აბსოლუტურად ნებისმიერი სივრცითი ფიგურის შესწავლისას მნიშვნელოვანია იცოდეთ როგორ გამოვთვალოთ მისი მოცულობა. ეს სტატია გთავაზობთ ფორმულას რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობისთვის და ასევე გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა გამოვიყენოთ ეს ფორმულა ამოცანების ამოხსნის მაგალითის გამოყენებით.
რომელ პირამიდაზეა საუბარი?
ყველა საშუალო სკოლის მოსწავლემ იცის, რომ პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება სამკუთხედისა და მრავალკუთხედისგან. ეს უკანასკნელი არის ფიგურის საფუძველი. სამკუთხედებს აქვთ ერთი საერთო გვერდი ფუძესთან და იკვეთება ერთ წერტილზე, რომელიც არის პირამიდის მწვერვალი.
თითოეული პირამიდა ხასიათდება ფუძის გვერდების სიგრძით, გვერდითი კიდეების სიგრძით და სიმაღლით. ეს უკანასკნელი არის პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელიც ჩამოშვებულია ფიგურის ზემოდან ფუძემდე.
რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა არის კვადრატული ფუძის მქონე ფიგურა, რომლის სიმაღლე კვეთს ამ კვადრატს მის ცენტრში. ამ ტიპის პირამიდების ყველაზე ცნობილი მაგალითია ძველი ეგვიპტური ქვის ნაგებობები. ქვემოთ არის ფოტოკეოპსის პირამიდები.
შესწავლილ ფიგურას აქვს ხუთი სახე, რომელთაგან ოთხი იდენტური ტოლფერდა სამკუთხედია. მას ასევე ახასიათებს ხუთი წვერო, რომელთაგან ოთხი ეკუთვნის ფუძეს, და რვა კიდე (ფუძის 4 კიდე და გვერდითი მხარეების 4 კიდე).
ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობის ფორმულა სწორია
აღნიშნული ფიგურის მოცულობა არის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ხუთი გვერდით. ამ მოცულობის გამოსათვლელად ვიყენებთ Szz პირამიდის ფუძის პარალელურად ნაჭერის ფართობის შემდეგ დამოკიდებულებას ვერტიკალურ კოორდინატზე z:
Sz=So (სთ - ზ/სთ)2
აქ So არის კვადრატული ფუძის ფართობი. თუ ჩავანაცვლებთ z=h წერილობით გამოსახულებაში, მაშინ მივიღებთ ნულოვან მნიშვნელობას Sz-ისთვის. z-ის ეს მნიშვნელობა შეესაბამება ნაჭერს, რომელიც შეიცავს მხოლოდ პირამიდის ზედა ნაწილს. თუ z=0, მაშინ მივიღებთ საბაზისო ფართობის მნიშვნელობას So.
პირამიდის მოცულობის პოვნა ადვილია, თუ იცით ფუნქცია Sz(z), ამისათვის საკმარისია ფიგურის დაჭრა უსასრულო რიცხვად. ფენები ბაზის პარალელურად და შემდეგ განახორციელეთ ინტეგრაციის ოპერაცია. მე მივყვები ამ ტექნიკას, მივიღებთ:
V=∫0სთ(Sz)dz=-S 0(სთ-ზ)3 / (3სთ2)|0 სთ=1/3S0სთ.
იმიტომ რომ S0 არისკვადრატული ფუძის ფართობი, შემდეგ, კვადრატის გვერდის აღნიშვნა ასო a-თი, ვიღებთ ფორმულას რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობისთვის:
V=1/3a2სთ.
ახლა გამოვიყენოთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითები იმის საჩვენებლად, თუ როგორ უნდა იქნას გამოყენებული ეს გამოთქმა.
პირამიდის მოცულობის განსაზღვრის პრობლემა მისი აპოთემისა და გვერდითი კიდეების მეშვეობით
პირამიდის აპოთემა არის მისი გვერდითი სამკუთხედის სიმაღლე, რომელიც დაშვებულია ფუძის მხარეს. ვინაიდან ყველა სამკუთხედი ტოლია ჩვეულებრივ პირამიდაში, მათი აპოთემებიც იგივე იქნება. ავღნიშნოთ მისი სიგრძე სიმბოლოთი hb. აღნიშნეთ გვერდითი კიდე, როგორც b.
იცოდით, რომ პირამიდის აპოთემა არის 12 სმ, ხოლო მისი გვერდითი კიდე 15 სმ, იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა.
წინა აბზაცში დაწერილი ფიგურის მოცულობის ფორმულა შეიცავს ორ პარამეტრს: გვერდის სიგრძე a და სიმაღლე h. ამ დროისთვის ჩვენ არცერთ მათგანს არ ვიცნობთ, ამიტომ გადავხედოთ მათ გამოთვლებს.
a კვადრატის გვერდის სიგრძის გამოთვლა ადვილია, თუ იყენებთ პითაგორას თეორემას მართკუთხა სამკუთხედისთვის, რომელშიც ჰიპოტენუზა არის კიდე b, ხოლო ფეხები არის აპოთემა h. b და a/2 ფუძის გვერდის ნახევარი. ჩვენ ვიღებთ:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
პირობიდან ცნობილი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, მივიღებთ მნიშვნელობას a=18 სმ.
პირამიდის h სიმაღლის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გააკეთოთ ორი რამ: განიხილეთ მართკუთხასამკუთხედი ჰიპოტენუზა-გვერდითი კიდით ან ჰიპოტენუზა-აპოთემით. ორივე მეთოდი თანაბარია და მოიცავს მათემატიკური მოქმედებების ერთნაირი რაოდენობის შესრულებას. მოდით ვისაუბროთ სამკუთხედის განხილვაზე, სადაც ჰიპოტენუზა არის აპოთემა hb. მასში ფეხები იქნება h და a/2. შემდეგ მივიღებთ:
სთ=√(სთb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 სმ.
ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა V ტომისთვის:
V=1/3a2სთ=1/31827, 937=857, 196 სმ 3.
ამგვარად, რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა არის დაახლოებით 0,86 ლიტრი.
კეოპსის პირამიდის მოცულობა
ახლა მოვაგვაროთ საინტერესო და პრაქტიკულად მნიშვნელოვანი პრობლემა: ვიპოვოთ გიზას უდიდესი პირამიდის მოცულობა. ლიტერატურიდან ცნობილია, რომ შენობის საწყისი სიმაღლე იყო 146,5 მეტრი, ხოლო ძირის სიგრძე 230,363 მეტრი. ეს რიცხვები საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ ფორმულა V-ის გამოსათვლელად. ვიღებთ:
V=1/3a2სთ=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 მ 3.
მიღებული მნიშვნელობა არის თითქმის 2,6 მილიონი მ3. ეს მოცულობა შეესაბამება კუბის მოცულობას, რომლის გვერდია 137,4 მეტრი.
