პრიზმა არის მრავალწახნაგოვანი ან მრავალწახნაგოვანი, რომელიც შეისწავლება მყარი გეომეტრიის სასკოლო კურსში. ამ პოლიედრონის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება მისი მოცულობაა. მოდით განვიხილოთ სტატიაში, თუ როგორ შეიძლება გამოვთვალოთ ეს მნიშვნელობა და ასევე მივცეთ ფორმულები პრიზმების მოცულობისთვის - რეგულარული ოთხკუთხა და ექვსკუთხა.
პრიზმი სტერეომეტრიაში
ეს ფიგურა გაგებულია, როგორც პოლიედონი, რომელიც შედგება ორი იდენტური პოლიგონისგან, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში და რამდენიმე პარალელოგრამისგან. გარკვეული ტიპის პრიზმებისთვის, პარალელოგრამები შეიძლება წარმოადგენდეს მართკუთხა ოთხკუთხედებს ან კვადრატებს. ქვემოთ მოცემულია ეგრეთ წოდებული ხუთკუთხა პრიზმის მაგალითი.
ფიგურის ასაგებად, როგორც ზემოთ მოცემულ ფიგურაში, თქვენ უნდა აიღოთ ხუთკუთხედი და განახორციელოთ მისი პარალელური გადატანა სივრცეში გარკვეულ მანძილზე. პარალელოგრამების გამოყენებით ორი ხუთკუთხედის გვერდების შეერთებით მივიღებთ სასურველ პრიზმას.
ყველა პრიზმა შედგება სახეების, წვეროებისა და კიდეებისგან. პრიზმის წვეროებიპირამიდისგან განსხვავებით, ისინი თანაბარია, თითოეული მათგანი ორიდან ერთ-ერთ ფუძეს ეხება. სახეები და კიდეები ორი ტიპისაა: ისინი, რომლებიც ეკუთვნის ფუძეებს და ისინი, რომლებიც ეკუთვნის გვერდებს.
პრიზმები რამდენიმე ტიპისაა (სწორი, ირიბი, ამოზნექილი, სწორი, ჩაზნექილი). სტატიაში მოგვიანებით განვიხილოთ, რა ფორმულით გამოითვლება პრიზმის მოცულობა ფიგურის ფორმის გათვალისწინებით.
ზოგადი გამოხატულება პრიზმის მოცულობის დასადგენად
მიუხედავად იმისა, თუ რომელ ტიპს მიეკუთვნება შესასწავლი ფიგურა, სწორია თუ ირიბი, რეგულარული თუ არარეგულარული, არსებობს უნივერსალური გამოხატულება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მისი მოცულობა. სივრცითი ფიგურის მოცულობა არის სივრცის ფართობი, რომელიც ჩასმულია მის სახეებს შორის. პრიზმის მოცულობის ზოგადი ფორმულა არის:
V=So × სთ.
აქ So წარმოადგენს ფუძის ფართობს. უნდა გვახსოვდეს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ ერთ საფუძველზე და არა ორზე. h მნიშვნელობა არის სიმაღლე. შესასწავლი ფიგურის სიმაღლე გაგებულია, როგორც მანძილი მის იდენტურ ფუძეებს შორის. თუ ეს მანძილი ემთხვევა გვერდითი ნეკნების სიგრძეს, მაშინ საუბარია სწორ პრიზმაზე. სწორ ფიგურაში ყველა გვერდი მართკუთხედია.
ამგვარად, თუ პრიზმა ირიბია და აქვს არარეგულარული ფუძის მრავალკუთხედი, მაშინ მისი მოცულობის გამოთვლა უფრო რთული ხდება. თუ ფიგურა სწორია, მაშინ მოცულობის გამოთვლა მცირდება მხოლოდ ფუძის So ფართობის განსაზღვრამდე.
რეგულარული ფიგურის მოცულობის განსაზღვრა
რეგულარული არის ნებისმიერი პრიზმა, რომელიც სწორია და აქვს მრავალკუთხა ფუძე გვერდებითა და კუთხეებით ერთმანეთის ტოლი. მაგალითად, ასეთი რეგულარული მრავალკუთხედები არის კვადრატი და ტოლგვერდა სამკუთხედი. ამავდროულად, რომბი არ არის რეგულარული ფიგურა, რადგან მისი ყველა კუთხე არ არის ტოლი.
რეგულარული პრიზმის მოცულობის ფორმულა ცალსახად გამომდინარეობს V-ის ზოგადი გამონათქვამიდან, რომელიც დაიწერა სტატიის წინა აბზაცში. სანამ შესაბამისი ფორმულის დაწერას გააგრძელებთ, აუცილებელია სწორი ბაზის ფართობის დადგენა. მათემატიკური დეტალების გარეშე წარმოგიდგენთ მითითებული ფართობის განსაზღვრის ფორმულას. ის უნივერსალურია ნებისმიერი რეგულარული n-გონებისთვის და აქვს შემდეგი ფორმა:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
როგორც ხედავთ გამონათქვამიდან, ფართობი Sn არის ორი პარამეტრის ფუნქცია. მთელ რიცხვს n შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 3-დან უსასრულობამდე. მნიშვნელობა a არის n-გონების მხარის სიგრძე.
ფიგურის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მხოლოდ S ფართობის გამრავლება h სიმაღლეზე ან გვერდითი კიდის სიგრძეზე b (h=b). შედეგად მივდივართ შემდეგ სამუშაო ფორმულამდე:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × სთ.
გაითვალისწინეთ, რომ თვითნებური ტიპის პრიზმის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე სიდიდე (ფუძის გვერდების სიგრძე, სიმაღლე, ფიგურის ორმხრივი კუთხეები), მაგრამ გამოთვალოთ V მნიშვნელობა. ჩვეულებრივი პრიზმა, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ მხოლოდ ორი წრფივი პარამეტრი, მაგალითად, a და h.
ოთხკუთხა რეგულარული პრიზმის მოცულობა
ოთხკუთხა პრიზმას პარალელეპიპედი ეწოდება. თუ მისი ყველა სახე ტოლია და კვადრატია, მაშინ ასეთი ფიგურა იქნება კუბი. ყველა მოსწავლემ იცის, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის ან კუბის მოცულობა განისაზღვრება მისი სამი განსხვავებული მხარის (სიგრძე, სიმაღლე და სიგანე) გამრავლებით. ეს ფაქტი გამომდინარეობს წერილობითი ზოგადი მოცულობის გამოხატულებიდან რეგულარული ფიგურისთვის:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× სთ=a2 × სთ.
აქ 45°-ის კოტანგენსი უდრის 1-ს. გაითვალისწინეთ, რომ h სიმაღლისა და a ფუძის მხარის სიგრძის ტოლობა ავტომატურად მივყავართ კუბის მოცულობის ფორმულამდე.
ჰექსაგონური რეგულარული პრიზმის მოცულობა
ახლა გამოიყენეთ ზემოაღნიშნული თეორია ექვსკუთხა ფუძის მქონე ფიგურის მოცულობის დასადგენად. ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეცვალოთ მნიშვნელობა n=6 ფორმულაში:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × სთ=3 × √3/2 × a2 × სთ.
წერილობითი გამოხატვის მიღება შესაძლებელია დამოუკიდებლად S-ის უნივერსალური ფორმულის გამოყენების გარეშე. ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ რეგულარული ექვსკუთხედი ექვს ტოლგვერდა სამკუთხედად. თითოეული მათგანის გვერდი ტოლი იქნება a. ერთი სამკუთხედის ფართობი შეესაბამება:
S3=√3/4 × a2.
ამ მნიშვნელობის გამრავლებით სამკუთხედების რაოდენობაზე (6) და სიმაღლეზე, მივიღებთ მოცულობის ზემოთ მოცემულ ფორმულას.
