Maclaurin სერია და ზოგიერთი ფუნქციის გაფართოება

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 05:32

უმაღლესი მათემატიკის მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ, რომ მოცემული სერიის კონვერგენციის ინტერვალის კუთვნილი ზოგიერთი სიმძლავრის რიგის ჯამი გამოდის უწყვეტი და შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ დიფერენცირებული ფუნქცია. ჩნდება კითხვა: შესაძლებელია თუ არა იმის მტკიცება, რომ მოცემული თვითნებური ფუნქცია f(x) არის ზოგიერთი სიმძლავრის რიგის ჯამი? ანუ რა პირობებში შეიძლება f(x) ფუნქცია წარმოდგენილი იყოს სიმძლავრის სერიით? ამ კითხვის მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ შესაძლებელია f(x) ფუნქციის დაახლოებით ჩანაცვლება სიმძლავრის რიგის პირველი რამდენიმე წევრის ჯამით, ანუ მრავალწევრით. ფუნქციის ასეთი ჩანაცვლება საკმაოდ მარტივი გამოსახულებით - მრავალწევრით - ასევე მოსახერხებელია მათემატიკური ანალიზის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას, კერძოდ: ინტეგრალების ამოხსნისას, დიფერენციალური განტოლებების გამოთვლისას და ა.შ.

დადასტურდა, რომ ზოგიერთი ფუნქციისთვის f(х), სადაც წარმოებულები (n+1)-ე რიგის ჩათვლით, უკანასკნელის ჩათვლით, შეიძლება გამოითვალოს სამეზობლოში (α _{- R; x}0 _{+ R) რაღაც წერტილის x=α ფორმულა მოქმედებს:}

ამ ფორმულას ეწოდა ცნობილი მეცნიერის ბრუკ ტეილორის სახელი. სერიას, რომელიც მიღებულია წინადან, ეწოდება მაკლარინის სერია:

წესი, რომელიც შესაძლებელს ხდის გაფართოებას მაკლარინის სერიაში:

1. დასაზღვრეთ პირველი, მეორე, მესამე… ბრძანებების წარმოებულები.
2. გამოთვალეთ რის ტოლია წარმოებულები x=0-ზე.
3. ჩაწერეთ მაკლარინის სერიები ამ ფუნქციისთვის და შემდეგ დაადგინეთ მისი კონვერგენციის ინტერვალი.
4. დასაზღვრეთ ინტერვალი (-R;R), სადაც დარჩენილია მაკლარინის ფორმულა

R (x) -> 0 n -> უსასრულობისთვის. თუ ასეთი არსებობს, მასში ფუნქცია f(x) უნდა ემთხვეოდეს მაკლარინის სერიის ჯამს.

ახლა განიხილეთ მაკლარინის სერია ინდივიდუალური ფუნქციებისთვის.

1. ასე რომ, პირველი იქნება f(x)=e^x. რა თქმა უნდა, მისი მახასიათებლების მიხედვით, ასეთ ფუნქციას აქვს სხვადასხვა რიგის წარმოებულები და f^(k)(x)=e^x, სადაც k უდრის ყველა ნატურალური რიცხვები. ჩავანაცვლოთ x=0. ვიღებთ f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{ასე გამოიყურება:}

2. მაკლარინის სერია f(x)=sin x ფუნქციისთვის. დაუყოვნებლივ განმარტეთ, რომ ყველა უცნობის ფუნქციას ექნება წარმოებულები, გარდა f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), სადაც k უდრის ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს. ანუ მარტივი გამოთვლების გაკეთების შემდეგ შეგვიძლია მივიდეთ დასკვნამდე, რომ სერია f(x)=sin x ასე გამოიყურება:}

3. ახლა შევეცადოთ განვიხილოთ ფუნქცია f(x)=cos x. ის არის ყველა უცნობისთვისაქვს თვითნებური რიგის წარმოებულები და |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… ისევ, გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ, მივიღებთ, რომ სერია f(x)=cos x ასე გამოიყურება:

ასე რომ, ჩვენ ჩამოვთვალეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფუნქციები, რომლებიც შეიძლება გაფართოვდეს Maclaurin სერიებში, მაგრამ მათ ავსებს ტეილორის სერიები ზოგიერთი ფუნქციისთვის. ახლა ჩვენ ჩამოვთვლით მათ. ასევე აღსანიშნავია, რომ ტეილორისა და მაკლორინის სერიები უმაღლეს მათემატიკაში სერიების ამოხსნის პრაქტიკის მნიშვნელოვანი ნაწილია. ასე რომ, ტეილორის სერია.

1. პირველი იქნება სერია f-ii f(x)=ln(1+x). როგორც წინა მაგალითებში, მოცემული f (x)=ln (1 + x), ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ სერია მაკლარინის სერიის ზოგადი ფორმის გამოყენებით. თუმცა, ამ ფუნქციისთვის მაკლარინის სერიის მიღება ბევრად უფრო მარტივად შეიძლება. გარკვეული გეომეტრიული სერიების ინტეგრირების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ სერიას f(x)=ln(1+x) ამ ნიმუშისთვის:

2. და მეორე, რომელიც საბოლოო იქნება ჩვენს სტატიაში, იქნება სერია f (x) u003d arctg x. x-ისთვის, რომელიც ეკუთვნის [-1;1] ინტერვალს, გაფართოება მოქმედებს:

ესე იგი. ეს სტატია განიხილავს ყველაზე ხშირად გამოყენებულ ტეილორისა და მაკლორინის სერიებს უმაღლეს მათემატიკაში, კერძოდ, ეკონომიკურ და ტექნიკურ უნივერსიტეტებში.