სამკუთხედი, კვადრატი, ექვსკუთხედი - ეს ფიგურები თითქმის ყველასთვის ცნობილია. მაგრამ ყველამ არ იცის რა არის რეგულარული მრავალკუთხედი. მაგრამ ეს ყველაფერი ერთი და იგივე გეომეტრიული ფორმებია. რეგულარული მრავალკუთხედი არის ის, რომელსაც აქვს თანაბარი კუთხეები და გვერდები. ასეთი ფიგურები ბევრია, მაგრამ ყველა მათგანს ერთნაირი თვისებები აქვს და მათზეც იგივე ფორმულები ვრცელდება.
რეგულარული მრავალკუთხედების თვისებები
ნებისმიერი წესიერი მრავალკუთხედი, იქნება ეს კვადრატი თუ რვაკუთხედი, შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. ეს ძირითადი თვისება ხშირად გამოიყენება ფიგურის აგებისას. გარდა ამისა, წრე ასევე შეიძლება ჩაიწეროს მრავალკუთხედში. ამ შემთხვევაში, შეხების წერტილების რაოდენობა მისი მხარეების რაოდენობის ტოლი იქნება. მნიშვნელოვანია, რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში ჩაწერილ წრეს ჰქონდეს მასთან საერთო ცენტრი. ეს გეომეტრიული ფიგურები ექვემდებარება იმავე თეორემებს. ნებისმიერი მხარერეგულარული n-გონი დაკავშირებულია მის ირგვლივ შემოხაზული წრის R რადიუსთან, ამიტომ მისი გამოთვლა შესაძლებელია შემდეგი ფორმულით: a=2R ∙ sin180°. წრის რადიუსში შეგიძლიათ იპოვოთ არა მხოლოდ გვერდები, არამედ მრავალკუთხედის პერიმეტრიც.
როგორ ვიპოვოთ რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა
ნებისმიერი რეგულარული n-გონი შედგება ერთმანეთის ტოლი სეგმენტების გარკვეული რაოდენობისგან, რომლებიც შეერთებისას ქმნიან დახურულ ხაზს. ამ შემთხვევაში, ჩამოყალიბებული ფიგურის ყველა კუთხეს აქვს იგივე მნიშვნელობა. მრავალკუთხედები იყოფა მარტივ და რთულად. პირველ ჯგუფში შედის სამკუთხედი და კვადრატი. კომპლექსურ მრავალკუთხედებს მეტი გვერდი აქვთ. მათში ასევე შედის ვარსკვლავის ფორმის ფიგურები. რთული რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის, გვერდები გვხვდება მათი წრეში ჩაწერით. მოდი მტკიცებულება მივცეთ. დახაზეთ რეგულარული მრავალკუთხედი n გვერდების თვითნებური რაოდენობით. აღწერეთ წრე მის გარშემო. მიუთითეთ რადიუსი R. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ მოცემულია n-გონი. თუ მისი კუთხის წერტილები დევს წრეზე და ერთმანეთის ტოლია, მაშინ გვერდები შეიძლება ვიპოვოთ ფორმულით: a=2R ∙ sinα: 2.
ჩაწერილი წესიერი სამკუთხედის გვერდების რაოდენობის პოვნა
ტოლგვერდა სამკუთხედი არის რეგულარული მრავალკუთხედი. მასზე მოქმედებს იგივე ფორმულები, რაც კვადრატსა და n-გონზე. სამკუთხედი სწორად ჩაითვლება, თუ მას აქვს იგივე სიგრძის გვერდები. ამ შემთხვევაში, კუთხეები არის 60⁰. ააგეთ სამკუთხედი მოცემული გვერდის სიგრძით a. იცის მისი საშუალო და სიმაღლე,შეგიძლიათ იპოვოთ მისი მხარეების ღირებულება. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ a \u003d x: cosα ფორმულის საშუალებით პოვნის მეთოდს, სადაც x არის მედიანა ან სიმაღლე. ვინაიდან სამკუთხედის ყველა გვერდი ტოლია, მივიღებთ a=b=c. მაშინ შემდეგი განცხადება იქნება ჭეშმარიტი a=b=c=x: cosα. ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ გვერდების მნიშვნელობა ტოლფერდა სამკუთხედში, მაგრამ x იქნება მოცემული სიმაღლე. ამავე დროს, ის მკაცრად უნდა იყოს დაპროექტებული ფიგურის ბაზაზე. ამრიგად, x სიმაღლის ცოდნით, ჩვენ ვპოულობთ ტოლფერდა სამკუთხედის a მხარეს ფორმულის გამოყენებით a \u003d b \u003d x: cosα. a-ს მნიშვნელობის პოვნის შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ c ფუძის სიგრძე. გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა. ჩვენ ვეძებთ c ფუძის ნახევრის მნიშვნელობას: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. მაშინ c=2xtanα. აქ არის მარტივი გზა, რათა იპოვოთ ნებისმიერი ჩაწერილი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა.
გამოთვალეთ წრეში ჩაწერილი კვადრატის გვერდები
როგორც სხვა ჩაწერილი რეგულარული მრავალკუთხედი, კვადრატს აქვს გვერდები და კუთხეები თანაბარი. მასზე იგივე ფორმულები ვრცელდება, რაც სამკუთხედზე. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატის გვერდები დიაგონალის მნიშვნელობის გამოყენებით. განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად. ცნობილია, რომ დიაგონალი ორად ყოფს კუთხეს. თავდაპირველად, მისი ღირებულება იყო 90 გრადუსი. ამრიგად, გაყოფის შემდეგ წარმოიქმნება ორი მართკუთხა სამკუთხედი. მათი ფუძის კუთხეები იქნება 45 გრადუსი. შესაბამისად, კვადრატის თითოეული მხარე ტოლი იქნება, ანუ: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, სადაც e არის კვადრატის დიაგონალი, ან ფუძე. გაყოფის შემდეგ წარმოქმნილი მართკუთხა სამკუთხედი. ეს არ არის ერთადერთი გზაკვადრატის გვერდების პოვნა. ჩავწეროთ ეს ფიგურა წრეში. ამ წრის R რადიუსის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ კვადრატის მხარეს. ჩვენ გამოვთვლით შემდეგნაირად a4=R√2. რეგულარული მრავალკუთხედების რადიუსი გამოითვლება ფორმულით R=a: 2tg (360o: 2n), სადაც a არის გვერდის სიგრძე.
როგორ გამოვთვალოთ n-გონების პერიმეტრი
n-გონის პერიმეტრი არის მისი ყველა მხარის ჯამი. მისი გამოთვლა ადვილია. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა მხარის ღირებულებები. ზოგიერთი ტიპის მრავალკუთხედისთვის არსებობს სპეციალური ფორმულები. ისინი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ პერიმეტრი ბევრად უფრო სწრაფად. ცნობილია, რომ ნებისმიერ ნორმალურ მრავალკუთხედს თანაბარი გვერდები აქვს. ამიტომ მისი პერიმეტრის გამოსათვლელად საკმარისია ერთი მათგანი მაინც იცოდეთ. ფორმულა დამოკიდებული იქნება ფიგურის მხარეების რაოდენობაზე. ზოგადად, ასე გამოიყურება: P \u003d an, სადაც a არის გვერდის მნიშვნელობა და n არის კუთხეების რაოდენობა. მაგალითად, 3 სმ გვერდის მქონე რეგულარული რვაკუთხედის პერიმეტრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ის 8-ზე, ანუ P=3 ∙ 8=24 სმ. ექვსკუთხედისთვის, რომლის გვერდია 5 სმ, ჩვენ ვიანგარიშებთ. შემდეგნაირად: P=5 ∙ 6=30 სმ და ასე თითოეული მრავალკუთხედისთვის.
პარალელოგრამის, კვადრატის და რომბის პერიმეტრის პოვნა
დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენი გვერდი აქვს ჩვეულებრივ მრავალკუთხედს, გამოითვლება მისი პერიმეტრი. ეს ბევრად ამარტივებს დავალებას. მართლაც, სხვა ფიგურებისგან განსხვავებით, ამ შემთხვევაში არ არის საჭირო მისი ყველა მხარის ძებნა, საკმარისია მხოლოდ ერთი. ამავე პრინციპით ვპოულობთ პერიმეტრს ზეოთხკუთხედები, ანუ კვადრატი და რომბი. იმისდა მიუხედავად, რომ ეს განსხვავებული ფიგურებია, მათთვის ფორმულა არის იგივე P=4a, სადაც a არის მხარე. ავიღოთ მაგალითი. თუ რომბის ან კვადრატის გვერდი 6 სმ-ია, მაშინ პერიმეტრს ვპოულობთ შემდეგნაირად: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 სმ. პარალელოგრამს მხოლოდ მოპირდაპირე გვერდები აქვს. ამიტომ, მისი პერიმეტრი სხვა მეთოდით არის ნაპოვნი. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ ფიგურის სიგრძე a და სიგანე b. შემდეგ გამოვიყენებთ ფორმულას P=(a + c) ∙ 2. პარალელოგრამს, რომელშიც მათ შორის ყველა გვერდი და კუთხე ტოლია, ეწოდება რომბი.
ტოლგვერდა და მართკუთხა სამკუთხედის პერიმეტრის პოვნა
წესიერი ტოლგვერდა სამკუთხედის პერიმეტრი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით P=3a, სადაც a არის გვერდის სიგრძე. თუ უცნობია, მისი პოვნა შესაძლებელია მედიანის საშუალებით. მართკუთხა სამკუთხედში მხოლოდ ორი გვერდია ტოლი. საფუძველი შეიძლება მოიძებნოს პითაგორას თეორემის საშუალებით. მას შემდეგ რაც სამივე მხარის მნიშვნელობები გახდება ცნობილი, ჩვენ ვიანგარიშებთ პერიმეტრს. მისი ნახვა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით P \u003d a + b + c, სადაც a და b თანაბარი გვერდებია, ხოლო c არის საფუძველი. შეგახსენებთ, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში a \u003d b \u003d a, შესაბამისად, a + b \u003d 2a, შემდეგ P \u003d 2a + c. მაგალითად, ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდი არის 4 სმ, იპოვეთ მისი ფუძე და პერიმეტრი. ჩვენ ვიანგარიშებთ ჰიპოტენუზის მნიშვნელობას პითაგორას თეორემის გამოყენებით c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 სმ. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ პერიმეტრს Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 სმ.
როგორ მოვძებნოთ რეგულარული მრავალკუთხედის კუთხეები
წესიერი მრავალკუთხედიგვხვდება ჩვენს ცხოვრებაში ყოველდღე, მაგალითად, ჩვეულებრივი კვადრატი, სამკუთხედი, რვაკუთხედი. როგორც ჩანს, არაფერია უფრო ადვილი, ვიდრე ამ ფიგურის შექმნა საკუთარ თავს. მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი შეხედვითაა. ნებისმიერი n-გონების ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი კუთხეების მნიშვნელობა. მაგრამ როგორ პოულობ მათ? ანტიკური ხანის მეცნიერებიც კი ცდილობდნენ რეგულარული მრავალკუთხედების აგებას. ისინი მიხვდნენ, რომ ისინი წრეებში მოერგებოდნენ. შემდეგ კი მასზე აღნიშნეს საჭირო წერტილები, რომლებიც დაკავშირებულია სწორი ხაზებით. მარტივი ფიგურებისთვის, კონსტრუქციის პრობლემა მოგვარებულია. მიღებულია ფორმულები და თეორემები. მაგალითად, ევკლიდე თავის ცნობილ ნაშრომში "დასაწყისში" იყო დაკავებული 3-, 4-, 5-, 6- და 15-გონიანი პრობლემების გადაწყვეტით. მან იპოვა მათი აგების და კუთხეების პოვნის გზები. ვნახოთ, როგორ გავაკეთოთ ეს 15 გონებისთვის. ჯერ უნდა გამოთვალოთ მისი შიდა კუთხეების ჯამი. აუცილებელია გამოვიყენოთ ფორმულა S=180⁰(n-2). ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა 15-გონი, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი n არის 15. ჩვენ ვცვლით ჩვენთვის ნაცნობ მონაცემებს ფორმულაში და ვიღებთ S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. ჩვენ ვიპოვეთ 15 გონების ყველა შიდა კუთხის ჯამი. ახლა ჩვენ უნდა მივიღოთ თითოეული მათგანის ღირებულება. სულ 15 კუთხეა, გამოთვლას ვაკეთებთ 2340⁰: 15=156⁰. ეს ნიშნავს, რომ თითოეული შიდა კუთხე არის 156⁰, ახლა სახაზავი და კომპასის გამოყენებით შეგიძლიათ ააგოთ რეგულარული 15-გონი. მაგრამ რაც შეეხება უფრო რთულ n-გონებს? საუკუნეების მანძილზე მეცნიერები იბრძოდნენ ამ პრობლემის გადასაჭრელად. ის მხოლოდ მე-18 საუკუნეში იპოვა კარლ ფრიდრიხ გაუსმა. მან შეძლო 65537 გონების აშენება. მას შემდეგ პრობლემა ოფიციალურად სრულად მოგვარებულად ითვლება.
n-გონების კუთხეების გამოთვლარადიანებში
რა თქმა უნდა, არსებობს რამდენიმე გზა მრავალკუთხედის კუთხეების მოსაძებნად. ყველაზე ხშირად ისინი გამოითვლება გრადუსით. მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოხატოთ ისინი რადიანებში. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია შემდეგნაირად გაგრძელება. ჯერ გავარკვევთ წესიერი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას, შემდეგ გამოვაკლებთ 2-ს, მივიღებთ მნიშვნელობას: n - 2. ნაპოვნი სხვაობა გავამრავლოთ n რიცხვზე („pi“=3, 14). ახლა რჩება მხოლოდ მიღებული პროდუქტის გაყოფა n-გონების კუთხეების რაოდენობაზე. განვიხილოთ ეს გამოთვლები იმავე თხუთმეტმხრივი მაგალითის გამოყენებით. ასე რომ, რიცხვი n არის 15. გამოიყენეთ ფორმულა S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. ეს, რა თქმა უნდა, არ არის ერთადერთი გზა რადიანებში კუთხის გამოსათვლელად. თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ კუთხის ზომა გრადუსებში 57, 3 რიცხვზე. ბოლოს და ბოლოს, ეს მრავალი გრადუსი უდრის ერთ რადიანს.
გამოთვალეთ კუთხეების მნიშვნელობა გრადუსებში
გრადუსებისა და რადიანების გარდა, შეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ რეგულარული მრავალკუთხედის კუთხეების მნიშვნელობა გრადებში. ეს კეთდება შემდეგი გზით. გამოვაკლოთ 2 კუთხეების მთლიან რაოდენობას, გაყავით მიღებული განსხვავება რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობაზე. აღმოჩენილ შედეგს ვამრავლებთ 200-ზე. სხვათა შორის, კუთხეების საზომი ისეთი ერთეული, როგორიც არის სეტყვა, პრაქტიკულად არ გამოიყენება.
ნ-გონების გარე კუთხეების გამოთვლა
ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედისთვის, გარდა შიდასა, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ გარე კუთხე. მისი ღირებულება გვხვდება ისევე, როგორც სხვა ფიგურებისთვის. ასე რომ, იმისათვის, რომ იპოვოთ რეგულარული მრავალკუთხედის გარე კუთხე, გჭირდებათიცოდე შინაგანის მნიშვნელობა. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ ამ ორი კუთხის ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსია. ამიტომ, ჩვენ ვაკეთებთ გამოთვლებს შემდეგნაირად: 180⁰ გამოკლებული შიდა კუთხის მნიშვნელობა. ჩვენ ვპოულობთ განსხვავებას. ის ტოლი იქნება მის მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობისა. მაგალითად, კვადრატის შიდა კუთხე არის 90 გრადუსი, ამიტომ გარე კუთხე იქნება 180⁰ - 90⁰=90⁰. როგორც ვხედავთ, მისი პოვნა არ არის რთული. გარე კუთხემ შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობა +180⁰-დან -180⁰-მდე, შესაბამისად.
