ეს გეომეტრიული ფიგურები ყველგან გარს გვიკრავს. ამოზნექილი მრავალკუთხედები შეიძლება იყოს ბუნებრივი, როგორიცაა თაფლი, ან ხელოვნური (ადამიანის მიერ შექმნილი). ეს ფიგურები გამოიყენება სხვადასხვა სახის საფარის წარმოებაში, ფერწერაში, არქიტექტურაში, დეკორაციებში და ა.შ. ამოზნექილ მრავალკუთხედებს აქვთ თვისება, რომ მათი ყველა წერტილი იყოს სწორი ხაზის ერთ მხარეს, რომელიც გადის ამ გეომეტრიული ფიგურის მიმდებარე წვეროების წყვილზე. არის სხვა განმარტებებიც. მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ იგი მდებარეობს ერთ ნახევარ სიბრტყეში ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ, რომელიც შეიცავს მის ერთ-ერთ მხარეს.
ამოზნექილი მრავალკუთხედები
ელემენტარული გეომეტრიის მსვლელობისას ყოველთვის განიხილება მხოლოდ მარტივი მრავალკუთხედები. ასეთის ყველა თვისების გასაგებადგეომეტრიული ფორმები, აუცილებელია მათი ბუნების გაგება. დასაწყისისთვის, უნდა გვესმოდეს, რომ ნებისმიერ ხაზს ეწოდება დახურული, რომლის ბოლოები ემთხვევა. უფრო მეტიც, მის მიერ ჩამოყალიბებულ ფიგურას შეიძლება ჰქონდეს მრავალფეროვანი კონფიგურაცია. მრავალკუთხედი არის მარტივი დახურული გატეხილი ხაზი, რომელშიც მეზობელი ბმულები არ არის განლაგებული იმავე სწორ ხაზზე. მისი რგოლები და წვეროები, შესაბამისად, ამ გეომეტრიული ფიგურის გვერდები და წვეროებია. მარტივ პოლიხაზს არ უნდა ჰქონდეს თვითგადაკვეთები.
მრავალკუთხედის წვეროებს მიმდებარე ეწოდება, თუ ისინი წარმოადგენენ მისი ერთ-ერთი გვერდის ბოლოებს. გეომეტრიულ ფიგურას, რომელსაც აქვს წვეროების n-ე რიცხვი და, შესაბამისად, გვერდების n-ე რიცხვი, ეწოდება n-გონ. თავად გაწყვეტილ ხაზს ამ გეომეტრიული ფიგურის საზღვარი ან კონტური ეწოდება. მრავალკუთხა სიბრტყეს ან ბრტყელ მრავალკუთხედს უწოდებენ მის მიერ შემოსაზღვრულ ნებისმიერი სიბრტყის ბოლო ნაწილს. ამ გეომეტრიული ფიგურის მიმდებარე გვერდებს უწოდებენ გატეხილი ხაზის სეგმენტებს, რომლებიც წარმოიქმნება ერთი წვეროდან. ისინი არ იქნებიან მეზობლად, თუ ისინი მოდიან მრავალკუთხედის სხვადასხვა წვეროდან.
ამოზნექილი მრავალკუთხედების სხვა განმარტებები
ელემენტარულ გეომეტრიაში არსებობს კიდევ რამდენიმე ეკვივალენტური განმარტება, რომელიც მიუთითებს რომელ მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი. ყველა ეს განცხადება თანაბრად მართალია. მრავალკუთხედი ითვლება ამოზნექილ, თუ:
• ყოველი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის შიგნით არსებულ ნებისმიერ ორ წერტილს, მთლიანად მასშია;
• მის შიგნითმისი ყველა დიაგონალი დევს;
• ნებისმიერი შიდა კუთხე არ აღემატება 180°.
პოლიგონი ყოველთვის ყოფს სიბრტყეს 2 ნაწილად. ერთი მათგანი შეზღუდულია (ის შეიძლება წრეში იყოს ჩასმული), მეორე კი შეუზღუდავია. პირველს ეწოდება შიდა რეგიონი, ხოლო მეორე არის ამ გეომეტრიული ფიგურის გარე რეგიონი. ეს მრავალკუთხედი არის რამდენიმე ნახევარსიბრტყის კვეთა (სხვა სიტყვებით, საერთო კომპონენტი). უფრო მეტიც, ყოველი სეგმენტი, რომელსაც ბოლოები აქვს მრავალკუთხედის კუთვნილ წერტილებზე, მთლიანად ეკუთვნის მას.
ამოზნექილი მრავალკუთხედების ჯიშები
ამოზნექილი მრავალკუთხედის განმარტება არ მიუთითებს, რომ არსებობს მათი მრავალი სახეობა. და თითოეულ მათგანს აქვს გარკვეული კრიტერიუმები. ასე რომ, ამოზნექილ მრავალკუთხედებს, რომლებსაც აქვთ შიდა კუთხე 180°, ეწოდება სუსტ ამოზნექილი. ამოზნექილ გეომეტრიულ ფიგურას, რომელსაც აქვს სამი წვერო, ეწოდება სამკუთხედი, ოთხი - ოთხკუთხედი, ხუთი - ხუთკუთხედი და ა.შ. თითოეული ამოზნექილი n-გონები აკმაყოფილებს შემდეგ ძირითად მოთხოვნას: n უნდა იყოს 3-ის ტოლი ან მეტი. სამკუთხედები ამოზნექილია. ამ ტიპის გეომეტრიულ ფიგურას, რომელშიც ყველა წვერო განლაგებულია ერთ წრეზე, წრეში ჩაწერილი ეწოდება. ამოზნექილ მრავალკუთხედს შემოხაზული ეწოდება, თუ წრის მახლობლად მისი ყველა გვერდი ეხება მას. ორი მრავალკუთხედი ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი ზედმეტად გადანაწილება შესაძლებელია. სიბრტყის მრავალკუთხედს მრავალკუთხედი სიბრტყე ეწოდება.(სიბრტყის ნაწილი), რომელიც შემოიფარგლება ამ გეომეტრიული ფიგურით.
რეგულარული ამოზნექილი მრავალკუთხედები
წესიერი მრავალკუთხედები არის გეომეტრიული ფორმები თანაბარი კუთხეებით და გვერდებით. მათ შიგნით არის წერტილი 0, რომელიც არის იმავე მანძილზე მისი თითოეული წვეროდან. მას ამ გეომეტრიული ფიგურის ცენტრს უწოდებენ. სეგმენტებს, რომლებიც აკავშირებს ცენტრს ამ გეომეტრიული ფიგურის წვეროებთან, ეწოდება აპოთემები, ხოლო მათ, რომლებიც აკავშირებს 0 წერტილს გვერდებთან, რადიუსი.
რეგულარული ოთხკუთხედი არის კვადრატი. ტოლგვერდა სამკუთხედს ტოლგვერდა სამკუთხედი ეწოდება. ასეთი ფიგურებისთვის არსებობს შემდეგი წესი: ამოზნექილი მრავალკუთხედის თითოეული კუთხე არის 180°(n-2)/ n, სადაც n არის ამ ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურის წვეროების რაოდენობა.
ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობი განისაზღვრება ფორმულით:
S=ph, სადაც p არის მოცემული მრავალკუთხედის ყველა გვერდის ჯამის ნახევარი და h არის აპოთემის სიგრძე.
ამოზნექილი მრავალკუთხედების თვისებები
ამოზნექილ მრავალკუთხედებს აქვთ გარკვეული თვისებები. ასე რომ, სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ასეთი გეომეტრიული ფიგურის ნებისმიერ 2 წერტილს, აუცილებლად მდებარეობს მასში. მტკიცებულება:
ვუშვათ, რომ P არის მოცემული ამოზნექილი მრავალკუთხედი. ვიღებთ 2 თვითნებურ წერტილს, მაგალითად, A, B, რომლებიც ეკუთვნის P. ამოზნექილი მრავალკუთხედის არსებული განმარტებით, ეს წერტილები განლაგებულია წრფის იმავე მხარეს, რომელიც შეიცავს P-ის ნებისმიერ მხარეს.მაშასადამე, AB-საც აქვს ეს თვისება და შეიცავს P-ში. ამოზნექილი მრავალკუთხედი ყოველთვის შეიძლება დაიყოს რამდენიმე სამკუთხედად მისი ერთ-ერთი წვეროდან გამოყვანილი აბსოლუტურად ყველა დიაგონალით.
ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურების კუთხეები
ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეები მისი გვერდებით წარმოქმნილი კუთხეებია. შიდა კუთხეები განლაგებულია მოცემული გეომეტრიული ფიგურის შიდა რეგიონში. კუთხეს, რომელსაც ქმნიან მისი გვერდები, რომლებიც ერთ წვეროზე იყრიან თავს, ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხე ეწოდება. მოცემული გეომეტრიული ფიგურის შიდა კუთხეების მიმდებარე კუთხეებს გარე ეწოდება. მის შიგნით მდებარე ამოზნექილი მრავალკუთხედის თითოეული კუთხეა:
180° - x, სადაც x არის გარე კუთხის მნიშვნელობა. ეს მარტივი ფორმულა მუშაობს ამ ტიპის ნებისმიერი გეომეტრიული ფორმისთვის.
ზოგადად, გარე კუთხეებისთვის არსებობს შემდეგი წესი: ამოზნექილი მრავალკუთხედის თითოეული კუთხე უდრის სხვაობას 180°-სა და შიდა კუთხის მნიშვნელობას შორის. მას შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელობები -180°-დან 180°-მდე. ამიტომ, როდესაც შიდა კუთხე არის 120°, გარე კუთხე იქნება 60°.
ამოზნექილი მრავალკუთხედების კუთხეების ჯამი
ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი დადგენილია ფორმულით:
180°(n-2), სადაც n არის n-გონების წვეროების რაოდენობა.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი საკმაოდ მარტივი გამოსათვლელია. განვიხილოთ ნებისმიერი ასეთი გეომეტრიული ფიგურა. ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიგნით კუთხეების ჯამის დასადგენად აუცილებელიადააკავშირეთ მისი ერთ-ერთი წვერო სხვა წვეროებთან. ამ მოქმედების შედეგად მიიღება (n-2) სამკუთხედები. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის არის 180°. ვინაიდან მათი რიცხვი ნებისმიერ მრავალკუთხედში არის (n-2), ასეთი ფიგურის შიდა კუთხეების ჯამი არის 180° x (n-2).
ამოზნექილი მრავალკუთხედის, კერძოდ, ნებისმიერი ორი შიდა და მიმდებარე გარე კუთხის კუთხეების ჯამი მოცემული ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურისთვის ყოველთვის იქნება 180°-ის ტოლი. ამის საფუძველზე შეგიძლიათ განსაზღვროთ მისი ყველა კუთხის ჯამი:
180 x n.
შიდა კუთხეების ჯამი არის 180°(n-2). ამის საფუძველზე, ამ ფიგურის ყველა გარე კუთხის ჯამი დადგენილია ფორმულით:
180°n-180°-(n-2)=360°.
ნებისმიერი ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი ყოველთვის იქნება 360° (განურჩევლად გვერდების რაოდენობისა).
ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხე ზოგადად წარმოდგენილია 180°-სა და შიდა კუთხის მნიშვნელობის სხვაობით.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის სხვა თვისებები
ამ გეომეტრიული ფიგურების ძირითადი თვისებების გარდა, მათ აქვთ სხვა თვისებები, რომლებიც წარმოიქმნება მათი მანიპულირებისას. ამრიგად, ნებისმიერი მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ამოზნექილ n-გონად. ამისათვის აუცილებელია მისი თითოეული მხარის გაგრძელება და ამ სწორი ხაზების გასწვრივ ამ გეომეტრიული ფიგურის გაჭრა. ასევე შესაძლებელია ნებისმიერი მრავალკუთხედის დაყოფა რამდენიმე ამოზნექილ ნაწილად ისე, რომ თითოეული ნაწილის წვეროები დაემთხვეს მის ყველა წვეროს. ასეთი გეომეტრიული ფიგურიდან სამკუთხედები ძალიან მარტივად შეიძლება გაკეთდეს ყველა დახატვითდიაგონალები ერთი წვეროდან. ამრიგად, ნებისმიერი მრავალკუთხედი საბოლოოდ შეიძლება დაიყოს სამკუთხედების გარკვეულ რაოდენობად, რაც ძალიან გამოსადეგი აღმოჩნდება ასეთ გეომეტრიულ ფორმებთან დაკავშირებული სხვადასხვა ამოცანების გადასაჭრელად.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის პერიმეტრი
გატეხილი ხაზის სეგმენტები, რომელსაც უწოდებენ მრავალკუთხედის გვერდებს, ყველაზე ხშირად აღნიშნავენ შემდეგი ასოებით: ab, bc, cd, de, ea. ეს არის გეომეტრიული ფიგურის გვერდები a, b, c, d, e წვეროებით. ამ ამოზნექილი მრავალკუთხედის ყველა გვერდის სიგრძეთა ჯამს ეწოდება მისი პერიმეტრი.
მრავალკუთხედის გარშემოწერილობა
ამოზნექილი მრავალკუთხედები შეიძლება იყოს ჩაწერილი და შემოხაზული. წრეს, რომელიც ეხება ამ გეომეტრიული ფიგურის ყველა მხარეს, მასში ჩაწერილი ეწოდება. ასეთ მრავალკუთხედს შემოხაზული ეწოდება. წრის ცენტრი, რომელიც ჩაწერილია მრავალკუთხედში, არის მოცემული გეომეტრიული ფიგურის ფარგლებში ყველა კუთხის ბისექტრების გადაკვეთის წერტილი. ასეთი მრავალკუთხედის ფართობია:
S=pr, სადაც r არის ჩაწერილი წრის რადიუსი და p არის მოცემული მრავალკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.
წრე, რომელიც შეიცავს მრავალკუთხედის წვეროებს, ეწოდება მის გარშემო შემოხაზული. უფრო მეტიც, ამ ამოზნექილ გეომეტრიულ ფიგურას ჩაწერილი ეწოდება. წრის ცენტრი, რომელიც შემოიფარგლება ასეთი მრავალკუთხედის გარშემო, არის ყველა მხარის ეგრეთ წოდებული პერპენდიკულარული ბისექტრისების გადაკვეთის წერტილი.
ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურების დიაგონალები
ამოზნექილი მრავალკუთხედის დიაგონალები არის სეგმენტები, რომლებიცდააკავშირეთ არამიმდებარე წვეროები. თითოეული მათგანი დევს ამ გეომეტრიული ფიგურის შიგნით. ასეთი n-გონების დიაგონალების რაოდენობა დგინდება ფორმულით:
N=n (n – 3)/ 2.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის დიაგონალების რაოდენობა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ელემენტარულ გეომეტრიაში. სამკუთხედების რაოდენობა (K), რომლებზეც შესაძლებელია თითოეული ამოზნექილი მრავალკუთხედის დაყოფა, გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:
K=n – 2.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის დიაგონალების რაოდენობა ყოველთვის დამოკიდებულია მისი წვეროების რაოდენობაზე.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის დაშლა
ზოგიერთ შემთხვევაში, გეომეტრიული ამოცანების გადასაჭრელად აუცილებელია ამოზნექილი მრავალკუთხედის დაყოფა რამდენიმე სამკუთხედად, რომლებსაც არ კვეთენ დიაგონალები. ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია კონკრეტული ფორმულის გამოყვანით.
პრობლემის განმარტება: მოდით მოვუწოდოთ ამოზნექილი n-გონების სწორი დანაყოფი რამდენიმე სამკუთხედად დიაგონალებით, რომლებიც იკვეთება მხოლოდ ამ გეომეტრიული ფიგურის წვეროებზე.
ამოხსნა: დავუშვათ, რომ Р1, Р2, Р3 …, Pn არის ამ n-გონის წვეროები. რიცხვი Xn არის მისი დანაყოფების რაოდენობა. მოდით ყურადღებით განვიხილოთ გეომეტრიული ფიგურის Pi Pn მიღებული დიაგონალი. ნებისმიერ ჩვეულებრივ დანაყოფში P1 Pn ეკუთვნის გარკვეულ სამკუთხედს P1 Pi Pn, რომელსაც აქვს 1<i<n. აქედან გამომდინარე და თუ ვივარაუდებთ, რომ i=2, 3, 4 …, n-1, ჩვენ ვიღებთ (n-2) ამ დანაყოფების ჯგუფს, რომელიც მოიცავს ყველა შესაძლო კონკრეტულ შემთხვევას.
მოდით i=2 იყოს რეგულარული დანაყოფების ერთი ჯგუფი, რომელიც ყოველთვის შეიცავს Р2 Pn დიაგონალს. მასში შემავალი დანაყოფების რაოდენობა იგივეა, რაც დანაყოფების რაოდენობა(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უდრის Xn-1.
თუ i=3, მაშინ დანაყოფების ეს სხვა ჯგუფი ყოველთვის შეიცავს Р3 Р1 და Р3 Pn დიაგონალებს. ამ შემთხვევაში, რეგულარული დანაყოფების რაოდენობა, რომლებიც შეიცავს ამ ჯგუფს, დაემთხვევა (n-2)-gon P3 P4 … Pn დანაყოფების რაოდენობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უდრის Xn-2.
დავუშვათ i=4, მაშინ სამკუთხედებს შორის რეგულარული დანაყოფი აუცილებლად შეიცავს სამკუთხედს P1 P4 Pn, რომელსაც ოთხკუთხედი P1 P2 P3 P4, (n-3)-გონი P4 P5 … Pn მიუახლოვდება. ასეთი ოთხკუთხედის რეგულარული ტიხრების რაოდენობაა X4, ხოლო (n-3)-გონის დანაყოფების რაოდენობაა Xn-3. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ჯგუფში შემავალი სწორი ტიხრების საერთო რაოდენობაა Xn-3 X4. სხვა ჯგუფები i=4, 5, 6, 7… შეიცავს Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … ჩვეულებრივ ტიხრებს.
დავუშვათ i=n-2, მაშინ ამ ჯგუფში სწორი გაყოფის რაოდენობა იქნება იგივე, რაც გაყოფა ჯგუფში, სადაც i=2 (სხვა სიტყვებით, უდრის Xn-1).
ვინაიდან X1=X2=0, X3=1, X4=2…, მაშინ ამოზნექილი მრავალკუთხედის ყველა დანაყოფი არის:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
მაგალითი:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
სწორი ტიხრების რაოდენობა, რომლებიც კვეთენ ერთ დიაგონალს შიგნით
სპეციალური შემთხვევების შემოწმებისას, შეიძლება მივიდეთდაშვება, რომ ამოზნექილი n-გონების დიაგონალების რაოდენობა უდრის ამ ფიგურის ყველა დანაყოფების ნამრავლს (n-3).
ამ დაშვების დადასტურება: წარმოიდგინეთ, რომ P1n=Xn(n-3), მაშინ ნებისმიერი n-გონა შეიძლება დაიყოს (n-2)-სამკუთხედებად. უფრო მეტიც, მათგან შეიძლება შედგეს (n-3)-ოთხკუთხედი. ამასთან ერთად, თითოეულ ოთხკუთხედს ექნება დიაგონალი. ვინაიდან ამ ამოზნექილ გეომეტრიულ ფიგურაში შესაძლებელია ორი დიაგონალის დახატვა, ეს ნიშნავს, რომ დამატებითი (n-3) დიაგონალების დახატვა შესაძლებელია ნებისმიერ (n-3) ოთხკუთხედში. ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნებისმიერ რეგულარულ დანაყოფში შესაძლებელია დახაზოთ (n-3)-დიაგონალები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ ამოცანის პირობებს.
ამოზნექილი მრავალკუთხედების ფართობი
ხშირად, ელემენტარული გეომეტრიის სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას, საჭირო ხდება ამოზნექილი მრავალკუთხედის ფართობის დადგენა. დავუშვათ, რომ (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n არის მრავალკუთხედის ყველა მეზობელი წვეროების კოორდინატების თანმიმდევრობა, რომელსაც არ აქვს თვითგადაკვეთები. ამ შემთხვევაში, მისი ფართობი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), სად (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
