სასკოლო გეომეტრიის კურსი დაყოფილია ორ დიდ ნაწილად: პლანიმეტრია და მყარი გეომეტრია. სტერეომეტრია სწავლობს სივრცულ ფიგურებს და მათ მახასიათებლებს. ამ სტატიაში ჩვენ გადავხედავთ რა არის სწორი პრიზმა და მივცემთ ფორმულებს, რომლებიც აღწერს მის თვისებებს, როგორიცაა დიაგონალის სიგრძე, მოცულობა და ზედაპირის ფართობი.
რა არის პრიზმა?
როდესაც სკოლის მოსწავლეებს სთხოვენ დაასახელონ პრიზმის განმარტება, ისინი პასუხობენ, რომ ეს ფიგურა არის ორი იდენტური პარალელური მრავალკუთხედი, რომელთა გვერდები დაკავშირებულია პარალელოგრამებით. ეს განმარტება მაქსიმალურად ზოგადია, რადგან ის არ აწესებს პირობებს მრავალკუთხედების ფორმაზე, მათ ურთიერთგანლაგებაზე პარალელურ სიბრტყეებში. გარდა ამისა, იგი გულისხმობს დამაკავშირებელი პარალელოგრამების არსებობას, რომელთა კლასში ასევე შედის კვადრატი, რომბი და მართკუთხედი. ქვემოთ ხედავთ რა არის ოთხკუთხა პრიზმა.
ჩვენ ვხედავთ, რომ პრიზმა არის პოლიედონი (მრავალედონი), რომელიც შედგება n + 2-ისგანგვერდები, 2 × n წვერო და 3 × n კიდეები, სადაც n არის ერთ-ერთი მრავალკუთხედის გვერდების (წვეროების) რაოდენობა.
ორივე მრავალკუთხედს ჩვეულებრივ უწოდებენ ფიგურის ფუძეს, დანარჩენ სახეებს პრიზმის მხარეებია.
სწორი პრიზმის კონცეფცია
არსებობს სხვადასხვა სახის პრიზმები. ასე რომ, საუბრობენ სწორ და უსწორმასწორო ფიგურებზე, სამკუთხა, ხუთკუთხა და სხვა პრიზმებზე, არის ამოზნექილი და ჩაზნექილი ფიგურები და ბოლოს დახრილი და სწორი. ამ უკანასკნელზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.
სწორი პრიზმა არის მრავალედრების შესწავლილი კლასის ასეთი ფიგურა, რომლის ყველა გვერდით ოთხკუთხედს აქვს მართი კუთხე. ასეთი ოთხკუთხედების მხოლოდ ორი ტიპი არსებობს - მართკუთხედი და კვადრატი.
ფიგურის განხილულ ფორმას აქვს მნიშვნელოვანი თვისება: სწორი პრიზმის სიმაღლე უდრის მისი გვერდითი კიდის სიგრძეს. გაითვალისწინეთ, რომ ფიგურის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია. რაც შეეხება გვერდით სახეებს, ზოგად შემთხვევაში ისინი არ უტოლდებიან ერთმანეთს. მათი თანასწორობა შესაძლებელია, თუ გარდა იმისა, რომ პრიზმა სწორია, ის ასევე სწორი იქნება.
ქვემოთ სურათზე ნაჩვენებია სწორი ფიგურა ხუთკუთხა ფუძით. ჩანს, რომ მისი ყველა გვერდითი სახე მართკუთხედია.
პრიზმის დიაგონალები და მისი წრფივი პარამეტრები
ნებისმიერი პრიზმის მთავარი წრფივი მახასიათებლებია მისი სიმაღლე h და მისი ფუძის გვერდების სიგრძე ai, სადაც i=1, …, n. თუ ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, მაშინ საკმარისია ვიცოდეთ ერთი მხარის სიგრძე a მისი თვისებების აღსაწერად. მონიშნული წრფივი პარამეტრების ცოდნა საშუალებას გვაძლევს ცალსახადგანსაზღვრეთ ფიგურის ისეთი თვისებები, როგორიცაა მისი მოცულობა ან ზედაპირი.
სწორი პრიზმის დიაგონალები არის სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ ნებისმიერ ორ არამიმდებარე წვეროებს. ასეთი დიაგონალები შეიძლება იყოს სამი ტიპის:
- დაწოლა საბაზო სიბრტყეებში;
- მდებარეობს გვერდითი მართკუთხედების სიბრტყეში;
- ფიგურები, რომლებიც ეკუთვნის მოცულობას.
ბაზისთან დაკავშირებული დიაგონალების სიგრძე უნდა განისაზღვროს n-გონების ტიპის მიხედვით.
გვერდითი მართკუთხედების დიაგონალები გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:
d1i=√(ai2+ h2).
მოცულობის დიაგონალების დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ შესაბამისი ფუძის დიაგონალისა და სიმაღლის სიგრძის მნიშვნელობა. თუ ფუძის ზოგიერთი დიაგონალი აღინიშნება ასო d0i, მაშინ მოცულობის დიაგონალი d2i გამოითვლება შემდეგნაირად:
d2i=√(d0i2+ h2).
მაგალითად, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის შემთხვევაში, მოცულობის დიაგონალის სიგრძე იქნება:
d2=√(2 × a2+ თ2).
გაითვალისწინეთ, რომ მართკუთხა სამკუთხა პრიზმას აქვს მხოლოდ ერთი სამი დასახელებული ტიპის დიაგონალები: გვერდითი დიაგონალი.
ფორმების შესწავლილი კლასის ზედაპირი
ზედაპირის ფართობი არის ფიგურის ყველა სახის ფართობის ჯამი. ყველა სახის ვიზუალიზაციისთვის, თქვენ უნდა გააკეთოთ პრიზმის სკანირება. მაგალითად, ხუთკუთხა ფიგურის ასეთი გადახვევა ნაჩვენებია ქვემოთ.
ჩვენ ვხედავთ, რომ სიბრტყეების რიცხვი არის n + 2, ხოლო n არის მართკუთხედები. მთლიანი გაწმენდის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ ორი იდენტური ფუძის ფართობი და ყველა მართკუთხედის ფართობი. შემდეგ შესაბამისი ფორმულა ასე გამოიყურება:
S=2 × So+ სთ × ∑i=1n (ai).
ეს ტოლობა გვიჩვენებს, რომ შესწავლილი ტიპის პრიზმების გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფიგურის სიმაღლისა და მისი ფუძის პერიმეტრის ნამრავლს.
So-ის საბაზისო ფართობი შეიძლება გამოითვალოს შესაბამისი გეომეტრიული ფორმულის გამოყენებით. მაგალითად, თუ მართი პრიზმის ფუძე არის მართკუთხა სამკუთხედი, მაშინ მივიღებთ:
So=a1 × a2 / 2.
სადაც 1 და 2 არის სამკუთხედის ფეხები.
თუ ფუძე არის n-გონი თანაბარი კუთხეებით და გვერდებით, მაშინ სამართლიანი იქნება შემდეგი ფორმულა:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
მოცულობის ფორმულა
ნებისმიერი სახის პრიზმის მოცულობის განსაზღვრა არ არის რთული ამოცანა, თუ ცნობილია მისი ფუძის ფართობი So და სიმაღლე h. ამ მნიშვნელობების ერთად გამრავლებით მივიღებთ ფიგურის V მოცულობას, ანუ:
V=So × სთ.
რადგან სწორი პრიზმის პარამეტრი h ტოლია გვერდითი კიდის სიგრძისა, მოცულობის გამოთვლის მთელი პრობლემა მოდის So ფართობის გამოთვლაზე. ჩვენზე მაღლაუკვე თქვით რამდენიმე სიტყვა და მიეცით რამდენიმე ფორმულა So-ის დასადგენად. აქ მხოლოდ აღვნიშნავთ, რომ თვითნებური ფორმის ფუძის შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაყოთ იგი მარტივ სეგმენტებად (სამკუთხედები, მართკუთხედები), გამოთვალოთ თითოეულის ფართობი და შემდეგ დაამატოთ ყველა უბანი, რომ მიიღოთ S. o.
