იმისთვის, რომ მკითხველს გაუადვილდეს წარმოდგენა, თუ რა არის ჰიპერბოლოიდი - სამგანზომილებიანი ობიექტი - ჯერ უნდა გაითვალისწინოთ ამავე სახელწოდების მრუდი ჰიპერბოლა, რომელიც ჯდება ორგანზომილებიან სივრცეში.
ჰიპერბოლას აქვს ორი ღერძი: რეალური, რომელიც ამ ფიგურაში ემთხვევა აბსცისის ღერძს და წარმოსახვითი, y-ღერძს. თუ გონებრივად დაიწყებთ ჰიპერბოლის განტოლების მოტრიალებას მისი წარმოსახვითი ღერძის გარშემო, მაშინ მრუდის მიერ „დანახული“ზედაპირი იქნება ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი.
თუკი ჩვენ დავიწყებთ ჰიპერბოლის ბრუნვას მისი რეალური ღერძის გარშემო ამ გზით, მაშინ მრუდის ორი "ნახევარი" შექმნის თავის ცალკეულ ზედაპირს და ერთად მას ორ- ფურცლებიანი ჰიპერბოლოიდი.
მიიღება შესაბამისი სიბრტყის მრუდის ბრუნვით, მათ შესაბამისად ბრუნვის ჰიპერბოლოიდები ეწოდება. მათ აქვთ პარამეტრები ყველა მიმართულებით ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული,მობრუნებული მრუდის კუთვნილება. ზოგადად, ეს ასე არ არის.
ჰიპერბოლოიდური განტოლება
ზოგადად, ზედაპირი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი განტოლებით დეკარტის კოორდინატებში (x, y, z):
ბრუნვის ჰიპერბოლოიდის შემთხვევაში, მისი სიმეტრია ღერძის გარშემო, რომლის გარშემოც ის ბრუნავდა, გამოიხატება a=b კოეფიციენტების ტოლობით.
ჰიპერბოლოიდის მახასიათებლები
მას აქვს ხრიკი. ჩვენ ვიცით, რომ სიბრტყეზე მრუდეებს აქვთ ფოკუსები - ჰიპერბოლის შემთხვევაში, მაგალითად, ჰიპერბოლის თვითნებური წერტილიდან ერთ ფოკუსამდე მანძილების სხვაობის მოდული, ხოლო მეორე განსაზღვრებით მუდმივია, ფაქტობრივად, ფოკუსის ქულები.
სამგანზომილებიან სივრცეში გადასვლისას განმარტება პრაქტიკულად არ იცვლება: ფოკუსები ისევ ორი წერტილია და მათგან დაშორების განსხვავება ჰიპერბოლოიდური ზედაპირის თვითნებურ წერტილამდე მუდმივია. როგორც ხედავთ, ყველა შესაძლო წერტილის ცვლილებებიდან მხოლოდ მესამე კოორდინატი გამოჩნდა, რადგან ახლა ისინი დაყენებულია სივრცეში. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფოკუსის განსაზღვრა უდრის მრუდის ან ზედაპირის ტიპის იდენტიფიცირებას: საუბრით იმაზე, თუ როგორ მდებარეობს ზედაპირის წერტილები კერებთან მიმართებაში, ჩვენ რეალურად ვპასუხობთ კითხვას, თუ რა არის ჰიპერბოლოიდი და როგორ გამოიყურება იგი.
აღსანიშნავია, რომ ჰიპერბოლას აქვს ასიმპტოტები - სწორი ხაზები, რომელთაკენაც მისი ტოტები მიდრეკილია უსასრულობისკენ. თუ რევოლუციის ჰიპერბოლოიდის აგებისას გონებრივად ატრიალებთ ასიმპტოტებს ჰიპერბოლასთან ერთად, მაშინ ჰიპერბოლოიდის გარდა მიიღებთ კონუსსაც, რომელსაც ასიმპტომური ეწოდება. ასიმპტომური კონუსი არისერთფურცლიანი და ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდებისთვის.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, რომელიც მხოლოდ ერთფურცლიან ჰიპერბოლოიდს აქვს, არის სწორხაზოვანი გენერატორები. როგორც სახელი გულისხმობს, ეს არის ხაზები და ისინი მთლიანად დევს მოცემულ ზედაპირზე. ორი სწორხაზოვანი გენერატორი გადის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის თითოეულ წერტილში. ისინი, შესაბამისად, მიეკუთვნებიან ხაზების ორ ოჯახს, რომლებიც აღწერილია განტოლებების შემდეგი სისტემებით:
ამგვარად, ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი შეიძლება მთლიანად შედგებოდეს ორი ოჯახის უსასრულო რაოდენობის სწორი ხაზისგან და ერთი მათგანის თითოეული ხაზი გადაიკვეთება მეორის ყველა წრფესთან. ასეთი თვისებების შესაბამის ზედაპირებს მართული ეწოდება; მათი აგება შესაძლებელია ერთი სწორი ხაზის ბრუნვის გამოყენებით. განსაზღვრება სივრცეში ხაზების (სწორხაზოვანი გენერატორების) ურთიერთგანლაგების საშუალებით, ასევე შეიძლება იყოს ერთმნიშვნელოვანი აღნიშვნა იმისა, თუ რა არის ჰიპერბოლოიდი.
ჰიპერბოლოიდის საინტერესო თვისებები
მეორე რიგის მრუდები და მათი რევოლუციის შესაბამისი ზედაპირები თითოეულს აქვს საინტერესო ოპტიკური თვისებები, რომლებიც დაკავშირებულია კერებთან. ჰიპერბოლოიდის შემთხვევაში ეს ფორმულირებულია შემდეგნაირად: თუ სხივი ერთი ფოკუსიდან გაისროლა, მაშინ უახლოესი „კედლიდან“აირეკლება ისეთ მიმართულებას მიიღებს, თითქოს მეორე ფოკუსიდან გამოვიდეს..
ჰიპერბოლოიდები ცხოვრებაში
სავარაუდოდ, მკითხველთა უმეტესობამ დაიწყო ანალიტიკური გეომეტრიისა და მეორე რიგის ზედაპირების გაცნობა ალექსეი ტოლსტოის სამეცნიერო ფანტასტიკის რომანიდან."ჰიპერბოლოიდის ინჟინერი გარინი". თუმცა, თავად მწერალმა ან კარგად არ იცოდა, რა იყო ჰიპერბოლოიდი, ან შესწირა სიზუსტე მხატვრულობისთვის: აღწერილი გამოგონება, ფიზიკური მახასიათებლების თვალსაზრისით, უფრო პარაბოლოიდია, რომელიც აგროვებს ყველა სხივს ერთ ფოკუსში (მაშინ, როცა ჰიპერბოლოიდის ოპტიკური თვისებები დაკავშირებულია სხივების გაფანტვასთან).
ე.წ. ჰიპერბოლოიდური სტრუქტურები ძალიან პოპულარულია არქიტექტურაში: ეს არის სტრუქტურები, რომლებსაც აქვთ ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის ან ჰიპერბოლიული პარაბოლოიდის ფორმა. ფაქტია, რომ მეორე რიგის რევოლუციის მხოლოდ ამ ზედაპირებს აქვთ სწორხაზოვანი გენერატორები: ამრიგად, მრუდი სტრუქტურის აშენება შესაძლებელია მხოლოდ სწორი სხივებისგან. ასეთი სტრუქტურების უპირატესობებში შედის მძიმე ტვირთის გაძლება, მაგალითად, ქარისგან: ჰიპერბოლოიდური ფორმა გამოიყენება მაღალი კონსტრუქციების, მაგალითად, სატელევიზიო ანძების მშენებლობაში.
