სივრცეში გეომეტრიული ფიგურები სტერეომეტრიის შესწავლის ობიექტია, რომლის კურსს საშუალო სკოლის მოსწავლეები გადიან. ეს სტატია ეძღვნება ისეთ სრულყოფილ პოლიედრონს, როგორიც არის პრიზმა. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ პრიზმის თვისებები და მივცეთ ფორმულები, რომლებიც ემსახურება მათ რაოდენობრივ აღწერას.
რა არის პრიზმა?
ყველას წარმოუდგენია, როგორ გამოიყურება ყუთი ან კუბი. ორივე ფიგურა პრიზმაა. თუმცა, პრიზმების კლასი ბევრად უფრო მრავალფეროვანია. გეომეტრიაში ამ ფიგურას შემდეგი განმარტება აქვს: პრიზმა არის ნებისმიერი პოლიედონი სივრცეში, რომელიც წარმოიქმნება ორი პარალელური და იდენტური მრავალკუთხა გვერდითა და რამდენიმე პარალელოგრამით. ფიგურის იდენტურ პარალელურ სახეებს უწოდებენ მის ფუძეებს (ზედა და ქვედა). პარალელოგრამები არის ფიგურის გვერდითი სახეები, რომლებიც აკავშირებს ფუძის გვერდებს ერთმანეთთან.
თუ ფუძე წარმოდგენილია n-გონებით, სადაც n არის მთელი რიცხვი, მაშინ ფიგურა შედგება 2+n სახის, 2n წვეროებისა და 3n კიდეებისგან. სახეები და კიდეები ეხებაორიდან ერთ-ერთი: ან ისინი მიეკუთვნებიან გვერდითი ზედაპირს, ან ბაზებს. რაც შეეხება წვეროებს, ისინი ყველა ტოლია და მიეკუთვნება პრიზმის ფუძეებს.
შესწავლილი კლასის ფიგურების ტიპები
პრიზმის თვისებების შესწავლისას თქვენ უნდა ჩამოთვალოთ ამ ფიგურის შესაძლო ტიპები:
- ამოზნექილი და ჩაზნექილი. მათ შორის განსხვავება მდგომარეობს მრავალკუთხა ფუძის ფორმაში. თუ ის ჩაზნექილია, მაშინ ის ასევე იქნება სამგანზომილებიანი ფიგურა და პირიქით.
- სწორი და ირიბი. სწორი პრიზმისთვის, გვერდითი სახეები არის მართკუთხედები ან კვადრატები. დახრილ ფიგურაში გვერდითი სახეები არის ზოგადი ტიპის პარალელოგრამები ან რომბები.
- მცდარი და სწორი. იმისათვის, რომ შესწავლილი ფიგურა იყოს სწორი, ის უნდა იყოს სწორი და ჰქონდეს სწორი საფუძველი. ამ უკანასკნელის მაგალითია ბრტყელი ფიგურები, როგორიცაა ტოლგვერდა სამკუთხედი ან კვადრატი.
პრიზმის სახელწოდება ყალიბდება ჩამოთვლილი კლასიფიკაციის გათვალისწინებით. მაგალითად, ზემოთ ნახსენებ მართკუთხა პარალელეპიპედს ან კუბს რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა ეწოდება. რეგულარული პრიზები, მათი მაღალი სიმეტრიის გამო, მოსახერხებელია შესასწავლად. მათი თვისებები გამოიხატება კონკრეტული მათემატიკური ფორმულების სახით.
პრიზმის არე
როდესაც პრიზმის ასეთი თვისება განიხილება, როგორც მისი ფართობი, ისინი გულისხმობენ მისი ყველა სახის მთლიან ფართობს. ამ მნიშვნელობის წარმოდგენა ყველაზე ადვილია, თუ ფიგურას გაშლით, ანუ გააფართოვებთ ყველა სახეს ერთ სიბრტყეში. ქვემოთნახატზე ნაჩვენებია ორი პრიზმის გადაღების მაგალითი.
თვითნებური პრიზმისთვის, მისი გადახვევის ფართობის ფორმულა ზოგადი ფორმით შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
S=2So+ bPsr.
მოდით ავხსნათ აღნიშვნა. მნიშვნელობა So არის ერთი ფუძის ფართობი, b არის გვერდითი კიდის სიგრძე, Psr არის მოჭრილი პერიმეტრი, რომელიც პერპენდიკულარულია ფიგურის გვერდითი პარალელოგრამების მიმართ.
დაწერილი ფორმულა ხშირად გამოიყენება დახრილი პრიზმების არეების დასადგენად. რეგულარული პრიზმის შემთხვევაში, S-ის გამოხატულება მიიღებს კონკრეტულ ფორმას:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
გამოხატვაში პირველი წევრი წარმოადგენს რეგულარული პრიზმის ორი ფუძის ფართობს, მეორე წევრი არის გვერდითი მართკუთხედების ფართობი. აქ a არის რეგულარული n-გონების გვერდის სიგრძე. გაითვალისწინეთ, რომ b გვერდითი კიდის სიგრძე რეგულარული პრიზმისთვის არის ასევე მისი სიმაღლე h, ამიტომ ფორმულაში b შეიძლება შეიცვალოს h-ით.
როგორ გამოვთვალოთ ფიგურის მოცულობა?
პრიზმი არის შედარებით მარტივი პოლიედონი მაღალი სიმეტრიით. ამიტომ, მისი მოცულობის დასადგენად, არსებობს ძალიან მარტივი ფორმულა. ასე გამოიყურება:
V=Soსთ.
ბაზის ფართობისა და სიმაღლის გამოთვლა შეიძლება რთული იყოს, როდესაც უყურებთ ირიბი არარეგულარული ფორმის. ეს პრობლემა მოგვარებულია თანმიმდევრული გეომეტრიული ანალიზის გამოყენებით, რომელიც მოიცავს ინფორმაციას გვერდითა პარალელოგრამებსა და ფუძეს შორის დიედრული კუთხეების შესახებ.
თუ პრიზმა სწორია მაშინV-ის ფორმულა საკმაოდ კონკრეტული ხდება:
V=n/4a2ctg(pi/n)სთ.
როგორც ხედავთ, ფართობი S და მოცულობა V რეგულარული პრიზმისთვის ცალსახად არის განსაზღვრული, თუ ცნობილია მისი ორი წრფივი პარამეტრი.
სამკუთხა რეგულარული პრიზმა
მოდით დავასრულოთ სტატია რეგულარული სამკუთხა პრიზმის თვისებების გათვალისწინებით. იგი შედგება ხუთი სახისგან, რომელთაგან სამი მართკუთხედია (კვადრატი), ხოლო ორი ტოლგვერდა სამკუთხედი. პრიზმას აქვს ექვსი წვერო და ცხრა კიდე. ამ პრიზმისთვის, მოცულობისა და ზედაპირის ფართობის ფორმულები იწერება ქვემოთ:
S3=√3/2a2+ 3სთა
V3=√3/4a2სთ.
ამ თვისებების გარდა, ასევე სასარგებლოა ფიგურის ფუძის აპოთემის ფორმულის მიცემა, რომელიც არის ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე ha:
სთa=√3/2a.
პრიზმის გვერდები იდენტური მართკუთხედებია. მათი d დიაგონალების სიგრძეა:
d=√(a2+ h2).
სამკუთხა პრიზმის გეომეტრიული თვისებების ცოდნა არა მხოლოდ თეორიულ, არამედ პრაქტიკულ ინტერესსაც წარმოადგენს. ფაქტია, რომ ეს ფიგურა, რომელიც დამზადებულია ოპტიკური მინისგან, გამოიყენება სხეულების რადიაციის სპექტრის შესასწავლად.
მინის პრიზმაში გავლისას სინათლე იშლება რამდენიმე კომპონენტ ფერად დისპერსიის ფენომენის შედეგად, რაც ქმნის პირობებს ელექტრომაგნიტური ნაკადის სპექტრული შემადგენლობის შესასწავლად.
