პირამიდა არის სივრცითი პოლიედონი, ან პოლიედონი, რომელიც გვხვდება გეომეტრიულ ამოცანებში. ამ ფიგურის ძირითადი თვისებებია მისი მოცულობა და ზედაპირის ფართობი, რომლებიც გამოითვლება მისი ნებისმიერი ორი ხაზოვანი მახასიათებლის ცოდნით. ერთ-ერთი ასეთი მახასიათებელია პირამიდის აპოთემა. ეს იქნება განხილული სტატიაში.
პირამიდის ფორმა
პირამიდის აპოთემის განმარტებამდე გავეცნოთ თავად ფიგურას. პირამიდა არის პოლიედონი, რომელიც იქმნება ერთი n-გონალური ფუძით და n სამკუთხედით, რომლებიც ქმნიან ფიგურის გვერდით ზედაპირს.
ყველა პირამიდას აქვს წვერო - ყველა სამკუთხედის შეერთების წერტილი. ამ წვეროდან ფუძემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს სიმაღლე ეწოდება. თუ სიმაღლე კვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში, მაშინ ფიგურას ეწოდება სწორი ხაზი. სწორ პირამიდას ტოლგვერდა ფუძით ეწოდება რეგულარული პირამიდა. ნახატზე ნაჩვენებია პირამიდა ექვსკუთხა ფუძით, რომელიც ჩანს სახის მხრიდან და კიდედან.
მარჯვენა პირამიდის აპოთემა
მას ასევე უწოდებენ აპოთემას. იგულისხმება, როგორც პირამიდის ზემოდან ფიგურის ფუძის მხარეს დახატული პერპენდიკულური. განმარტებით, ეს პერპენდიკულარი შეესაბამება იმ სამკუთხედის სიმაღლეს, რომელიც ქმნის პირამიდის გვერდით სახეს.
რადგან ჩვენ განვიხილავთ ჩვეულებრივ პირამიდას n-გონალური ფუძით, მაშინ ყველა n აპოთემა მისთვის იგივე იქნება, რადგან ასეთია ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ტოლფერდა სამკუთხედები. გაითვალისწინეთ, რომ იდენტური აპოთემები ჩვეულებრივი პირამიდის საკუთრებაა. ზოგადი ტიპის ფიგურისთვის (ირიბი არარეგულარული n-გონებით) ყველა n აპთემა განსხვავებული იქნება.
რეგულარული პირამიდის აპოთემის კიდევ ერთი თვისებაა ის, რომ ის ერთდროულად არის შესაბამისი სამკუთხედის სიმაღლე, მედიანა და ბისექტრი. ეს ნიშნავს, რომ იგი ყოფს მას ორ იდენტურ მართკუთხა სამკუთხედად.
სამკუთხა პირამიდა და მისი აპოთემის განსაზღვრის ფორმულები
ნებისმიერ ჩვეულებრივ პირამიდაში მნიშვნელოვანი წრფივი მახასიათებლებია მისი ფუძის მხარის სიგრძე, გვერდითი კიდე b, სიმაღლე h და აპოთემა hb. ეს სიდიდეები ერთმანეთთან დაკავშირებულია შესაბამისი ფორმულებით, რომლებიც შეიძლება მივიღოთ პირამიდის დახაზვით და საჭირო მართკუთხა სამკუთხედების გათვალისწინებით.
რეგულარული სამკუთხა პირამიდა შედგება 4 სამკუთხა სახისგან და მათგან ერთი (ფუძე) ტოლგვერდა უნდა იყოს. დანარჩენები ზოგად შემთხვევაში ტოლფერდაა. აპოთემასამკუთხა პირამიდა შეიძლება განისაზღვროს სხვა რაოდენობების მიხედვით შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:
hb=√(b2- a2/4);
სთb=√(a2/12 + სთ2)
ამ გამოთქმებიდან პირველი მოქმედებს ნებისმიერი სწორი ფუძის მქონე პირამიდისთვის. მეორე გამოთქმა დამახასიათებელია მხოლოდ სამკუთხა პირამიდისთვის. ეს გვიჩვენებს, რომ აპოთემა ყოველთვის მეტია ფიგურის სიმაღლეზე.
არ აურიოთ პირამიდის აპოთემა მრავალედრონის აპოთემაში. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, აპოთემა არის პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელიც გამოყვანილია პოლიედონის მხარეს მისი ცენტრიდან. მაგალითად, ტოლგვერდა სამკუთხედის აპოთემა არის √3/6a.
აპოთემის ამოცანა
მოცემული იყოს ჩვეულებრივი პირამიდა ფუძეზე სამკუთხედით. მისი აპოთემის გამოთვლა აუცილებელია, თუ ცნობილია, რომ ამ სამკუთხედის ფართობია 34 სმ2, ხოლო თავად პირამიდა შედგება 4 იდენტური სახიდან..
პრობლემის პირობის შესაბამისად, საქმე გვაქვს ტოლგვერდა სამკუთხედებისგან შემდგარ ტეტრაედრონთან. ერთი სახის ფართობის ფორმულა არის:
S=√3/4a2
სად მივიღებთ a გვერდის სიგრძეს:
a=2√(S/√3)
აპოთემის დასადგენად hbვიყენებთ ფორმულას, რომელიც შეიცავს გვერდითი კიდეს b. განსახილველ შემთხვევაში მისი სიგრძე უდრის ფუძის სიგრძეს, გვაქვს:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
a მნიშვნელობის ჩანაცვლება S-მდე,მივიღებთ საბოლოო ფორმულას:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
მივიღეთ მარტივი ფორმულა, რომელშიც პირამიდის აპოთემა დამოკიდებულია მხოლოდ მისი ფუძის ფართობზე. თუ ამოცანის მდგომარეობიდან S მნიშვნელობას შევცვლით, მივიღებთ პასუხს: hb≈ 7, 674 სმ.
