ტიპიური გეომეტრიული ამოცანები სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში არის სხვადასხვა ფორმის ზედაპირის ფართობის განსაზღვრის ამოცანები. ამ სტატიაში წარმოგიდგენთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულას.
რა არის პირამიდა?
მოდით მივცეთ პირამიდის მკაცრი გეომეტრიული განმარტება. დავუშვათ, არის რამდენიმე მრავალკუთხედი n გვერდით და n კუთხით. ვირჩევთ სივრცეში თვითნებურ წერტილს, რომელიც არ იქნება მითითებული n-კუთხედის სიბრტყეში და ვუკავშირდებით მას მრავალკუთხედის თითოეულ წვეროსთან. ჩვენ მივიღებთ ფიგურას, რომელსაც აქვს გარკვეული მოცულობა, რომელსაც n-გონალური პირამიდა ეწოდება. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ვაჩვენოთ, როგორ გამოიყურება ხუთკუთხა პირამიდა.
ნებისმიერი პირამიდის ორი მნიშვნელოვანი ელემენტია მისი ფუძე (n-gon) და ზედა. ეს ელემენტები ერთმანეთთან დაკავშირებულია n სამკუთხედით, რომლებიც ზოგადად არ არის ერთმანეთის ტოლი. პერპენდიკულარული ჩამოვარდაზემოდან ქვემოთ ეწოდება ფიგურის სიმაღლე. თუ იგი კვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში (ემთხვევა მრავალკუთხედის მასის ცენტრს), მაშინ ასეთ პირამიდას სწორ ხაზს უწოდებენ. თუ ამ პირობის გარდა, ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, მაშინ მთელ პირამიდას ეწოდება რეგულარული. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება რეგულარული პირამიდები სამკუთხა, ოთხკუთხა, ხუთკუთხა და ექვსკუთხა ფუძეებით.
პირამიდის ზედაპირი
სანამ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საკითხს გადავიდოდეთ, თავად ზედაპირის კონცეფციაზე უნდა ვისაუბროთ.
როგორც ზემოთ აღინიშნა და ნაჩვენებია ფიგურებში, ნებისმიერი პირამიდა წარმოიქმნება სახეების ან გვერდების ნაკრებით. ერთი მხარე არის ფუძე და n გვერდი სამკუთხედია. მთელი ფიგურის ზედაპირი არის მისი თითოეული მხარის ფართობების ჯამი.
მოხერხებულია ზედაპირის შესწავლა ფიგურის გაშლის მაგალითზე. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სკანირება ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურებში.
ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი ზედაპირის ფართობი უდრის იდენტური ტოლფერდა სამკუთხედების ოთხი ფართობის ჯამს და კვადრატის ფართობს.
ყველა სამკუთხედის საერთო ფართობს, რომლებიც ქმნიან ფიგურის გვერდებს, ეწოდება გვერდითი ზედაპირის ფართობი. შემდეგი, ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ ის ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდისთვის.
ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
ლატერალური ფართობის გამოსათვლელადმითითებული ფიგურის ზედაპირზე, ჩვენ კვლავ მივმართავთ ზემოთ მოცემულ სკანირებას. დავუშვათ, ვიცით კვადრატული ფუძის მხარე. ავღნიშნოთ ა სიმბოლოთი. ჩანს, რომ ოთხი იდენტური სამკუთხედიდან თითოეულს აქვს a სიგრძის ფუძე. მათი მთლიანი ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს მნიშვნელობა ერთი სამკუთხედისთვის. გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია, რომ სამკუთხედის ფართობი St უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, რომელიც უნდა გაიყოს ნახევრად. ეს არის:
St=1/2სთba.
სადაც hb არის a ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე. პირამიდისთვის ეს სიმაღლე აპოთემაა. ახლა რჩება მიღებული გამოსახულების 4-ზე გამრავლება, რათა მივიღოთ მოცემული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის S ფართობი:
Sb=4St=2სთba.
ეს ფორმულა შეიცავს ორ პარამეტრს: აპოთემას და ფუძის მხარეს. თუ ეს უკანასკნელი ცნობილია პრობლემების უმეტეს პირობებში, მაშინ პირველი უნდა გამოითვალოს სხვა რაოდენობების ცოდნით. აქ მოცემულია აპოტემის გამოთვლის ფორმულები hb ორი შემთხვევისთვის:
- როდესაც ცნობილია გვერდითი ნეკნის სიგრძე;
- როცა პირამიდის სიმაღლე ცნობილია.
თუ გვერდითი კიდის (ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდი) სიგრძეს აღვნიშნავთ L სიმბოლოთი, მაშინ აპოტემა hb განისაზღვრება ფორმულით:
hb=√(L2 - a2/4).
ეს გამოხატულება არის პითაგორას თეორემის გამოყენების შედეგი გვერდითი ზედაპირის სამკუთხედისთვის.
თუ ცნობილიაპირამიდის სიმაღლე h, შემდეგ აპოტემა hb შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:
სთb=√(h2 + a2/4).
ამ გამოხატვის მიღება ასევე არ არის რთული, თუ პირამიდის შიგნით განვიხილავთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც წარმოიქმნება h და a/2 ფეხებით და ჰიპოტენუზა hb.
მოდით ვაჩვენოთ როგორ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ორი საინტერესო ამოცანის ამოხსნით.
პრობლემა ცნობილ ზედაპირის ფართობთან
ცნობილია, რომ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 108 სმ2. აუცილებელია გამოვთვალოთ მისი აპოთემის სიგრძის მნიშვნელობა hb, თუ პირამიდის სიმაღლეა 7 სმ..
მოდით დავწეროთ ფორმულა გვერდითი ზედაპირის Sb ფართობის სიმაღლეზე. ჩვენ გვაქვს:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
აქ ჩვენ უბრალოდ ჩავანაცვლეთ შესაბამისი აპოტემის ფორმულა Sb-ისთვის. მოდით კვადრატში გავავლოთ განტოლების ორივე მხარე:
Sb2=4a2სთ2 + a4.
a-ს მნიშვნელობის საპოვნელად, მოდით შევცვალოთ ცვლადები:
a2=t;
t2+ 4სთ2t - Sb 2=0.
ჩვენ ახლა ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს და ვხსნით კვადრატულ განტოლებას:
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
ჩვენ დავწერეთ ამ განტოლების მხოლოდ დადებითი ფესვი. მაშინ პირამიდის ფუძის გვერდები იქნება:
a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 სმ.
აპოტემის სიგრძის მისაღებად,უბრალოდ გამოიყენეთ ფორმულა:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 იხილეთ
კეოპსის პირამიდის გვერდითი ზედაპირი
განსაზღვრეთ გვერდითი ზედაპირის სიდიდე ყველაზე დიდი ეგვიპტური პირამიდისთვის. ცნობილია, რომ მის ძირში მდებარეობს კვადრატი, რომლის გვერდის სიგრძეა 230,363 მეტრი. სტრუქტურის სიმაღლე თავდაპირველად 146,5 მეტრი იყო. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები Sb-ის შესაბამის ფორმულაში, მივიღებთ:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 მ2.
ნაპოვნი მნიშვნელობა ოდნავ აღემატება 17 საფეხბურთო მოედნის ფართობს.
