განტოლებების ამოხსნა მათემატიკაში განსაკუთრებული ადგილი უკავია. ამ პროცესს წინ უძღვის თეორიის მრავალსაათიანი შესწავლა, რომლის დროსაც სტუდენტი სწავლობს როგორ ამოხსნას განტოლებები, განსაზღვროს მათი ფორმა და მიიყვანოს უნარი სრულ ავტომატიზმამდე. თუმცა, ფესვების ძიებას ყოველთვის არ აქვს აზრი, რადგან ისინი შეიძლება უბრალოდ არ არსებობდეს. არსებობს სპეციალური მეთოდები ფესვების მოსაძებნად. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ფუნქციებს, მათ ფარგლებს, ასევე შემთხვევებს, როდესაც მათი ფესვები არ არის.
რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები?
განტოლებას არ აქვს ფესვები, თუ არ არის ისეთი რეალური არგუმენტები x, რომლებისთვისაც განტოლება იდენტურია ჭეშმარიტი. არასპეციალისტისთვის ეს ფორმულირება, ისევე როგორც მათემატიკური თეორემებისა და ფორმულების უმეტესობა, გამოიყურება ძალიან ბუნდოვანი და აბსტრაქტული, მაგრამ ეს თეორიულად არის. პრაქტიკაში ყველაფერი ძალიან მარტივი ხდება. მაგალითად: განტოლებას 0x=-53 არ აქვს ამონახსნი, რადგან არ არსებობს x რიცხვი, რომლის ნამრავლი ნულთან ერთად სხვა რამეს მისცემს ნულის გარდა.
ახლა ჩვენ გადავხედავთ განტოლებების ყველაზე ძირითად ტიპებს.
1. წრფივი განტოლება
განტოლებას წრფივი ეწოდება, თუ მისი მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები წარმოდგენილია წრფივი ფუნქციების სახით: ax + b=cx + d ან განზოგადებული სახით kx + b=0. სადაც ცნობილია a, b, c, d. რიცხვები და x უცნობი სიდიდეა. რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები? წრფივი განტოლებების მაგალითები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ილუსტრაციაში.
ძირითადად, წრფივი განტოლებები წყდება უბრალოდ რიცხვითი ნაწილის ერთ ნაწილზე და x-ის შინაარსის მეორეზე გადატანით. გამოდის mx \u003d n ფორმის განტოლება, სადაც m და n რიცხვებია, ხოლო x უცნობია. x-ის საპოვნელად საკმარისია ორივე ნაწილი გავყოთ m-ზე. შემდეგ x=n/m. ძირითადად, წრფივ განტოლებებს აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც ფესვები ან უსასრულოდ ბევრია, ან საერთოდ არ არის. m=0 და n=0, განტოლება იღებს ფორმას 0x=0. აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი იქნება ამონახსნი ასეთი განტოლებისთვის.
მაგრამ რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები?
როდესაც m=0 და n=0, განტოლებას არ აქვს ფესვები რეალური რიცხვების სიმრავლიდან. 0x=-1; 0x=200 - ამ განტოლებებს არ აქვთ ფესვები.
2. კვადრატული განტოლება
კვადრატული განტოლება არის ax2 + bx + c=0 a=0-ის ფორმის განტოლება. კვადრატული განტოლების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული გზა მისი ამოხსნაა. დისკრიმინანტის მეშვეობით. კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტის პოვნის ფორმულა: D=b2 - 4ac. შემდეგ არის ორი ფესვი x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
როცა D > 0 განტოლებას აქვს ორი ფესვი, როდესაც D=0 - ერთი ფესვი. მაგრამ რომელ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ფესვები?კვადრატული განტოლების ფესვების რაოდენობაზე დაკვირვების უმარტივესი გზა არის ფუნქციის გრაფიკზე, რომელიც არის პარაბოლა. > 0-ზე ტოტები მიმართულია ზემოთ, < 0-ზე ტოტები დაშვებულია ქვემოთ. თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, ასეთ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ფესვები ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ ვიზუალურად განსაზღვროთ ფესვების რაოდენობა დისკრიმინანტის გამოთვლის გარეშე. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ პარაბოლის ზედა ნაწილი და დაადგინოთ რა მიმართულებით არის მიმართული ტოტები. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ წვეროს x-კოორდინატი ფორმულის გამოყენებით: x0 =-b / 2a. ამ შემთხვევაში, წვეროს y-კოორდინატი იპოვება x0 მნიშვნელობის საწყის განტოლებაში უბრალოდ ჩანაცვლებით.
კვადრატულ განტოლებას x2 – 8x + 72=0 არ აქვს ფესვები, რადგან მას აქვს უარყოფითი დისკრიმინანტი D=(–8)2 - 4172=-224. ეს ნიშნავს, რომ პარაბოლა არ ეხება x-ღერძს და ფუნქცია არასოდეს იღებს მნიშვნელობას 0, შესაბამისად განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.
3. ტრიგონომეტრიული განტოლებები
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განიხილება ტრიგონომეტრიულ წრეზე, მაგრამ ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. ამ სტატიაში განვიხილავთ ორ ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას და მათ განტოლებებს: sinx და cosx. ვინაიდან ეს ფუნქციები ქმნიან ტრიგონომეტრიულ წრეს რადიუსით 1, |sinx| და |cosx| არ შეიძლება იყოს 1-ზე მეტი. ასე რომ, რომელ სინქსის განტოლებას არ აქვს ფესვები? განვიხილოთ სურათზე წარმოდგენილი sinx ფუნქციის გრაფიკიქვემოთ.
ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია სიმეტრიულია და აქვს 2pi-ის გამეორების პერიოდი. ამის საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა შეიძლება იყოს 1, ხოლო მინიმალური -1. მაგალითად, გამოხატულებას cosx=5 არ ექნება ფესვები, რადგან მისი მოდული ერთზე მეტია.
ეს არის ტრიგონომეტრიული განტოლებების უმარტივესი მაგალითი. სინამდვილეში, მათ გადაწყვეტას შეიძლება დასჭირდეს მრავალი გვერდი, რომლის ბოლოს ხვდები, რომ არასწორი ფორმულა გამოიყენე და ყველაფერი თავიდან უნდა დაიწყო. ზოგჯერ, ფესვების სწორი პოვნის შემთხვევაშიც კი, შეიძლება დაგავიწყდეს ODZ-ზე შეზღუდვების გათვალისწინება, რის გამოც პასუხში ჩნდება დამატებითი ფესვი ან ინტერვალი და მთელი პასუხი მცდარ პასუხად იქცევა. ამიტომ, მკაცრად დაიცავით ყველა შეზღუდვა, რადგან ყველა ფესვი არ ჯდება ამოცანის ფარგლებში.
4. განტოლებათა სისტემები
განტოლებათა სისტემა არის განტოლებათა ერთობლიობა შერწყმული ხვეული ან კვადრატული ფრჩხილებით. ხვეული ბრეკეტები აღნიშნავს ყველა განტოლების ერთობლივ შესრულებას. ანუ, თუ ერთ განტოლებას მაინც არ აქვს ფესვები ან ეწინააღმდეგება მეორეს, მთელ სისტემას არ აქვს ამონახსნი. კვადრატული ფრჩხილები აღნიშნავს სიტყვას "ან". ეს ნიშნავს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას მაინც აქვს ამონახსნი, მაშინ მთელ სისტემას აქვს ამონახსნი.
სისტემის პასუხი კვადრატული ფრჩხილებით არის ცალკეული განტოლების ყველა ფესვის მთლიანობა. და ხვეული ბრეკეტების მქონე სისტემებს მხოლოდ საერთო ფესვები აქვთ. განტოლებათა სისტემები შეიძლება შეიცავდეს აბსოლუტურად მრავალფეროვან ფუნქციებს, ამიტომ ეს სირთულე არ არისსაშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ თქვათ რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები.
განზოგადება და რჩევები განტოლების ფესვების მოსაძებნად
პრობლემურ წიგნებსა და სახელმძღვანელოებში არის სხვადასხვა ტიპის განტოლებები: ის, რომელსაც ფესვები აქვს და ის, ვისაც არ აქვს. ჯერ ერთი, თუ ფესვებს ვერ პოულობთ, არ იფიქროთ, რომ ისინი საერთოდ არ არსებობენ. შეიძლება სადმე დაუშვით შეცდომა, შემდეგ უბრალოდ გადაამოწმეთ თქვენი გამოსავალი.
ჩვენ განვიხილეთ ყველაზე ძირითადი განტოლებები და მათი ტიპები. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ რომელ განტოლებას არ აქვს ფესვები. უმეტეს შემთხვევაში, ამის გაკეთება სულაც არ არის რთული. განტოლებების ამოხსნაში წარმატების მისაღწევად საჭიროა მხოლოდ ყურადღება და კონცენტრაცია. ივარჯიშეთ მეტი, ეს დაგეხმარებათ მასალის ნავიგაციაში ბევრად უკეთ და სწრაფად.
ასე რომ, განტოლებას არ აქვს ფესვები, თუ:
- წრფივი განტოლებაში mx=n მნიშვნელობა m=0 და n=0;
- კვადრატულ განტოლებაში, თუ დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე;
- cosx=m / sinx=n ფორმის ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში, თუ |m| > 0, |n| > 0;
- განტოლებათა სისტემაში ხვეული ფრჩხილებით, თუ ერთ განტოლებას მაინც არ აქვს ფესვები, და კვადრატული ფრჩხილებით, თუ ყველა განტოლებას ფესვი არ აქვს.
