალითად, არამათემატიკური სპეციალობების სტუდენტებისთვის გაანგარიშებაში. შემდეგ შეგიძლიათ გადახვიდეთ უფრო სპეციალიზებულ ლიტერატურაზე.
უნდა ითქვას, რომ დიფერენციალური განტოლებების გარდა არის ინტეგრალური განტოლებებიც, ასე რომ თქვენ ყოველთვის გექნებათ ის, რისკენაც ისწრაფვით და ისწავლით.
დასკვნა
ვიმედოვნებთ, რომ წაკითხვის შემდეგამ სტატიამ მოგცათ წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რა არის დიფერენციალური განტოლებები და როგორ ამოხსნათ ისინი სწორად.
ნებისმიერ შემთხვევაში, მათემატიკა რაღაცნაირად გამოგვადგება ცხოვრებაში. ის ავითარებს ლოგიკასა და ყურადღებას, რომლის გარეშეც ყველა ადამიანი ხელების გარეშეა.
