ნებისმიერი პირამიდის ტიპიური წრფივი პარამეტრებია მისი ფუძის გვერდების სიგრძე, სიმაღლე, გვერდითი კიდეები და აპოთემები. მიუხედავად ამისა, არის კიდევ ერთი მახასიათებელი, რომელიც დაკავშირებულია აღნიშნულ პარამეტრებთან - ეს არის დიედრული კუთხე. სტატიაში განიხილეთ რა არის და როგორ იპოვოთ იგი.
სივრცითი ფიგურის პირამიდა
ყველა სტუდენტს აქვს კარგი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა ემუქრება სასწორზე სიტყვა "პირამიდის" მოსმენისას. ის შეიძლება გეომეტრიულად აშენდეს შემდეგნაირად: შეარჩიეთ გარკვეული მრავალკუთხედი, შემდეგ დააფიქსირეთ წერტილი სივრცეში და დააკავშირეთ იგი მრავალკუთხედის თითოეულ კუთხეში. შედეგად მიღებული სამგანზომილებიანი ფიგურა იქნება თვითნებური ტიპის პირამიდა. მრავალკუთხედს, რომელიც მას ქმნის, ეწოდება ფუძე, ხოლო წერტილი, რომელსაც უკავშირდება მისი ყველა კუთხე, არის ფიგურის წვერო. ქვემოთ მოყვანილი სურათი სქემატურად აჩვენებს ხუთკუთხა პირამიდას.
შეიძლება ნახოთ, რომ მის ზედაპირს ქმნის არა მხოლოდ ხუთკუთხედი, არამედ ხუთი სამკუთხედი. ზოგადად, ამ სამკუთხედების რაოდენობა რიცხვის ტოლი იქნებამრავალკუთხა ფუძის გვერდები.
ფიგურის დიჰედრული კუთხეები
როდესაც გეომეტრიული ამოცანები განიხილება სიბრტყეზე, ნებისმიერი კუთხე წარმოიქმნება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით ან სეგმენტებით. სივრცეში ამ წრფივ კუთხეებს ემატება ორმხრივი კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება ორი სიბრტყის გადაკვეთით.
თუ სივრცეში კუთხის მონიშნული განმარტება გამოყენებულია მოცემულ ფიგურაზე, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ არსებობს ორმხრივი კუთხე:
- პირამიდის ძირში. იგი წარმოიქმნება ფუძის სიბრტყით და რომელიმე გვერდითი სახეებით (სამკუთხედი). ეს ნიშნავს, რომ პირამიდის ფუძის კუთხეებია n, სადაც n არის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა.
- გვერდებს შორის (სამკუთხედები). ამ ორმხრივი კუთხის რაოდენობა ასევე არის n ცალი.
გაითვალისწინეთ, რომ პირველი ტიპის განხილული კუთხეები აგებულია ფუძის კიდეებზე, მეორე ტიპი - გვერდით კიდეებზე.
როგორ გამოვთვალოთ პირამიდის კუთხეები?
დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე არის ამ უკანასკნელის საზომი. მისი გამოთვლა ადვილი არ არის, რადგან პირამიდის სახეები, პრიზმის სახეებისგან განსხვავებით, ზოგად შემთხვევაში სწორი კუთხით არ იკვეთება. ყველაზე საიმედოა დიედრული კუთხეების მნიშვნელობების გამოთვლა სიბრტყის განტოლებების გამოყენებით ზოგადი ფორმით.
სამგანზომილებიან სივრცეში სიბრტყე მოცემულია შემდეგი გამოსახულებით:
Ax + By + Cz + D=0
სადაც A, B, C, D არის რამდენიმე რეალური რიცხვი. ამ განტოლების მოხერხებულობა იმაში მდგომარეობს, რომ პირველი სამი მონიშნული რიცხვი არის ვექტორის კოორდინატები,რომელიც პერპენდიკულარულია მოცემულ სიბრტყეზე, ანუ:
n¯=[A; B; C]
თუ ცნობილია სიბრტყის კუთვნილი სამი წერტილის კოორდინატები, მაშინ ამ წერტილებზე აგებული ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლის აღებით შეიძლება მივიღოთ n¯ კოორდინატები. ვექტორს n¯ ეწოდება სიბრტყის სახელმძღვანელო.
დეფინიციის მიხედვით, ორი სიბრტყის გადაკვეთით წარმოქმნილი დიედრული კუთხე უდრის მათ მიმართულების ვექტორებს შორის წრფივ კუთხეს. დავუშვათ, გვაქვს ორი სიბრტყე, რომელთა ნორმალური ვექტორები ტოლია:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
მათ შორის φ კუთხის გამოსათვლელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სკალარული პროდუქტის თვისება, შემდეგ შესაბამისი ფორმულა გახდება:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
ან კოორდინატთა ფორმით:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული მეთოდი ორმხრივი კუთხეების გამოსათვლელად გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას.
რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის კუთხეები
ვუშვათ, რომ არის რეგულარული პირამიდა, რომლის ძირში არის კვადრატი 10 სმ გვერდით.ფიგურის სიმაღლე არის12 სმ. აუცილებელია გამოვთვალოთ რა ორკუთხედი აქვს პირამიდის ძირში და მის გვერდებზე.
რაკი ამოცანის მდგომარეობაში მოცემული ფიგურა სწორია, ანუ აქვს მაღალი სიმეტრია, მაშინ ფუძის ყველა კუთხე ტოლია ერთმანეთის. გვერდითი სახეებით ჩამოყალიბებული კუთხეებიც იგივეა. საჭირო დიჰედრული კუთხეების გამოსათვლელად ვპოულობთ მიმართულების ვექტორებს ფუძისა და ორი გვერდითი სიბრტყისთვის. აღნიშნეთ ფუძის გვერდის სიგრძე a ასოთი, ხოლო სიმაღლე h.
ზემოთ სურათზე ნაჩვენებია ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდა. ჩამოვწეროთ A, B, C და D წერტილების კოორდინატები შეყვანილი კოორდინატთა სისტემის მიხედვით:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; სთ)
ახლა ჩვენ ვპოულობთ მიმართულების ვექტორებს საბაზისო სიბრტყეებისთვის ABC და ორი მხარის ABD და BCD ზემოთ აბზაცში აღწერილი მეთოდის შესაბამისად:
ABC-სთვის:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD-სთვის:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD-სთვის:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
ახლა რჩება გამოვიყენოთ შესაბამისი ფორმულა φ კუთხისთვის და შევცვალოთ გვერდისა და სიმაღლის მნიშვნელობები პრობლემის განცხადებიდან:
კუთხე ABC-სა დაABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
კუთხე ABD-სა და BDC-ს შორის:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
ჩვენ გამოვთვალეთ კუთხეების მნიშვნელობები, რომლებიც საჭირო იყო პრობლემის მდგომარეობით. ამოცანის ამოხსნისას მიღებული ფორმულები შეიძლება გამოვიყენოთ ოთხკუთხა წესიერი პირამიდების დიედრული კუთხეების დასადგენად a და h ნებისმიერი მნიშვნელობებით.
სამკუთხა რეგულარული პირამიდის კუთხეები
ქვემოთ მოცემული ფიგურა გვიჩვენებს პირამიდას, რომლის ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი. ცნობილია, რომ გვერდებს შორის დიედრული კუთხე სწორია. აუცილებელია ფუძის ფართობის გამოთვლა, თუ ცნობილია, რომ ფიგურის სიმაღლეა 15 სმ.
დიედრული კუთხე, რომელიც ტოლია 90o ფიგურაში აღინიშნება ABC-ით. თქვენ შეგიძლიათ პრობლემის გადაჭრა ზემოაღნიშნული მეთოდით, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჩვენ ამას უფრო მარტივად გავაკეთებთ. ავღნიშნოთ a სამკუთხედის გვერდი, ფიგურის სიმაღლე - h, აპოთემა - hb და გვერდი.ნეკნი - ბ. ახლა შეგიძლიათ დაწეროთ შემდეგი ფორმულები:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
რადგან პირამიდაში ორი გვერდითი სამკუთხედი ერთნაირია, გვერდები AB და CB ტოლია და წარმოადგენს ABC სამკუთხედის ფეხებს. ავღნიშნოთ მათი სიგრძე x-ით, შემდეგ:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
გვერდის სამკუთხედების ფართობების გათანაბრება და აპოთემის შესაბამისი გამოსახულებით ჩანაცვლება, გვაქვს:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
სთb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:
S=√3/4a2=3√3/2სთ2
შეცვალეთ სიმაღლის მნიშვნელობა ამოცანის მდგომარეობიდან, მივიღებთ პასუხს: S=584, 567 სმ2.
