სტერეომეტრიის ფარგლებში სამგანზომილებიან სივრცეში ფიგურების თვისებების შესწავლისას ხშირად უხდება ამოცანების გადაჭრა მოცულობის და ზედაპირის ფართობის დასადგენად. ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ მოცულობისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობი შეკვეცილი პირამიდისთვის ცნობილი ფორმულების გამოყენებით.
პირამიდა გეომეტრიაში
გეომეტრიაში, ჩვეულებრივი პირამიდა არის ფიგურა სივრცეში, რომელიც აგებულია ზოგიერთ ბრტყელ n-გონზე. მისი ყველა წვერო დაკავშირებულია ერთ წერტილთან, რომელიც მდებარეობს მრავალკუთხედის სიბრტყის გარეთ. მაგალითად, აქ არის ფოტო, სადაც ნაჩვენებია ხუთკუთხა პირამიდა.
ეს ფიგურა იქმნება სახეებით, წვეროებით და კიდეებით. ხუთკუთხა სახეს ფუძე ეწოდება. დარჩენილი სამკუთხა სახეები ქმნის გვერდით ზედაპირს. ყველა სამკუთხედის გადაკვეთის წერტილი არის პირამიდის მთავარი წვერო. თუ მისგან პერპენდიკულარი ჩამოვიდა ძირამდე, მაშინ შესაძლებელია გადაკვეთის წერტილის პოზიციის ორი ვარიანტი:
- გეომეტრიულ ცენტრში, მაშინ პირამიდას ეწოდება სწორი ხაზი;
- არ შედისგეომეტრიული ცენტრი, მაშინ ფიგურა იქნება ირიბი.
შემდეგ განვიხილავთ მხოლოდ სწორ ფიგურებს რეგულარული n-გონალური ფუძით.
რა არის ეს ფიგურა - ჩამოჭრილი პირამიდა?
შეკვეცილი პირამიდის მოცულობის დასადგენად, აუცილებელია ნათლად გავიგოთ, კონკრეტულად რომელ ფიგურაზეა საუბარი. მოდით დავაზუსტოთ ეს საკითხი.
ვუშვათ, რომ ავიღოთ საჭრელი სიბრტყე, რომელიც პარალელურია ჩვეულებრივი პირამიდის ფუძისა და ამოვჭრათ გვერდითი ზედაპირის ნაწილი. თუ ეს ოპერაცია შესრულებულია ზემოთ ნაჩვენები ხუთკუთხა პირამიდით, თქვენ მიიღებთ ისეთ ფიგურას, როგორც ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
ფოტოდან ჩანს, რომ ამ პირამიდას უკვე ორი ფუძე აქვს, ზედა კი ქვედას მსგავსია, მაგრამ ზომით უფრო პატარაა. გვერდითი ზედაპირი აღარ არის წარმოდგენილი სამკუთხედებით, არამედ ტრაპეციებით. ისინი ტოლფერდანი არიან და მათი რიცხვი შეესაბამება ფუძის გვერდების რაოდენობას. წაკვეთილ ფიგურას არ აქვს ძირითადი წვერო, როგორც ჩვეულებრივ პირამიდას და მისი სიმაღლე განისაზღვრება პარალელურ ფუძეებს შორის მანძილით.
ზოგად შემთხვევაში, თუ განსახილველი ფიგურა შედგება n-გონალური ფუძით, მას აქვს n+2 სახე ან გვერდი, 2n წვერო და 3n კიდეები. ანუ, დამსხვრეული პირამიდა არის პოლიედონი.
ფორმულა შეკვეცილი პირამიდის მოცულობისთვის
შეგახსენებთ, რომ ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობა არის მისი სიმაღლისა და ფუძის ფართობის ნამრავლის 1/3. ეს ფორმულა არ არის შესაფერისი შეკვეცილი პირამიდისთვის, რადგან მას აქვს ორი საფუძველი. და მისი მოცულობაყოველთვის იქნება იგივე მნიშვნელობაზე ნაკლები იმ რეგულარული ფიგურისთვის, საიდანაც იგი მიღებულია.
გამოსახულების მიღების მათემატიკური დეტალების გარეშე, წარმოგიდგენთ შეკვეცილი პირამიდის მოცულობის საბოლოო ფორმულას. ასე იწერება:
V=1/3სთ(S1+ S2+ √(S1 S2))
აქ S1 და S2 არის ქვედა და ზედა ფუძის ფართობები, შესაბამისად, h არის ფიგურის სიმაღლე. წერილობითი გამოთქმა მოქმედებს არა მხოლოდ სწორი რეგულარული ჩამოჭრილი პირამიდისთვის, არამედ ამ კლასის ნებისმიერი ფიგურისთვის. უფრო მეტიც, მიუხედავად ფუძე მრავალკუთხედების ტიპისა. ერთადერთი პირობა, რომელიც ზღუდავს V-ს გამოთქმის გამოყენებას, არის პირამიდის ფუძეების ერთმანეთის პარალელურობის საჭიროება.
ამ ფორმულის თვისებების შესწავლით შეიძლება რამდენიმე მნიშვნელოვანი დასკვნის გაკეთება. ასე რომ, თუ ზედა ფუძის ფართობი არის ნული, მაშინ მივდივართ ჩვეულებრივი პირამიდის V ფორმულამდე. თუ ფუძეების ფართობები ერთმანეთის ტოლია, მაშინ მივიღებთ პრიზმის მოცულობის ფორმულას.
როგორ განვსაზღვროთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი?
შეკვეცილი პირამიდის მახასიათებლების ცოდნა მოითხოვს არა მხოლოდ მისი მოცულობის გამოთვლას, არამედ იმის ცოდნას, თუ როგორ უნდა განვსაზღვროთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.
შეკვეცილი პირამიდა შედგება ორი სახის სახისგან:
- ისოსკელური ტრაპეცია;
- მრავალკუთხა ფუძეები.
თუ ფუძეებში არის რეგულარული მრავალკუთხედი, მაშინ მისი ფართობის გამოთვლა არ წარმოადგენს დიდსსირთულეები. ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ a მხარის სიგრძე და მათი რიცხვი n.
გვერდითი ზედაპირის შემთხვევაში, მისი ფართობის გამოთვლა გულისხმობს ამ მნიშვნელობის განსაზღვრას თითოეული n ტრაპეციისთვის. თუ n-გონი სწორია, მაშინ გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა ხდება:
Sb=hbn(a1+ა2)/2
აქ hb არის ტრაპეციის სიმაღლე, რომელსაც ფიგურის აპოტემა ეწოდება. სიდიდეები a1 და a2არის რეგულარული n-გონალური ფუძეების გვერდების სიგრძე.
ყველა რეგულარული n-გონალური შეკვეცილი პირამიდისთვის, აპოტემა hb შეიძლება განისაზღვროს ცალსახად a1 და a პარამეტრების მეშვეობით. 2და ფორმის h სიმაღლე.
ფიგურის მოცულობის და ფართობის გამოანგარიშების ამოცანა
მოცემულია რეგულარული სამკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდა. ცნობილია, რომ მისი სიმაღლე h უდრის 10 სმ, ხოლო ფუძეების გვერდების სიგრძე 5 სმ და 3 სმ. როგორია წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა და მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი?
პირველ რიგში, გამოვთვალოთ მნიშვნელობა V. ამისათვის იპოვეთ ფიგურის ფუძეებზე მდებარე ტოლგვერდა სამკუთხედების ფართობები. ჩვენ გვაქვს:
S1=√3/4a12=√3/4 52=10,825 სმ2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3,897 სმ2
შეცვალეთ მონაცემები V ფორმულაში, მივიღებთ სასურველ მოცულობას:
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 სმ3
გვერდითი ზედაპირის დასადგენად, უნდა იცოდეთაპთემის სიგრძე hb. პირამიდის შიგნით შესაბამისი მართკუთხა სამკუთხედის გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავწეროთ მისი ტოლობა:
სთb=√((√3/6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10,017 სმ
აპოთემის მნიშვნელობა და სამკუთხა ფუძეების გვერდები ჩანაცვლებულია გამოსახულებით Sbდა მივიღებთ პასუხს:
Sb=hbn(a1+ა2)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2სმ2
ამგვარად, ჩვენ ვუპასუხეთ ამოცანის ყველა კითხვას: V ≈ 70,72 სმ3, Sb ≈ 120,2 სმ2.
