ხუთკუთხა პრიზმა გეომეტრიაში ამოცანების ამოხსნისას გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია, ვიდრე ისეთი პრიზები, როგორიცაა სამკუთხა, ოთხკუთხა ან ექვსკუთხა. მიუხედავად ამისა, სასარგებლოა ამ ფორმის ძირითადი თვისებების მიმოხილვა და მისი დახატვის სწავლა.
რა არის ხუთკუთხა პრიზმა?
ეს არის სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომლის ფუძეები არის ხუთკუთხედები, ხოლო გვერდები პარალელოგრამები. თუ ამ პარალელოგრამებიდან თითოეული პერპენდიკულარულია პარალელური ფუძეების მიმართ, მაშინ ასეთ პრიზმას მართკუთხა ეწოდება. მართკუთხა ხუთკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება ხუთი მართკუთხედისგან. უფრო მეტიც, თითოეული მათგანის ფუძის მიმდებარე გვერდი უდრის ხუთკუთხედის მხარის შესაბამის სიგრძეს.
თუ ხუთკუთხედი რეგულარულია, ანუ მისი ყველა გვერდი და კუთხე ერთმანეთის ტოლია, მაშინ ასეთ მართკუთხა პრიზმას რეგულარული ეწოდება. შემდგომ სტატიაში განვიხილავთ ამ კონკრეტული ფიგურის თვისებებს.
პრიზმის ელემენტები
მისთვის, როგორც ნებისმიერი პრიზმისთვის,დამახასიათებელია შემდეგი ელემენტები:
- სახეები ან გვერდები სიბრტყის ნაწილებია, რომლებიც აკავშირებენ ფიგურას სივრცეში;
- მწვერვალები - სამი მხარის გადაკვეთის წერტილები;
- ნეკნები - ფიგურის ორი მხარის გადაკვეთის სეგმენტები.
ყველა დასახელებული ელემენტის რიცხვები დაკავშირებულია ერთმანეთთან შემდეგი ტოლობით:
კიდეების რაოდენობა=წვეროების რაოდენობა + სახეების რაოდენობა - 2
ამ გამონათქვამს ეწოდება ეილერის ფორმულა პოლიედრონისთვის.
ხუთკუთხა პრიზმაში გვერდების რაოდენობა არის შვიდი (ორი ფუძე + ხუთი მართკუთხედი). მწვერვალების რაოდენობაა 10 (თითო ფუძეზე ხუთი). კიდეების რაოდენობა ამ შემთხვევაში იქნება:
ნეკნების რაოდენობა=10 + 7 - 2=15
ათი კიდე ეკუთვნის პრიზმის ფუძეებს, ხოლო ხუთი კიდე იქმნება მართკუთხედებით.
როგორ დავხატოთ ხუთკუთხა პრიზმა?
ამ კითხვაზე პასუხი დამოკიდებულია კონკრეტულ დავალებაზე. თუ საჭიროა თვითნებური პრიზმის დახატვა, მაშინ ნებისმიერი ხუთკუთხედი უნდა იყოს დახატული. ამის შემდეგ, ხუთკუთხედის თითოეული წვეროდან დახაზეთ თანაბარი სიგრძის ხუთი პარალელური სეგმენტი. შემდეგ, დააკავშირეთ სეგმენტების ზედა ბოლოები. შედეგი არის ხუთკუთხა თვითნებური პრიზმა.
თუ საჭიროა რეგულარული პრიზმის დახატვა, მაშინ ამოცანის მთელი სირთულე ჩვეულებრივი ხუთკუთხედის მიღებაზე მოდის. ამ მრავალკუთხედის დახატვის რამდენიმე გზა არსებობს. აქ განვიხილავთ მხოლოდ ორ გზას.
პირველი გზა არის წრის დახატვა კომპასით. შემდეგ შედგენილია თვითნებური დიამეტრიწრე და ხუთი კუთხე დათვლილია მისგან პროტრატორის გამოყენებით 72o(572o=360). თითოეული კუთხის დათვლისას წრეზე კეთდება ჭრილი. მართკუთხედის ასაგებად რჩება მონიშნული ჭრილების დაკავშირება სწორი სეგმენტებით.
მეორე მეთოდი მოიცავს მხოლოდ კომპასისა და სახაზავის გამოყენებას. ეს გარკვეულწილად რთულია წინასთან შედარებით. ქვემოთ მოცემულია ვიდეო, რომელიც დეტალურად განმარტავს ამ კონსტრუქციის თითოეულ საფეხურს.
გაითვალისწინეთ, რომ მარტივია ხუთკუთხედის დახატვა, თუ ვარსკვლავის ბოლოებს დააკავშირებთ. თუ არ არის საჭირო ზუსტად რეგულარული ხუთკუთხედის დახატვა, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხელით დახატული ვარსკვლავის მეთოდი.
როგორც კი ხუთკუთხედი დაიხაზება, დახაზეთ ხუთი იდენტური პარალელური სეგმენტი მისი თითოეული წვეროდან და დააკავშირეთ მათი წვეროები. შედეგი არის ხუთკუთხა პრიზმა.
ფორმის არე
ახლა განიხილეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ხუთკუთხა პრიზმის ფართობი. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს მის განვითარებას. ჩანს, რომ საჭირო ფართობს ქმნის ორი იდენტური ხუთკუთხედი და ერთმანეთის ტოლი ხუთი მართკუთხედი.
ფიგურის მთელი ზედაპირის ფართობი გამოიხატება ფორმულით:
S=2So+ 5Sp
აქ ინდექსები o და p ნიშნავს ფუძეს და მართკუთხედს, შესაბამისად. ხუთკუთხედის გვერდის სიგრძე აღვნიშნოთ a-ით, ხოლო ფიგურის სიმაღლე h-ით. შემდეგ მართკუთხედისთვის ვწერთ:
Sp=ah
ხუთკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად,გამოიყენეთ უნივერსალური ფორმულა:
S=n/4a2ctg(pi/n)
სადაც n არის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა. n=5-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
მიღებული ტოლობის სიზუსტე არის 3 ათობითი ადგილი, რაც სავსებით საკმარისია ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად.
ახლა რჩება ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის მიღებული ფართობების ჯამის პოვნა. ჩვენ გვაქვს:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a სთ
უნდა გვახსოვდეს, რომ მიღებული ფორმულა მოქმედებს მხოლოდ მართკუთხა პრიზმისთვის. ირიბი ფიგურის შემთხვევაში, მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი გვხვდება ჭრილის პერიმეტრის ცოდნის საფუძველზე, რომელიც უნდა იყოს ყველა პარალელოგრამის პერპენდიკულარული.
ფიგურის მოცულობა
ხუთკუთხა პრიზმის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა არაფრით განსხვავდება ნებისმიერი სხვა პრიზმის ან ცილინდრის მსგავსი გამოსახულებისგან. ფიგურის მოცულობა უდრის მისი სიმაღლისა და ფუძის ფართობის ნამრავლს:
V=Soh
თუ სადავო პრიზმა მართკუთხაა, მაშინ მისი სიმაღლე არის მართკუთხედების მიერ წარმოქმნილი კიდის სიგრძე. რეგულარული ხუთკუთხედის ფართობი გამოითვლება ზემოთ მაღალი სიზუსტით. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა მოცულობის ფორმულაში და მიიღეთ აუცილებელი გამოხატულება რეგულარული ხუთკუთხა პრიზმისთვის:
V=1, 72a2სთ
ამგვარად, გამოითვლება მოცულობა და ზედაპირის ფართობირეგულარული ხუთკუთხა პრიზმა შესაძლებელია, თუ ცნობილია ფუძის მხარე და ფიგურის სიმაღლე.
