საშუალო სკოლაში, სიბრტყეზე ფიგურების თვისებების შესწავლის შემდეგ, ისინი გადადიან სივრცითი გეომეტრიული ობიექტების განხილვაზე, როგორიცაა პრიზმები, სფეროები, პირამიდები, ცილინდრები და კონუსები. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ სწორი სამკუთხა პრიზმის ყველაზე სრულ აღწერას.
რა არის სამკუთხა პრიზმა?
დავიწყოთ სტატია ფიგურის განმარტებით, რომელიც შემდგომში იქნება განხილული. პრიზმა გეომეტრიის თვალსაზრისით არის ფიგურა სივრცეში, რომელიც წარმოიქმნება ორი იდენტური n-გონებით, რომლებიც განლაგებულია პარალელურ სიბრტყეში, რომელთა იგივე კუთხეები დაკავშირებულია სწორი ხაზის სეგმენტებით. ამ სეგმენტებს გვერდითი ნეკნები ეწოდება. ფუძის გვერდებთან ერთად ისინი ქმნიან გვერდით ზედაპირს, რომელიც ძირითადად წარმოდგენილია პარალელოგრამებით.
ორი n-გონი არის ფიგურის საფუძველი. თუ გვერდითი კიდეები მათზე პერპენდიკულარულია, მაშინ ისინი საუბრობენ სწორ პრიზმაზე. შესაბამისად, თუ მრავალკუთხედის n გვერდების რაოდენობა ფუძეებზე სამია, მაშინ ასეთ ფიგურას სამკუთხა პრიზმა ეწოდება.
სამკუთხა სწორი პრიზმა ნაჩვენებია ზემოთ ნახაზზე. ამ ფიგურას ასევე უწოდებენ რეგულარულს, რადგან მისი ფუძეები ტოლგვერდა სამკუთხედებია. ფიგურის გვერდითი კიდის სიგრძეს, რომელიც მითითებულია ფიგურაში ასო h-ით, ეწოდება მისი სიმაღლე.
სურათი გვიჩვენებს, რომ სამკუთხა ფუძის მქონე პრიზმა იქმნება ხუთი სახისგან, რომელთაგან ორი ტოლგვერდა სამკუთხედია, ხოლო სამი იდენტური მართკუთხედია. გარდა სახეებისა, პრიზმას აქვს ექვსი წვერო ფუძეებზე და ცხრა კიდეები. განხილული ელემენტების რიცხვი ერთმანეთთან დაკავშირებულია ეილერის თეორემით:
კიდეების რაოდენობა=წვეროების რაოდენობა + გვერდების რაოდენობა - 2.
მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის ფართობი
ზემოთ გავარკვიეთ, რომ მოცემული ფიგურა შედგება ორი ტიპის ხუთი სახისგან (ორი სამკუთხედი, სამი მართკუთხედი). ყველა ეს სახე ქმნის პრიზმის სრულ ზედაპირს. მათი საერთო ფართობი არის ფიგურის ფართობი. ქვემოთ მოცემულია სამკუთხა პრიზმა, რომელიც იშლება, რომლის მიღებაც შესაძლებელია ფიგურიდან ჯერ ორი ფუძის მოწყვეტით, შემდეგ კი ერთი კიდის გასწვრივ და გვერდითი ზედაპირის გაშლით.
მოდით მივცეთ ფორმულები ამ სვირის ზედაპირის ფართობის დასადგენად. დავიწყოთ მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის ფუძეებით. ვინაიდან ისინი წარმოადგენენ სამკუთხედებს, თითოეული მათგანის S3 ფართობი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:
S3=1/2aha.
აქ a არის სამკუთხედის გვერდი, ha არის სიმაღლე, რომელიც შემცირებულია სამკუთხედის წვეროდან ამ გვერდისკენ.
თუ სამკუთხედი ტოლგვერდაა (რეგულარული), მაშინ S3-ის ფორმულა დამოკიდებულია მხოლოდ ერთ პარამეტრზე a. ასე გამოიყურება:
S3=√3/4a2.
ეს გამონათქვამი შეიძლება მივიღოთ a, a/2, haა სეგმენტებით წარმოქმნილი მართკუთხა სამკუთხედის განხილვით..
ბაზების ფართობი So ჩვეულებრივი ფიგურისთვის ორჯერ მეტია S3: მნიშვნელობაზე
So=2S3=√3/2a2.
რაც შეეხება გვერდითი ზედაპირის ფართობს Sb, მისი გამოთვლა არ არის რთული. ამისათვის საკმარისია სამზე გავამრავლოთ a და h გვერდებით წარმოქმნილი ერთი მართკუთხედის ფართობი. შესაბამისი ფორმულაა:
Sb=3ah.
ამგვარად, სამკუთხა ფუძის მქონე რეგულარული პრიზმის ფართობი გვხვდება შემდეგი ფორმულით:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
თუ პრიზმა სწორია, მაგრამ არარეგულარული, მაშინ მისი ფართობის გამოსათვლელად, ცალ-ცალკე უნდა დაამატოთ მართკუთხედების არეები, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია.
ფიგურის მოცულობის განსაზღვრა
პრიზმის მოცულობა გაგებულია, როგორც მისი გვერდებით (სახეებით) შეზღუდული სივრცე. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის მოცულობის გამოთვლა ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე მისი ზედაპირის ფართობის გამოთვლა. ამისათვის საკმარისია იცოდეთ ბაზის ფართობი და ფიგურის სიმაღლე. რამდენადაც სწორი ფიგურის სიმაღლე h არის მისი გვერდითი კიდის სიგრძე და როგორ გამოვთვალოთ ფუძის ფართობი, ჩვენ უკვე ვთქვით წინაწერტილი, შემდეგ რჩება ამ ორი მნიშვნელობის ერთმანეთზე გამრავლება სასურველი მოცულობის მისაღებად. მისი ფორმულა ხდება:
V=S3სთ.
გაითვალისწინეთ, რომ ერთი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლი მისცემს არა მხოლოდ სწორი პრიზმის, არამედ ირიბი ფიგურის და თუნდაც ცილინდრის მოცულობას.
პრობლემის გადაჭრა
შუშის სამკუთხა პრიზმები გამოიყენება ოპტიკაში ელექტრომაგნიტური გამოსხივების სპექტრის შესასწავლად დისპერსიის ფენომენის გამო. ცნობილია, რომ ჩვეულებრივ მინის პრიზმას აქვს ძირის გვერდის სიგრძე 10 სმ და კიდის სიგრძე 15 სმ. რა არის მისი შუშის ზედაპირის ფართობი და რა მოცულობას შეიცავს?
ფართობის დასადგენად გამოვიყენებთ სტატიაში დაწერილ ფორმულას. ჩვენ გვაქვს:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 სმ2.
V მოცულობის დასადგენად, ჩვენ ასევე ვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას:
V=S3სთ=√3/4a2სთ=√3/410 215=649,5 სმ3.
მიუხედავად იმისა, რომ პრიზმის კიდეები 10 სმ და 15 სმ სიგრძისაა, ფიგურის მოცულობა მხოლოდ 0,65 ლიტრია (კუბს 10 სმ გვერდით აქვს 1 ლიტრი მოცულობა).
