პრიზმი საკმაოდ მარტივი გეომეტრიული სამგანზომილებიანი ფიგურაა. მიუხედავად ამისა, ზოგიერთ სკოლის მოსწავლეს აქვს პრობლემები მისი ძირითადი თვისებების დადგენაში, რისი მიზეზიც, როგორც წესი, დაკავშირებულია არასწორად გამოყენებულ ტერმინოლოგიასთან. ამ სტატიაში განვიხილავთ რა არის პრიზები, რას უწოდებენ მათ და ასევე დეტალურად აღვწერთ სწორ ოთხკუთხა პრიზმას.
პრიზმი გეომეტრიაში
სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლა სტერეომეტრიის ამოცანაა - სივრცითი გეომეტრიის მნიშვნელოვანი ნაწილი. სტერეომეტრიაში პრიზმა გაგებულია, როგორც ასეთი ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სივრცის გარკვეულ მანძილზე თვითნებური ბრტყელი მრავალკუთხედის პარალელური გადათარგმნით. პარალელური ტრანსლაცია გულისხმობს მოძრაობას, რომლის დროსაც ბრუნვა მრავალკუთხედის სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო სრულიად გამორიცხულია.
პრიზმის მოპოვების აღწერილი მეთოდის შედეგად წარმოიქმნება ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება ორით.ერთნაირი ზომების მქონე მრავალკუთხედები, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეებში და გარკვეული რაოდენობის პარალელოგრამები. მათი რიცხვი ემთხვევა მრავალკუთხედის გვერდების (წვეროების) რაოდენობას. იდენტურ მრავალკუთხედებს პრიზმის ფუძეებს უწოდებენ და მათი ზედაპირის ფართობი არის ფუძის ფართობი. ორი ფუძის დამაკავშირებელი პარალელოგრამები ქმნიან გვერდით ზედაპირს.
პრიზმის ელემენტები და ეილერის თეორემა
რადგან განსახილველი სამგანზომილებიანი ფიგურა არის პოლიედონი, ანუ ის იქმნება გადამკვეთი სიბრტყეების სიმრავლით, მას ახასიათებს წვეროების, კიდეების და სახეების გარკვეული რაოდენობა. ისინი ყველა პრიზმის ელემენტებია.
მე-18 საუკუნის შუა ხანებში შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა ლეონჰარდ ეილერმა დაამყარა კავშირი პოლიედრონის ძირითადი ელემენტების რაოდენობას შორის. ეს ურთიერთობა იწერება შემდეგი მარტივი ფორმულით:
კიდეების რაოდენობა=წვეროების რაოდენობა + სახეების რაოდენობა - 2
ნებისმიერი პრიზმისთვის, ეს თანასწორობა მართალია. მოვიყვანოთ მისი გამოყენების მაგალითი. დავუშვათ, რომ არსებობს რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. ის გამოსახულია ქვემოთ.
შეიძლება ნახოთ, რომ მისთვის წვეროების რაოდენობა არის 8 (თითოეული ოთხკუთხა ფუძისთვის 4). გვერდების ან სახეების რაოდენობაა 6 (2 ფუძე და 4 გვერდითი მართკუთხედი). მაშინ მისთვის კიდეების რაოდენობა იქნება:
ნეკნების რაოდენობა=8 + 6 - 2=12
ყველა მათგანის დათვლა შესაძლებელია, თუ ერთსა და იმავე სურათს მიმართავთ. რვა კიდე დევს ფუძესთან და ოთხი კიდე ამ ფუძეების პერპენდიკულარულია.
პრიზმების სრული კლასიფიკაცია
მნიშვნელოვანია ამ კლასიფიკაციის გაგება, რათა მოგვიანებით არ დაბნეულიყავით ტერმინოლოგიაში და გამოიყენოთ სწორი ფორმულები, მაგალითად, ზედაპირის ფართობის ან ფიგურების მოცულობის გამოსათვლელად.
ნებისმიერი თვითნებური ფორმის პრიზმისთვის შეიძლება გამოიყოს 4 მახასიათებელი, რომელიც მას ახასიათებს. მოდით ჩამოვთვალოთ ისინი:
- ძირის მრავალკუთხედის კუთხეების რაოდენობის მიხედვით: სამკუთხა, ხუთკუთხა, რვაკუთხა და ასე შემდეგ.
- პოლიგონის ტიპი. ეს შეიძლება იყოს სწორი ან არასწორი. მაგალითად, მართკუთხა სამკუთხედი არარეგულარულია, მაგრამ ტოლგვერდა სამკუთხედი სწორია.
- მრავალკუთხედის ამოზნექილობის ტიპის მიხედვით. ის შეიძლება იყოს ჩაზნექილი ან ამოზნექილი. ამოზნექილი პრიზმები ყველაზე გავრცელებულია.
- ფუძეებსა და გვერდითა პარალელოგრამებს შორის კუთხით. თუ ყველა ეს კუთხე უდრის 90o, მაშინ ისინი საუბრობენ მართ პრიზმაზე, თუ ყველა მათგანი არ არის მართალი, მაშინ ასეთ ფიგურას ეწოდება ირიბი.
ყველა ამ პუნქტიდან მინდა ბოლოზე შევჩერდე. სწორ პრიზმას ასევე უწოდებენ მართკუთხა პრიზმას. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მისთვის პარალელოგრამები არის მართკუთხედები საერთო შემთხვევაში (ზოგიერთ შემთხვევაში ისინი შეიძლება იყოს კვადრატები).
მაგალითად, ზემოთ სურათზე ნაჩვენებია ხუთკუთხა ჩაზნექილი მართკუთხა ან სწორი ფიგურა.
რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა
ამ პრიზმის ფუძე არის რეგულარული ოთხკუთხედი, ანუ კვადრატი. ზემოთ მოყვანილ ფიგურაში უკვე ნაჩვენებია, როგორ გამოიყურება ეს პრიზმა. გარდა ორი კვადრატისა, რომ მისიშეზღუდეთ ზედა და ქვედა ნაწილი, ის ასევე შეიცავს 4 მართკუთხედს.
მოდი ავღნიშნოთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი a ასოთი, მისი გვერდითი კიდის სიგრძე აღვნიშნავთ c ასოთ. ეს სიგრძე ასევე არის ფიგურის სიმაღლე. შემდეგ ამ პრიზმის მთელი ზედაპირის ფართობი გამოიხატება ფორმულით:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
აქ პირველი წევრი ასახავს ფუძეების წვლილს მთლიან ფართობში, მეორე წევრი არის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.
გვერდების სიგრძის შემოღებული აღნიშვნების გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ მოცემული ფიგურის მოცულობის ფორმულას:
V=a2c
ანუ მოცულობა გამოითვლება როგორც კვადრატული ფუძის ფართობისა და გვერდითი კიდის სიგრძის ნამრავლი.
კუბის ფორმა
ეს იდეალური სამგანზომილებიანი ფიგურა ყველამ იცის, მაგრამ ცოტას ეგონა, რომ ეს არის რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა, რომლის გვერდი უდრის კვადრატული ფუძის გვერდის სიგრძეს, ანუ c=a.
კუბისთვის, მთლიანი ზედაპირის ფართობისა და მოცულობის ფორმულები მიიღებს ფორმას:
S=6a2
V=a3
რადგან კუბი არის პრიზმა, რომელიც შედგება 6 იდენტური კვადრატისაგან, მათი ნებისმიერი პარალელური წყვილი შეიძლება ჩაითვალოს ფუძედ.
კუბი არის უაღრესად სიმეტრიული ფიგურა, რომელიც ბუნებაში რეალიზებულია მრავალი მეტალის მასალისა და იონური კრისტალების კრისტალური გისოსების სახით. მაგალითად, ოქროს, ვერცხლის, სპილენძისა და მაგიდის გისოსებიმარილები კუბურებია.
