კოსინუსის წარმოებული გვხვდება სინუსის წარმოებულის ანალოგიით, დადასტურების საფუძველია ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა მეთოდი, ტრიგონომეტრიული შემცირების ფორმულების გამოყენებით კუთხეების კოსინუსისა და სინუსისთვის. გამოხატეთ ერთი ფუნქცია მეორის მიხედვით - კოსინუსი სინუსის მიხედვით და განასხვავეთ სინუსი რთული არგუმენტით.
განვიხილოთ ფორმულის გამოყვანის პირველი მაგალითი (Cos(x))'
მიეცით უმნიშვნელოდ მცირე ნამატი Δx y=Cos(x) ფუნქციის x არგუმენტს. არგუმენტის х+Δх ახალი მნიშვნელობით ვიღებთ Cos(х+Δх) ფუნქციის ახალ მნიშვნელობას. მაშინ ფუნქციის ნამატი Δy ტოლი იქნება Cos(х+Δx)-Cos(x).
ფუნქციის ნამატის შეფარდება Δх იქნება: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. განვახორციელოთ იდენტური გარდაქმნები მიღებული წილადის მრიცხველში. გავიხსენოთ კუთხეების კოსინუსების სხვაობის ფორმულა, შედეგი იქნება ნამრავლი -2Sin (Δx / 2) გამრავლებული Sin (x + Δx / 2). ჩვენ ვპოულობთ ამ პროდუქტის კოეფიციენტის ზღვარს Δx-ზე, რადგან Δx მიდრეკილია ნულისკენ. ცნობილია, რომ პირველი(მას მშვენიერი ჰქვია) ლიმიტი lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) უდრის 1-ს და ზღვარი -Sin(x+Δx/2) უდრის -Sin(x) როგორც Δx მიდრეკილია ნულისკენ. ჩაწერეთ შედეგი: (Cos(x))'-ის წარმოებული უდრის - Sin(x).
ზოგიერთს ურჩევნია იგივე ფორმულის გამოყვანის მეორე გზა
ტრიგონომეტრიის კურსიდან ცნობილია: Cos(x) უდრის Sin(0, 5 ∏-x), ანალოგიურად Sin(x) უდრის Cos(0, 5 ∏-x). შემდეგ განვასხვავებთ კომპლექსურ ფუნქციას - დამატებითი კუთხის სინუსს (ქს-ის ნაცვლად).
მიიღება ნამრავლი Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', რადგან სინუს x-ის წარმოებული ტოლია X-ის კოსინუსს. ჩვენ მივმართავთ მეორე ფორმულას Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) კოსინუსის სინუსით ჩანაცვლების, იმის გათვალისწინებით, რომ (0.5 ∏-x)'=-1. ახლა ვიღებთ -Sin(x).ასე, ნაპოვნია კოსინუსის წარმოებული, y'=-Sin(x) ფუნქციისთვის y=Cos(x).
კვადრატული კოსინუსური წარმოებული
საყოველთაოდ გამოყენებული მაგალითი, სადაც გამოიყენება კოსინუსის წარმოებული. ფუნქცია y=Cos2(x) რთულია. ჯერ ვპოულობთ სიმძლავრის ფუნქციის დიფერენციალს 2 მაჩვენებლით, ეს იქნება 2·Cos(x), შემდეგ ვამრავლებთ წარმოებულზე (Cos(x))', რომელიც უდრის -Sin(x). ვიღებთ y'=-2 Cos(x) Sin(x). როდესაც გამოვიყენებთ Sin(2x) ფორმულას, ორმაგი კუთხის სინუსს, მივიღებთ საბოლოო გამარტივებულსპასუხი y'=-Sin(2x)
ჰიპერბოლური ფუნქციები
ისინი გამოიყენება მრავალი ტექნიკური დისციპლინის შესწავლისას: მაგალითად, მათემატიკაში, ხელს უწყობენ ინტეგრალების გამოთვლას, დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნას. ისინი გამოიხატება წარმოსახვითი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებითარგუმენტი, ამიტომ ჰიპერბოლური კოსინუსი ch(x)=Cos(i x), სადაც i არის წარმოსახვითი ერთეული, ჰიპერბოლური სინუსი sh(x)=Sin(i x).
ჰიპერბოლური კოსინუსის წარმოებული გამოითვლება საკმაოდ მარტივად.
გაითვალისწინეთ ფუნქცია y=(ex+e-x) /2, ეს და არის ჰიპერბოლური კოსინუსი ch(x). ჩვენ ვიყენებთ ორ გამონათქვამის ჯამის წარმოებულის პოვნის წესს, წარმოებულის ნიშნიდან მუდმივი ფაქტორის (Const) ამოღების წესს. მეორე წევრი 0.5 e-x არის რთული ფუნქცია (მისი წარმოებული არის -0.5 e-x), 0.5 eх - პირველი ვადა. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' შეიძლება დაიწეროს სხვა გზით: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, რადგან წარმოებული (e - x)' უდრის -1-ჯერ e-x. შედეგი არის განსხვავება და ეს არის ჰიპერბოლური სინუსი sh(x).გამომავალი: (ch(x))'=sh(x).
მოდით ვნახოთ მაგალითი, თუ როგორ გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული y=ch(x
3+1).ჰიპერბოლური კოსინუსების დიფერენციაციის წესის მიხედვით რთული არგუმენტით y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', სადაც (x3+1)'=3 x 2+0. პასუხი: ამ ფუნქციის წარმოებული არის 3 x
2sh(x3+1).
განხილული ფუნქციების ტაბულური წარმოებულები y=ch(x) და y=Cos(x)
მაგალითების ამოხსნისას არ არის საჭირო ყოველ ჯერზე მათი დიფერენცირება შემოთავაზებული სქემის მიხედვით, საკმარისია დასკვნის გამოყენება.
მაგალითი. y=ფუნქციის დიფერენცირებაCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). მარტივი გამოსათვლელი (გამოიყენეთ ცხრილის მონაცემები), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
