მყარი გეომეტრიის სკოლის კურსში, ერთ-ერთი უმარტივესი ფიგურა, რომელსაც აქვს არანულოვანი ზომები სამი სივრცითი ღერძის გასწვრივ, არის ოთხკუთხა პრიზმა. სტატიაში განიხილეთ, როგორი ფიგურაა, რა ელემენტებისაგან შედგება და ასევე, როგორ გამოთვალოთ მისი ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.
პრიზმის კონცეფცია
გეომეტრიაში პრიზმა არის სივრცითი ფიგურა, რომელიც იქმნება ორი იდენტური ფუძით და გვერდითი ზედაპირით, რომლებიც აკავშირებენ ამ ფუძეების გვერდებს. გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ფუძე გარდაიქმნება ერთმანეთში ზოგიერთი ვექტორის მიერ პარალელური ტრანსლაციის მოქმედების გამოყენებით. პრიზმის ეს მინიჭება იწვევს იმ ფაქტს, რომ მისი ყველა გვერდი ყოველთვის პარალელოგრამებია.
ბაზის გვერდების რაოდენობა შეიძლება იყოს თვითნებური, დაწყებული სამიდან. როდესაც ეს რიცხვი უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, პრიზმა შეუფერხებლად იქცევა ცილინდრად, რადგან მისი ფუძე ხდება წრე, ხოლო გვერდითი პარალელოგრამები, რომლებიც აკავშირებენ, ქმნიან ცილინდრულ ზედაპირს.
როგორც ნებისმიერი პოლიედონი, პრიზმას ახასიათებსგვერდები (სიბრტყეები, რომლებიც აკრავს ფიგურას), კიდეები (სეგმენტები, რომლებზეც ნებისმიერი ორი მხარე იკვეთება) და წვეროები (სამი მხარის შეხვედრის წერტილები, პრიზმისთვის ორი მათგანი გვერდითია, ხოლო მესამე არის ფუძე). ფიგურის დასახელებული სამი ელემენტის სიდიდეები ერთმანეთთან დაკავშირებულია შემდეგი გამოსახულებით:
P=C + B - 2
აქ P, C და B არის კიდეების, გვერდების და წვეროების რაოდენობა, შესაბამისად. ეს გამოხატულება არის ეილერის თეორემის მათემატიკური აღნიშვნა.
ზემოთ სურათზე ნაჩვენებია ორი პრიზმა. ერთ-ერთი მათგანის ძირში (A) დევს რეგულარული ექვსკუთხედი, ხოლო გვერდითი მხარეები პერპენდიკულარულია ფუძეების მიმართ. ნახაზი B გვიჩვენებს სხვა პრიზმას. მისი გვერდები აღარ არის ფუძეების პერპენდიკულარული და ფუძე არის რეგულარული ხუთკუთხედი.
რა არის ოთხკუთხა პრიზმა?
როგორც ზემოთ აღწერილობიდან ირკვევა, პრიზმის ტიპი ძირითადად განისაზღვრება მრავალკუთხედის ტიპის მიხედვით, რომელიც ქმნის ფუძეს (ორივე ფუძე ერთნაირია, ამიტომ შეგვიძლია ვისაუბროთ ერთ-ერთ მათგანზე). თუ ეს მრავალკუთხედი პარალელოგრამია, მაშინ მივიღებთ ოთხკუთხა პრიზმას. ამრიგად, ამ ტიპის პრიზმის ყველა მხარე პარალელოგრამებია. ოთხკუთხა პრიზმას აქვს თავისი სახელი - პარალელეპიპედი.
პარალელეპიპედის გვერდების რაოდენობა არის ექვსი და თითოეულ მხარეს აქვს მსგავსი პარალელი. ვინაიდან ყუთის ფუძეები ორი მხარეა, დანარჩენი ოთხი გვერდითია.
პარალელეპიპედის წვეროების რაოდენობა არის რვა, რაც ადვილად შესამჩნევია, თუ გავიხსენებთ, რომ პრიზმის წვეროები წარმოიქმნება მხოლოდ ფუძე მრავალკუთხედების წვეროებზე (4x2=8). ეილერის თეორემის გამოყენებით მივიღებთ კიდეების რაოდენობას:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 ნეკნიდან მხოლოდ 4 ყალიბდება დამოუკიდებლად გვერდებზე. დარჩენილი 8 დევს ფიგურის ფუძეების სიბრტყეში.
შემდეგ სტატიაში ვისაუბრებთ მხოლოდ ოთხკუთხა პრიზმებზე.
პარალელეპიპედების ტიპები
კლასიფიკაციის პირველი ტიპი არის პარალელოგრამის ძირითადი მახასიათებლები. შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:
- რეგულარული, რომლის კუთხეები არ არის 90o;
- მართკუთხედი;
- კვადრატი არის რეგულარული ოთხკუთხედი.
მეორე ტიპის კლასიფიკაცია არის კუთხე, რომლითაც მხარე კვეთს ფუძეს. აქ შესაძლებელია ორი განსხვავებული შემთხვევა:
- ეს კუთხე არ არის სწორი, მაშინ პრიზმას ეწოდება ირიბი ან ირიბი;
- კუთხე არის 90o, მაშინ ასეთი პრიზმა არის მართკუთხა ან უბრალოდ სწორი.
კლასიფიკაციის მესამე ტიპი დაკავშირებულია პრიზმის სიმაღლესთან. თუ პრიზმა მართკუთხაა, ხოლო ფუძე არის კვადრატი ან მართკუთხედი, მაშინ მას კუბოიდური ეწოდება. თუ ძირში არის კვადრატი, პრიზმა მართკუთხაა და მისი სიმაღლე უდრის კვადრატის გვერდის სიგრძეს, მაშინ მივიღებთ ცნობილ კუბურ ფიგურას.
პრიზმის ზედაპირი და ფართობი
ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელიც დევს პრიზმის ორ ფუძეზე(პარალელოგრამები) და მის გვერდებზე (ოთხი პარალელოგრამი) ქმნიან ფიგურის ზედაპირს. ამ ზედაპირის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ბაზის ფართობის და ამ მნიშვნელობის გვერდითი ზედაპირის გაანგარიშებით. შემდეგ მათი ჯამი მისცემს სასურველ მნიშვნელობას. მათემატიკურად ეს იწერება შემდეგნაირად:
S=2So+ Sb
აქ So და Sb არის ფუძის და გვერდითი ზედაპირის ფართობი, შესაბამისად. რიცხვი 2 So-მდე ჩნდება, რადგან ორი ფუძეა.
გაითვალისწინეთ, რომ დაწერილი ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერი პრიზმისთვის და არა მხოლოდ ოთხკუთხა პრიზმის ფართობისთვის.
სასარგებლოა გავიხსენოთ, რომ პარალელოგრამის Sp ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
Sp=ah
სადაც სიმბოლოები a და h აღნიშნავენ, შესაბამისად, მისი ერთ-ერთი გვერდის სიგრძეს და სიმაღლეს, რომელიც შედგენილია ამ მხარეს.
მართკუთხა პრიზმის ფართობი კვადრატული ფუძით
რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძე არის კვადრატი. განსაზღვრულობისთვის მის გვერდს აღვნიშნავთ ასო ა. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სიმაღლე. ამ სიდიდის განმარტების მიხედვით, ის უდრის ერთი ფუძიდან მეორეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულურის სიგრძეს, ანუ უდრის მათ შორის მანძილს. თ ასოთი ავღნიშნოთ. ვინაიდან ყველა გვერდითი სახე პერპენდიკულარულია პრიზმის ტიპის ფუძეებზე, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის სიმაღლე ტოლი იქნება მისი გვერდითი კიდის სიგრძისა.
Bპრიზმის ზედაპირის ზოგადი ფორმულა არის ორი ტერმინი. ფუძის ფართობი ამ შემთხვევაში ადვილი გამოსათვლელია, ის უდრის:
So=a2
გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად შემდეგნაირად ვამტკიცებთ: ამ ზედაპირს ქმნის 4 იდენტური მართკუთხედი. უფრო მეტიც, თითოეული მათგანის გვერდები უდრის a და h-ს. ეს ნიშნავს, რომ Sb-ის ფართობი ტოლი იქნება:
Sb=4ah
გაითვალისწინეთ, რომ ნამრავლი 4a არის კვადრატული ფუძის პერიმეტრი. თუ ამ გამოთქმას განვაზოგადებთ თვითნებური ფუძის შემთხვევაში, მაშინ მართკუთხა პრიზმისთვის გვერდითი ზედაპირი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:
Sb=Poსთ
სადაც Po არის ფუძის პერიმეტრი.
რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფართობის გამოთვლის პრობლემას რომ დავუბრუნდეთ, შეგვიძლია დავწეროთ საბოლოო ფორმულა:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
ირიბი პარალელეპიპედის ფართობი
მისი გამოთვლა უფრო რთულია, ვიდრე მართკუთხა. ამ შემთხვევაში, ოთხკუთხა პრიზმის ბაზის ფართობი გამოითვლება იმავე ფორმულის გამოყენებით, როგორც პარალელოგრამისთვის. ცვლილებები ეხება გვერდითი ზედაპირის ფართობის განსაზღვრის გზას.
ამისთვის გამოიყენეთ იგივე ფორმულა პერიმეტრზე, როგორც ზემოთ მოცემულ პარაგრაფში. მხოლოდ ახლა ექნება ოდნავ განსხვავებული მულტიპლიკატორები. Sb-ის ზოგადი ფორმულა ირიბი პრიზმის შემთხვევაში არის:
Sb=Psrc
აქ c არის ფიგურის გვერდითი კიდის სიგრძე.მნიშვნელობა Psr არის მართკუთხა ნაჭრის პერიმეტრი. ეს გარემო აგებულია შემდეგნაირად: აუცილებელია ყველა გვერდითი პირის გადაკვეთა სიბრტყით ისე, რომ იგი ყველა მათგანზე პერპენდიკულარული იყოს. შედეგად მიღებული მართკუთხედი იქნება სასურველი ჭრილი.
ზემოთ ფიგურა გვიჩვენებს ირიბი ყუთის მაგალითს. მისი ჯვარედინი ჭრილი გვერდებთან სწორ კუთხეებს ქმნის. მონაკვეთის პერიმეტრია Psr. იგი იქმნება გვერდითი პარალელოგრამების ოთხი სიმაღლით. ამ ოთხკუთხა პრიზმისთვის, გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით.
კუბოიდის დიაგონალის სიგრძე
პარალელეპიპედის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წვეროს, რომლებსაც არ აქვთ საერთო მხარეები, რომლებიც ქმნიან მათ. ნებისმიერ ოთხკუთხა პრიზმაში მხოლოდ ოთხი დიაგონალია. კუბოიდისთვის, რომელსაც ფუძეზე მართკუთხედი აქვს, ყველა დიაგონალის სიგრძე ერთმანეთის ტოლია.
ქვემოთ მოცემული ფიგურა აჩვენებს შესაბამის ფიგურას. წითელი სეგმენტი არის მისი დიაგონალი.
მისი სიგრძის გამოთვლა ძალიან მარტივია, თუ გახსოვთ პითაგორას თეორემა. თითოეულ მოსწავლეს შეუძლია მიიღოს სასურველი ფორმულა. მას აქვს შემდეგი ფორმა:
D=√(A2+ B2 + C2)
აქ D არის დიაგონალის სიგრძე. დარჩენილი სიმბოლოები არის ყუთის გვერდების სიგრძე.
ბევრი ადამიანი ურევს პარალელეპიპედის დიაგონალს მისი გვერდების დიაგონალებთან. ქვემოთ არის სურათი, სადაც ფერადისეგმენტები წარმოადგენს ფიგურის გვერდების დიაგონალებს.
თითოეული მათგანის სიგრძე ასევე განისაზღვრება პითაგორას თეორემით და უდრის შესაბამისი მხარის სიგრძის კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვს.
პრიზმის მოცულობა
რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფართობის ან სხვა ტიპის პრიზმების ფართობის გარდა, ზოგიერთი გეომეტრიული ამოცანის გადასაჭრელად, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ მათი მოცულობა. ეს მნიშვნელობა აბსოლუტურად ნებისმიერი პრიზმისთვის გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:
V=Soh
თუ პრიზმა მართკუთხაა, მაშინ საკმარისია გამოვთვალოთ მისი ფუძის ფართობი და გავამრავლოთ გვერდის კიდის სიგრძეზე, რათა მივიღოთ ფიგურის მოცულობა.
თუ პრიზმა არის რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა, მაშინ მისი მოცულობა იქნება:
V=a2სთ.
ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ფორმულა გარდაიქმნება კუბის მოცულობის გამოხატულებად, თუ გვერდითი კიდის სიგრძე h უდრის a ფუძის მხარეს.
პრობლემა კუბოიდთან
შესწავლილი მასალის გასამყარებლად მოვაგვარებთ შემდეგ პრობლემას: არის მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის გვერდებია 3სმ, 4სმ და 5სმ. აუცილებელია მისი ზედაპირის ფართობის, დიაგონალის სიგრძის და მოცულობის გამოთვლა.
განსაზღვრისთვის ჩავთვლით, რომ ფიგურის ფუძე არის მართკუთხედი გვერდებით 3 სმ და 4 სმ. მაშინ მისი ფართობია 12 სმ2 და წერტილი არის 14 სმ. პრიზმის ზედაპირის ფართობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 სმ2
დიაგონალის სიგრძისა და ფიგურის მოცულობის დასადგენად შეგიძლიათ პირდაპირ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული გამონათქვამები:
D=√(32+42+52)=7 071 სმ;
V=345=60სმ3.
პრობლემა ირიბი პარალელეპიპედით
ქვემოთ სურათზე ნაჩვენებია ირიბი პრიზმა. მისი გვერდები ტოლია: a=10 სმ, b=8 სმ, c=12 სმ. თქვენ უნდა იპოვოთ ამ ფიგურის ზედაპირის ფართობი.
პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ფუძის ფართობი. ნახაზი აჩვენებს, რომ მახვილი კუთხე არის 50o. მაშინ მისი ფართობია:
So=ha=sin(50o)ba
გვერდითი ზედაპირის ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა იპოვოთ დაჩრდილული მართკუთხედის პერიმეტრი. ამ მართკუთხედის გვერდებია asin(45o) და bsin(60o). მაშინ ამ მართკუთხედის პერიმეტრია:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
ამ ყუთის მთლიანი ზედაპირი არის:
S=2So+ Sb=2(ცოდვა(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
ამოცანის მდგომარეობიდან მონაცემებს ვცვლით ფიგურის გვერდების სიგრძეებით, ვიღებთ პასუხს:
S=458, 5496 სმ3
ამ პრობლემის გადაწყვეტიდან ჩანს, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამოიყენება ირიბი ფიგურების ფართობის დასადგენად.
