სივრცითი ფიგურების მოცულობის გამოთვლის უნარი მნიშვნელოვანია გეომეტრიის რიგი პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად. ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული ფორმაა პირამიდა. ამ სტატიაში განვიხილავთ პირამიდის მოცულობის ფორმულებს, როგორც სრული, ასევე შეკვეცილი.
პირამიდა, როგორც სამგანზომილებიანი ფიგურა
ყველამ იცის ეგვიპტური პირამიდების შესახებ, ამიტომ მათ აქვთ კარგი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა ფიგურაზე იქნება საუბარი. თუმცა, ეგვიპტური ქვის ნაგებობები პირამიდების უზარმაზარი კლასის მხოლოდ განსაკუთრებული შემთხვევაა.
განხილული გეომეტრიული ობიექტი ზოგად შემთხვევაში არის მრავალკუთხა ფუძე, რომლის თითოეული წვერო დაკავშირებულია სივრცის რაღაც წერტილთან, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძის სიბრტყეს. ამ განმარტებას მივყავართ ფიგურამდე, რომელიც შედგება ერთი n-კუთხედისა და n სამკუთხედისგან.
ნებისმიერი პირამიდა შედგება n+1 სახისგან, 2n კიდეებისგან და n+1 წვეროებისგან. ვინაიდან განხილული ფიგურა არის სრულყოფილი პოლიედონი, მონიშნული ელემენტების რიცხვი ემორჩილება ეილერის თანასწორობას:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
ძირში არსებული მრავალკუთხედი იძლევა პირამიდის სახელს,მაგალითად, სამკუთხა, ხუთკუთხა და ა.შ. პირამიდების ნაკრები სხვადასხვა ფუძით ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფოტოზე.
წერტილი, რომელზეც ფიგურის n სამკუთხედი არის დაკავშირებული, ეწოდება პირამიდის ზედა. თუ მისგან პერპენდიკულარი ჩამოიყვანება ფუძემდე და ის კვეთს მას გეომეტრიულ ცენტრში, მაშინ ასეთ ფიგურას სწორ ხაზს ვუწოდებთ. თუ ეს პირობა არ დაკმაყოფილებულია, მაშინ არსებობს დახრილი პირამიდა.
სწორ ფიგურას, რომლის ფუძე იქმნება ტოლგვერდა (თანაკუთხა) n-გონებით, ეწოდება რეგულარული.
პირამიდის მოცულობის ფორმულა
პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ინტეგრალურ გამოთვლას. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ ფიგურას ფუძის პარალელურად სეკანტური სიბრტყეებით უსასრულო რაოდენობის თხელ შრეებად. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ოთხკუთხა პირამიდას სიმაღლით h და გვერდის სიგრძით L, რომელშიც განყოფილების თხელი ფენა აღინიშნება ოთხკუთხედით.
თითოეული ასეთი ფენის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:
A(z)=A0(თ-ზ)2/სთ2.
აქ A0 არის ფუძის ფართობი, z არის ვერტიკალური კოორდინატის მნიშვნელობა. ჩანს, რომ თუ z=0, მაშინ ფორმულა იძლევა მნიშვნელობას A0.
პირამიდის მოცულობის ფორმულის მისაღებად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ინტეგრალი ფიგურის მთელ სიმაღლეზე, ანუ:
V=∫სთ0(A(z)dz).
A(z) დამოკიდებულების ჩანაცვლებით და ანტიწარმოებულის გამოთვლით, მივიღებთ გამოთქმას:
V=-A0(თ-ზ)3/(3სთ2)| h0=1/3A0სთ.
მივიღეთ პირამიდის მოცულობის ფორმულა. V-ს მნიშვნელობის საპოვნელად საკმარისია ფიგურის სიმაღლე გავამრავლოთ ფუძის ფართობზე, შემდეგ კი შედეგი გავყოთ სამზე.
გაითვალისწინეთ, რომ მიღებული გამოხატულება მოქმედებს თვითნებური ტიპის პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად. ანუ ის შეიძლება იყოს დახრილი და მისი საფუძველი შეიძლება იყოს თვითნებური n-გონი.
სწორი პირამიდა და მისი მოცულობა
მოცულობის ზოგადი ფორმულა, რომელიც მიღებულია ზემოთ პუნქტში, შეიძლება დაიხვეწოს სწორი ფუძის მქონე პირამიდის შემთხვევაში. ასეთი ბაზის ფართობი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
აქ L არის რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდის სიგრძე n წვერით. სიმბოლო pi არის რიცხვი pi.
A0 გამოთქმის ჩანაცვლებით ზოგად ფორმულაში, მივიღებთ ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობას:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
მაგალითად, სამკუთხა პირამიდისთვის, ეს ფორმულა იწვევს შემდეგ გამონათქვამს:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2სთ.
რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდისთვის მოცულობის ფორმულა ხდება:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2სთ.
რეგულარული პირამიდების მოცულობის განსაზღვრა მოითხოვს მათი ფუძის მხარის და ფიგურის სიმაღლის ცოდნას.
შეკვეცილი პირამიდა
ვუშვათ, რომ ავიღეთთვითნებური პირამიდა და ამოჭრა მისი გვერდითი ზედაპირის ნაწილი, რომელიც შეიცავს ზედა. დარჩენილ ფიგურას წაკვეთილი პირამიდა ეწოდება. ის უკვე შედგება ორი n-გონალური ფუძისა და n ტრაპეციისგან, რომლებიც აკავშირებს მათ. თუ საჭრელი სიბრტყე პარალელურად იყო ფიგურის ფუძის პარალელურად, მაშინ ჩამოჭრილი პირამიდა წარმოიქმნება პარალელური მსგავსი ბაზებით. ანუ, ერთი მათგანის გვერდების სიგრძე შეიძლება მივიღოთ მეორის სიგრძის გამრავლებით ზოგიერთ k კოეფიციენტზე.
ზემოთ სურათზე ნაჩვენებია ჩამოჭრილი რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა. ჩანს, რომ მისი ზედა ფუძე, ისევე როგორც ქვედა, ჩამოყალიბებულია რეგულარული ექვსკუთხედით.
შეკვეცილი პირამიდის მოცულობის ფორმულა, რომელიც შეიძლება მივიღოთ მოცემულის მსგავსი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენებით, არის:
V=1/3სთ(A0+ A1+ √(A0 A1)).
სადაც A0 და A1 არის ქვედა (დიდი) და ზედა (პატარა) ფუძის არეები, შესაბამისად. ცვლადი h არის შეკვეცილი პირამიდის სიმაღლე.
კეოპსის პირამიდის მოცულობა
საინტერესოა ამოხსნას მოცულობის განსაზღვრის პრობლემა, რომელსაც შეიცავს ყველაზე დიდი ეგვიპტური პირამიდა.
1984 წელს ბრიტანელმა ეგვიპტოლოგებმა მარკ ლენერმა და ჯონ გუდმანმა დაადგინეს კეოპსის პირამიდის ზუსტი ზომები. მისი საწყისი სიმაღლე იყო 146,50 მეტრი (ამჟამად დაახლოებით 137 მეტრი). სტრუქტურის ოთხივე მხარის საშუალო სიგრძე იყო 230,363 მეტრი.პირამიდის საფუძველი კვადრატულია მაღალი სიზუსტით.
მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფიგურები ამ ქვის გიგანტის მოცულობის დასადგენად. ვინაიდან პირამიდა არის რეგულარული ოთხკუთხედი, მასზე მოქმედებს ფორმულა:
V4=1/3L2სთ.
შეცვალეთ რიცხვები, მივიღებთ:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 მ 3.
კეოპსის პირამიდის მოცულობა არის თითქმის 2,6 მილიონი მ3. შედარებისთვის აღვნიშნავთ, რომ ოლიმპიური აუზის მოცულობა 2,5 ათასი მ3ა. ანუ, მთელი კეოპსის პირამიდის შესავსებად, ამ 1000-ზე მეტი აუზი იქნება საჭირო!
