გეომეტრიაში ფიგურების შესასწავლად გამოიყენება ორი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: გვერდების სიგრძე და მათ შორის კუთხეები. სივრცითი ფიგურების შემთხვევაში, ამ მახასიათებლებს ემატება დიედრული კუთხეები. განვიხილოთ რა არის ეს და ასევე აღვწეროთ ამ კუთხეების განსაზღვრის მეთოდი პირამიდის მაგალითის გამოყენებით.
დიედრული კუთხის კონცეფცია
ყველამ იცის, რომ ორი გადამკვეთი წრფე ქმნის კუთხეს წვეროსთან მათი გადაკვეთის წერტილში. ეს კუთხე შეიძლება გაიზომოს პროტრატორით, ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მის გამოსათვლელად. ორი მართი კუთხით წარმოქმნილ კუთხეს წრფივი ეწოდება.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში არის ორი სიბრტყე, რომლებიც იკვეთება სწორ ხაზზე. ისინი ნაჩვენებია სურათზე.
დიედრული კუთხე არის კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის. ისევე, როგორც ხაზოვანი, ის იზომება გრადუსით ან რადიანებით. თუ წრფის რომელიმე წერტილზე, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები იკვეთება, აღადგინეთ ორი პერპენდიკულარი,ამ სიბრტყეებში წევს, მაშინ მათ შორის კუთხე იქნება სასურველი დიჰედრული. ამ კუთხის დასადგენად ყველაზე მარტივი გზა სიბრტყეების ზოგადი განტოლებების გამოყენებაა.
სიბრტყეების განტოლება და მათ შორის კუთხის ფორმულა
სივრცეში ნებისმიერი სიბრტყის განტოლება ზოგადი სახით იწერება შემდეგნაირად:
A × x + B × y + C × z + D=0.
აქ x, y, z არის სიბრტყის კუთვნილი წერტილების კოორდინატები, A, B, C, D კოეფიციენტები ზოგიერთი ცნობილი რიცხვია. ამ თანასწორობის მოხერხებულობა დიედრული კუთხეების გამოსათვლელად არის ის, რომ ის აშკარად შეიცავს სიბრტყის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს. ჩვენ აღვნიშნავთ მას n¯-ით. მაშინ:
n¯=(A; B; C).
ვექტორი n¯ სიბრტყის პერპენდიკულარულია. კუთხე ორ სიბრტყეს შორის უდრის კუთხეს მათ მიმართულების ვექტორებს შორის n1¯ და n2¯. მათემატიკიდან ცნობილია, რომ ორი ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხე ცალსახად განისაზღვრება მათი სკალარული ნამრავლიდან. ეს საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ფორმულა ორ სიბრტყეს შორის დიედრული კუთხის გამოსათვლელად:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
თუ შევცვლით ვექტორების კოორდინატებს, ფორმულა ცალსახად დაიწერება:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
მოდულის ნიშანი მრიცხველში გამოიყენება მხოლოდ მკვეთრი კუთხის განსასაზღვრად, ვინაიდან დიედრული კუთხე ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია 90o.
პირამიდა და მისი კუთხეები
პირამიდა არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი n-კუთხედით და n სამკუთხედით. აქ n არის მთელი რიცხვი, რომელიც უდრის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას, რომელიც არის პირამიდის საფუძველი. ეს სივრცითი ფიგურა არის პოლიედონი ან პოლიედონი, რადგან იგი შედგება ბრტყელი სახეებისგან (გვერდებისგან).
პირამიდა-მრავალედნის ორმხრივი კუთხეები შეიძლება იყოს ორი ტიპის:
- ძირასა და გვერდს შორის (სამკუთხედი);
- ორ მხარეს შორის.
თუ პირამიდა რეგულარულად ითვლება, მაშინ ადვილია მისთვის დასახელებული კუთხეების დადგენა. ამისათვის, სამი ცნობილი წერტილის კოორდინატების გამოყენებით, უნდა შეადგინოთ სიბრტყეების განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ ფორმულა ზემოთ მოცემულ აბზაცში φ კუთხისთვის.
ქვემოთ ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს, რომელშიც ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ორკუთხედი კუთხეები ოთხკუთხა წესიერი პირამიდის ფუძესთან.
ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდა და კუთხე მის ფუძესთან
ვვარაუდოთ, რომ მოცემულია ჩვეულებრივი პირამიდა კვადრატული ფუძით. კვადრატის გვერდის სიგრძეა a, ფიგურის სიმაღლე h. იპოვეთ კუთხე პირამიდის ფუძესა და მის მხარეს შორის.
მოდით კოორდინატთა სისტემის საწყისი კვადრატის ცენტრში მოვათავსოთ. შემდეგ წერტილების კოორდინატებისურათზე ნაჩვენები A, B, C, D იქნება:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; სთ).
განვიხილოთ თვითმფრინავები ACB და ADB. ცხადია, მიმართულების ვექტორი n1¯ ACB სიბრტყისთვის იქნება:
1¯=(0; 0; 1).
ADB სიბრტყის მიმართულების ვექტორის n2¯ დასადგენად, იმოქმედეთ შემდეგნაირად: იპოვეთ ორი თვითნებური ვექტორი, რომელიც ეკუთვნის მას, მაგალითად, AD¯ და AB¯, შემდეგ გამოთვალეთ მათი ვექტორული მუშაობა. მისი შედეგი მისცემს კოორდინატებს n2¯. ჩვენ გვაქვს:
AD¯=D - A=(0; 0; სთ) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × სთ; 0;-a2/2).
ვინაიდან ვექტორის რიცხვზე გამრავლება და გაყოფა არ ცვლის მის მიმართულებას, ჩვენ გარდაქმნით მიღებულ n2¯, მისი კოორდინატების -a-ზე გაყოფით მივიღებთ:
2¯=(სთ; 0; a/2).
ჩვენ განვსაზღვრეთ ვექტორული სახელმძღვანელო n1¯ და n2¯ ACB ფუძისა და ADB გვერდითი სიბრტყეებისთვის. რჩება ფორმულის გამოყენება φ კუთხისთვის:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
გადააკეთეთ მიღებული გამონათქვამი და გადაწერეთ შემდეგნაირად:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
ჩვენ მივიღეთ ფორმულა ორკუთხა კუთხის ფუძეზე რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდისთვის. ფიგურის სიმაღლისა და მისი მხარის სიგრძის ცოდნა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ φ კუთხე. მაგალითად, კეოპსის პირამიდისთვის, რომლის ფუძის გვერდი არის 230,4 მეტრი, ხოლო საწყისი სიმაღლე იყო 146,5 მეტრი, კუთხე φ იქნება 51,8o.
ასევე შესაძლებელია ოთხკუთხა წესიერი პირამიდის დიედრული კუთხის დადგენა გეომეტრიული მეთოდით. ამისათვის საკმარისია განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება h სიმაღლით, a/2 ფუძის სიგრძის ნახევარით და ტოლფერდა სამკუთხედის აპოთემით.
