უნივერსიტეტის მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე რთული და გაუგებარი თემაა ინტეგრაცია და დიფერენციალური გამოთვლა. თქვენ უნდა იცოდეთ და გაიგოთ ეს ცნებები, ასევე შეძლოთ მათი გამოყენება. ბევრი უნივერსიტეტის ტექნიკური დისციპლინა დაკავშირებულია დიფერენციალებთან და ინტეგრალებთან.
მოკლე ინფორმაცია განტოლებების შესახებ
ეს განტოლებები ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური ცნებაა საგანმანათლებლო სისტემაში. დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც აკავშირებს დამოუკიდებელ ცვლადებს, მოსაძებნ ფუნქციას და ამ ფუნქციის წარმოებულებს იმ ცვლადებთან, რომლებიც დამოუკიდებელად ითვლება. დიფერენციალურ გამოთვლას ერთი ცვლადის ფუნქციის საპოვნელად ჩვეულებრივი ეწოდება. თუ სასურველი ფუნქცია დამოკიდებულია რამდენიმე ცვლადზე, მაშინ საუბარია ნაწილობრივ დიფერენციალურ განტოლებაზე.
ფაქტობრივად, განტოლებაზე გარკვეული პასუხის პოვნა ინტეგრირებამდე მოდის, ხოლო ამოხსნის მეთოდი განისაზღვრება განტოლების ტიპის მიხედვით.
პირველი რიგის განტოლებები
პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელსაც შეუძლია აღწეროს ცვლადი, სასურველი ფუნქცია და მისი პირველი წარმოებული. ასეთი განტოლებები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ფორმით: აშკარა, იმპლიციტური, დიფერენციალური.
გადასაჭრელად საჭიროა
ცნებები
საწყისი მდგომარეობა - სასურველი ფუნქციის მნიშვნელობის დაყენება ცვლადის მოცემული მნიშვნელობისთვის, რომელიც დამოუკიდებელია.
დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა - ნებისმიერი დიფერენცირებადი ფუნქცია, რომელიც ზუსტად ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში, აქცევს მას იდენტურ ტოლად. მიღებული ამონახსნი, რომელიც არ არის აშკარა, არის განტოლების ინტეგრალი.
დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი ამონახსნები არის ფუნქცია y=y(x;C), რომელსაც შეუძლია დააკმაყოფილოს შემდეგი განსჯა:
- ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი თვითნებური მუდმივი С.
- მიღებული ფუნქცია უნდა იყოს განტოლების ამოხსნა თვითნებური მუდმივის ნებისმიერი თვითნებური მნიშვნელობისთვის.
- მოცემული საწყისი პირობით, თვითნებური მუდმივი შეიძლება განისაზღვროს უნიკალური გზით ისე, რომ მიღებული კონკრეტული ამოხსნა შეესაბამებოდეს მოცემულ ადრეულ საწყის მდგომარეობას.
პრაქტიკაში, კოშის პრობლემა ხშირად გამოიყენება - გადაწყვეტის პოვნა, რომელიც არის კონკრეტული და შეიძლება შევადაროთ დასაწყისში დაყენებულ მდგომარეობას.
კოშის თეორემა არის თეორემა, რომელიც ხაზს უსვამს კონკრეტული ამონახსნის არსებობას და უნიკალურობას დიფერენციალურ გამოთვლებში.
გეომეტრიული გრძნობა:
- ზოგადი ამოხსნა y=y(x;C)განტოლება არის ინტეგრალური მრუდების საერთო რაოდენობა.
- დიფერენციალური გამოთვლა საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ წერტილის კოორდინატები XOY სიბრტყეში და ინტეგრალურ მრუდზე შედგენილი ტანგენსი.
- საწყისი მდგომარეობის დაყენება ნიშნავს წერტილის დაყენებას სიბრტყეზე.
- კოშის ამოცანის ამოსახსნელად ნიშნავს, რომ განტოლების ერთიდაიგივე ამონახსნის შემადგენელი ინტეგრალური მრუდების მთელი სიმრავლიდან, აუცილებელია აირჩიოთ ერთადერთი, რომელიც გადის ერთადერთ შესაძლო წერტილში.
- კოშის თეორემის პირობების შესრულება წერტილში ნიშნავს, რომ ინტეგრალური მრუდი (უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი) აუცილებლად გადის სიბრტყის არჩეულ წერტილში.
გამყოფი ცვლადის განტოლება
განმარტებით, დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, სადაც მისი მარჯვენა მხარე აღწერს ან აისახება როგორც პროდუქტი (ზოგჯერ თანაფარდობა) ორი ფუნქციის, ერთი დამოკიდებულია მხოლოდ "x"-ზე, ხოლო მეორე - მხოლოდ "y"-ზე. ". ნათელი მაგალითი ამ ტიპისთვის: y'=f1(x)f2(y).
კონკრეტული ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად, ჯერ უნდა გარდაქმნათ წარმოებული y'=dy/dx. შემდეგ, განტოლების მანიპულირებით, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ის ფორმამდე, სადაც შეგიძლიათ გააერთიანოთ განტოლების ორი ნაწილი. საჭირო გარდაქმნების შემდეგ ორივე ნაწილს ვაერთიანებთ და ვამარტივებთ შედეგს.
ერთგვაროვანი განტოლებები
განმარტებით, დიფერენციალურ განტოლებას შეიძლება ეწოდოს ჰომოგენური, თუ მას აქვს შემდეგი ფორმა: y'=g(y/x).
ამ შემთხვევაში ყველაზე ხშირად გამოიყენება ჩანაცვლება y/x=t(x).
ასეთი განტოლებების ამოსახსნელად აუცილებელია ერთგვაროვანი განტოლების დაყვანა გამოყოფადი ცვლადების მქონე ფორმამდე. ამისათვის თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ოპერაციები:
- ჩვენება, რომელიც გამოხატავს ორიგინალური ფუნქციის წარმოებულს, ნებისმიერი ორიგინალური ფუნქციიდან ახალი განტოლების სახით.
- შემდეგი ნაბიჯი არის მიღებული ფუნქციის გარდაქმნა ფორმაში f(x;y)=g(y/x). უფრო მარტივი სიტყვებით, გააკეთეთ განტოლება შეიცავდეს მხოლოდ თანაფარდობას y/x და მუდმივებს.
- შეასრულეთ შემდეგი ჩანაცვლება: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. შესრულებული ჩანაცვლება ხელს შეუწყობს ცვლადების გაყოფას განტოლებაში, თანდათანობით მიიყვანს მას უფრო მარტივ ფორმამდე.
წრფივი განტოლებები
ასეთი განტოლებების განმარტება ასეთია: წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, სადაც მისი მარჯვენა მხარე გამოიხატება როგორც წრფივი გამოხატულება თავდაპირველი ფუნქციის მიმართ. სასურველი ფუნქცია ამ შემთხვევაში: y'=a(x)y + b(x).
მოდით, გადავაფორმოთ განმარტება შემდეგნაირად: 1-ლი რიგის ნებისმიერი განტოლება გახდება წრფივი თავისი სახით, თუ თავდაპირველი ფუნქცია და მისი წარმოებული შედის პირველი ხარისხის განტოლებაში და არ გამრავლდებიან ერთმანეთზე. წრფივი დიფერენციალური განტოლების "კლასიკურ ფორმას" აქვს შემდეგი სტრუქტურა: y' + P(x)y=Q(x).
ასეთი განტოლების ამოხსნამდე ის უნდა გადაიყვანოთ "კლასიკურ ფორმაში". შემდეგი ნაბიჯი იქნება ამოხსნის მეთოდის არჩევა: ბერნულის მეთოდი ან ლაგრანგის მეთოდი.
განტოლების ამოხსნაბერნულის მიერ დანერგილი მეთოდის გამოყენებით, გულისხმობს წრფივი დიფერენციალური განტოლების ჩანაცვლებას და შემცირებას ორ განტოლებამდე ცალკეული ცვლადებით U(x) და V(x) ფუნქციებთან მიმართებაში, რომლებიც მოცემულია თავდაპირველი სახით.
ლაგრანგის მეთოდი არის საწყისი განტოლების ზოგადი ამოხსნის პოვნა.
- აუცილებელია ერთგვაროვანი განტოლების იგივე ამონახსნის პოვნა. ძიების შემდეგ გვაქვს ფუნქცია y=y(x, C), სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.
- ჩვენ ვეძებთ ამოხსნას საწყისი განტოლებისთვის იმავე ფორმით, მაგრამ განვიხილავთ C=C(x). ჩვენ ვცვლით y=y(x, C(x)) ფუნქციას თავდაპირველ განტოლებაში, ვპოულობთ ფუნქციას C(x) და ვწერთ ზოგადი საწყისი განტოლების ამონახს.
ბერნულის განტოლება
ბერნულის განტოლება - თუ გამოთვლების მარჯვენა მხარე იღებს ფორმას f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, სადაც k არის ნებისმიერი შესაძლო რაციონალური რიცხვითი მნიშვნელობა, არა აღებული, როგორც შემთხვევების მაგალითი, როდესაც k=0 და k=1.
თუ k=1, მაშინ გამოთვლა ხდება განცალკევება, ხოლო როდესაც k=0, განტოლება რჩება წრფივი.
მოდით განვიხილოთ ამ ტიპის განტოლების ამოხსნის ზოგადი შემთხვევა. ჩვენ გვაქვს სტანდარტული ბერნულის განტოლება. ის უნდა შემცირდეს წრფივზე, ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ განტოლება yk-ზე. ამ ოპერაციის შემდეგ შეცვალეთ z(x)=y1-k. გარდაქმნების სერიის შემდეგ, განტოლება დაიყვანება წრფივზე, ყველაზე ხშირად ჩანაცვლების მეთოდით z=UV.
განტოლებები ჯამურ დიფერენციალებში
განმარტება. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 სტრუქტურის მქონე განტოლებას სრული განტოლება ეწოდება.დიფერენციები, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა (ამ პირობით, "d" არის ნაწილობრივი დიფერენციალი): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
ყველა პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება ადრე განხილული შეიძლება გამოჩნდეს დიფერენციალებად.
ასეთი გამოთვლები წყდება რამდენიმე გზით. თუმცა, ისინი ყველა იწყება მდგომარეობის შემოწმებით. თუ პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ განტოლების ყველაზე მარცხენა რეგიონი არის ჯერ უცნობი ფუნქციის U(x;y) ჯამური დიფერენციალი. შემდეგ, განტოლების შესაბამისად, dU (x; y) იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, განტოლების იგივე ინტეგრალი ჯამურ დიფერენციალებში გამოჩნდება U (x; y) u003d C სახით. ამიტომ, განტოლების ამოხსნა მცირდება U ფუნქციის პოვნამდე (x; y).
ინტეგრაციის ფაქტორი
თუ პირობა dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx არ არის დაკმაყოფილებული განტოლებაში, მაშინ განტოლებას არ აქვს ის ფორმა, რაც ზემოთ განვიხილეთ. მაგრამ ზოგჯერ შესაძლებელია M(x;y) ფუნქციის არჩევა, რომელზედაც გამრავლებისას განტოლება იღებს განტოლების ფორმას სრულ „დიფუზებში“. ფუნქცია M (x;y) მოიხსენიება როგორც ინტეგრირების ფაქტორი.
ინტეგრატორის პოვნა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ის ხდება მხოლოდ ერთი ცვლადის ფუნქცია.
