ცილინდრი: გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

სტერეომეტრიის შესწავლისას ერთ-ერთი მთავარი თემაა „ცილინდრი“. გვერდითი ზედაპირის ფართობი განიხილება, თუ არა მთავარი, მაშინ მნიშვნელოვანი ფორმულა გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრისას. თუმცა, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს განმარტებები, რომლებიც დაგეხმარებათ ნავიგაციაში მაგალითებში და სხვადასხვა თეორემების დამტკიცებისას.

ცილინდრის კონცეფცია

პირველ რიგში უნდა განვიხილოთ რამდენიმე განმარტება. მხოლოდ მათი შესწავლის შემდეგ შეიძლება დაიწყოს ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულის საკითხის განხილვა. ამ ჩანაწერზე დაყრდნობით, სხვა გამონათქვამები შეიძლება გამოითვალოს.

• ცილინდრული ზედაპირი გაგებულია, როგორც გენერატორის მიერ აღწერილი სიბრტყე, რომელიც მოძრაობს და რჩება მოცემული მიმართულების პარალელურად, სრიალებს არსებული მრუდის გასწვრივ.
• ასევე არსებობს მეორე განმარტება: ცილინდრული ზედაპირი წარმოიქმნება პარალელური ხაზების სიმრავლით, რომლებიც კვეთენ მოცემულ მრუდს.
• გენერატივს ჩვეულებრივ უწოდებენ ცილინდრის სიმაღლეს. როდესაც ის მოძრაობს ღერძის გარშემო, რომელიც გადის ბაზის ცენტრში,მიღებული გეომეტრიული სხეული.
• ღერძის ქვეშ იგულისხმება სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფიგურის ორივე ფუძეს.
• ცილინდრი არის სტერეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია გადაკვეთის გვერდითი ზედაპირით და 2 პარალელური სიბრტყით.

არის ამ სამგანზომილებიანი ფიგურის ჯიშები:

1. წრიული არის ცილინდრი, რომლის სახელმძღვანელო არის წრე. მისი ძირითადი კომპონენტებია ბაზის რადიუსი და გენერატრიქსი. ეს უკანასკნელი უდრის ფიგურის სიმაღლეს.
2. არის სწორი ცილინდრი. მან მიიღო სახელი ფიგურის ფუძეებთან გენერატრიქსის პერპენდიკულარულობის გამო.
3. მესამე სახეობა არის დახრილი ცილინდრი. სახელმძღვანელოებში ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მისი სხვა სახელი - "წრიული ცილინდრი დახრილი ძირით". ეს ფიგურა განსაზღვრავს ფუძის რადიუსს, მინიმალურ და მაქსიმალურ სიმაღლეებს.
4. ტოლგვერდა ცილინდრი გაგებულია, როგორც სხეული, რომელსაც აქვს წრიული სიბრტყის თანაბარი სიმაღლე და დიამეტრი.

სიმბოლო

ტრადიციულად, ცილინდრის მთავარ "კომპონენტებს" ასე უწოდებენ:

• ბაზის რადიუსი არის R (ის ასევე ცვლის სტერეომეტრიული ფიგურის იგივე მნიშვნელობას).
• გენერატივი – L.
• სიმაღლე – H.
• ბაზის ფართობი - S_{ბაზა (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ მითითებული წრის პარამეტრი).}
• დაკეცილი ცილინდრის სიმაღლეები – h₁, h_{2 (მინიმალური და მაქსიმალური).}
• გვერდითი ზედაპირის ფართობი - S_{გვერდი (თუ გააფართოვებთ, მიიღებთერთგვარი მართკუთხედი).}
• სტერეომეტრიული ფიგურის მოცულობა - V.
• საერთო ფართობი – S.

სტერეომეტრიული ფიგურის „კომპონენტები“

ცილინდრის შესწავლისას, გვერდითი ზედაპირის ფართობი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ეს ფორმულა შედის რამდენიმე სხვა, უფრო რთულ ფორმულაში. ამიტომ აუცილებელია თეორიის კარგად ათვისება.

ფიგურის ძირითადი კომპონენტებია:

1. გვერდითი ზედაპირი. მოგეხსენებათ, ის მიიღება გენერატრიქსის მოცემული მრუდის გასწვრივ მოძრაობის გამო.
2. სრული ზედაპირი მოიცავს არსებულ საყრდენებსა და გვერდით სიბრტყეს.
3. ცილინდრის მონაკვეთი, როგორც წესი, არის ოთხკუთხედი, რომელიც მდებარეობს ფიგურის ღერძის პარალელურად. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მას თვითმფრინავი ჰქვია. გამოდის, რომ სიგრძე და სიგანე სხვა ფიგურების ნახევარ განაკვეთზე კომპონენტებია. ასე რომ, პირობითად, მონაკვეთის სიგრძე გენერატორებია. სიგანე - სტერეომეტრიული ფიგურის პარალელური აკორდები.
4. ღერძული განყოფილება ნიშნავს სიბრტყის მდებარეობას სხეულის ცენტრში.
5. და ბოლოს, საბოლოო განმარტება. ტანგენსი არის სიბრტყე, რომელიც გადის ცილინდრის გენერატრიქსში და მართი კუთხით ღერძულ მონაკვეთთან. ამ შემთხვევაში ერთი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს. მითითებული გენერატრიქსი უნდა იყოს ჩართული ღერძული განყოფილების სიბრტყეში.

ცილინდრთან მუშაობის ძირითადი ფორმულები

იმისთვის, რომ ვუპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ცილინდრის ზედაპირის ფართობი, საჭიროა შევისწავლოთ სტერეომეტრიული ფიგურის ძირითადი "კომპონენტები" და მათი პოვნის ფორმულები.

ეს ფორმულები განსხვავდება იმით, რომ ჯერ მოცემულია გამოსახულებები დახრილი ცილინდრისთვის, შემდეგ კი სწორი.

დეკონსტრუქციული მაგალითები

ამოცანა 1.

აუცილებელია იცოდეთ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. AC=8 სმ მონაკვეთის დიაგონალი მოცემულია (უფრო მეტიც, ღერძულია). გენერატრიქსთან კონტაქტისას, გამოდის _<ACD=30°

გადაწყვეტილება. ვინაიდან ცნობილია დიაგონალის და კუთხის მნიშვნელობები, მაშინ ამ შემთხვევაში:

CD=ACcos 30°

კომენტარი. სამკუთხედი ACD, ამ კონკრეტულ მაგალითში, არის მართკუთხა სამკუთხედი. ეს ნიშნავს, რომ CD და AC გამყოფის კოეფიციენტი=მოცემული კუთხის კოსინუსი. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობა შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალურ ცხრილში.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ AD-ის მნიშვნელობა:

AD=ACsin 30°

ახლა თქვენ უნდა გამოთვალოთ სასურველი შედეგი შემდეგი ფორმულირებით: ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის "pi"-ს გამრავლების შედეგს ორჯერ, ფიგურის რადიუსს და მის სიმაღლეს. ასევე უნდა იქნას გამოყენებული სხვა ფორმულა: ცილინდრის ფუძის ფართობი. ის უდრის „პი“-ს რადიუსის კვადრატზე გამრავლების შედეგს. და ბოლოს, ბოლო ფორმულა: მთლიანი ზედაპირის ფართობი. ის უდრის წინა ორი ფართობის ჯამს.

ამოცანა 2.

მოცემულია ცილინდრები. მათი მოცულობა=128n სმ³. რომელი ცილინდრი აქვს ყველაზე პატარასრული ზედაპირი?

გადაწყვეტილება. ჯერ უნდა გამოიყენოთ ფორმულები ფიგურის მოცულობისა და სიმაღლის საპოვნელად.

ვინაიდან ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი თეორიიდან არის ცნობილი, მისი ფორმულა უნდა იქნას გამოყენებული.

თუ მიღებულ ფორმულას განვიხილავთ, როგორც ცილინდრის ფართობის ფუნქციას, მაშინ მინიმალური "ინდიკატორი" მიიღწევა უკიდურეს წერტილში. ბოლო მნიშვნელობის მისაღებად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ დიფერენციაცია.

ფორმულები შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალურ ცხრილში წარმოებულების საპოვნელად. მომავალში ნაპოვნი შედეგი ტოლდება ნულთან და ნაპოვნია განტოლების ამონახსნი.

პასუხი: S_{წთ მიიღწევა h=1/32 სმ, R=64 სმ.}

პრობლემა 3.

მოყვანილია სტერეომეტრიული ფიგურა - ცილინდრი და განყოფილება. ეს უკანასკნელი ხორციელდება ისე, რომ იგი მდებარეობს სტერეომეტრიული სხეულის ღერძის პარალელურად. ცილინდრს აქვს შემდეგი პარამეტრები: VK=17 სმ, h=15 სმ, R=5 სმ აუცილებელია მანძილის პოვნა მონაკვეთსა და ღერძს შორის.

გადაწყვეტილება.

რადგან ცილინდრის განივი მონაკვეთი გაგებულია, როგორც VSCM, ანუ მართკუთხედი, მისი გვერდი VM=h. WMC უნდა განიხილებოდეს. სამკუთხედი მართკუთხაა. ამ განცხადებაზე დაყრდნობით შეგვიძლია გამოვიტანოთ სწორი ვარაუდი, რომ MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ MK=BC=8 სმ.

შემდეგი ნაბიჯი არის მონაკვეთის დახატვა ფიგურის ძირში. აუცილებელია მიღებული სიბრტყის გათვალისწინება.

AD - სტერეომეტრიული ფიგურის დიამეტრი. ის პარალელურია პრობლემის განცხადებაში ნახსენები განყოფილების პარალელურად.

ძვ.წ. არის სწორი ხაზი, რომელიც მდებარეობს არსებული მართკუთხედის სიბრტყეზე.

ABCD არის ტრაპეცია. კონკრეტულ შემთხვევაში, იგი ითვლება ტოლფერდა, რადგან მის გარშემო აღწერილია წრე.

თუ იპოვით მიღებული ტრაპეციის სიმაღლეს, შეგიძლიათ მიიღოთ ამოცანის დასაწყისში მოცემული პასუხი. კერძოდ: მანძილის პოვნა ღერძსა და დახაზულ მონაკვეთს შორის.

ამისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ AD და OS-ის მნიშვნელობები.

პასუხი: მონაკვეთი მდებარეობს ღერძიდან 3 სმ.

პრობლემები მასალის კონსოლიდაციისთვის

მაგალითი 1.

მოცემული ცილინდრი. გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოიყენება შემდგომ ხსნარში. სხვა ვარიანტები ცნობილია. ფუძის ფართობი არის Q, ღერძული მონაკვეთის ფართობი არის M. აუცილებელია ვიპოვოთ S. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცილინდრის მთლიანი ფართობი.

მაგალითი 2.

მოცემული ცილინდრი. გვერდითი ზედაპირის ფართობი უნდა მოიძებნოს პრობლემის მოგვარების ერთ-ერთ საფეხურზე. ცნობილია, რომ სიმაღლე=4 სმ, რადიუსი=2 სმ. აუცილებელია სტერეომეტრიული ფიგურის საერთო ფართობის პოვნა.