მოცულობა და ზედაპირის ფართობი არის ნებისმიერი სხეულის ორი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, რომელსაც აქვს სასრული ზომები სამგანზომილებიან სივრცეში. ამ სტატიაში განვიხილავთ პოლიედრების ცნობილ კლასს - პრიზმებს. კერძოდ, გამოვლინდება კითხვა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სწორი პრიზმის ზედაპირის ფართობი.
რა არის პრიზმა?
პრიზმა არის ნებისმიერი მრავალედრონი, რომელიც შემოსაზღვრულია რამდენიმე პარალელოგრამით და ორი იდენტური მრავალკუთხედით, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში. ეს მრავალკუთხედები ითვლება ფიგურის საფუძვლებად, ხოლო მისი პარალელოგრამები არის გვერდები. ფუძის გვერდების (კუთხეების) რაოდენობა განსაზღვრავს ფიგურის სახელს. მაგალითად, ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს ხუთკუთხა პრიზმას.
ძირებს შორის მანძილს ფიგურის სიმაღლე ეწოდება. თუ სიმაღლე უდრის რომელიმე გვერდითი კიდის სიგრძეს, მაშინ ასეთი პრიზმა სწორი იქნება. მეორე საკმარისი თვისება სწორი პრიზმისთვის არის ის, რომ მისი ყველა გვერდი მართკუთხედი ან კვადრატია. თუმცა თუთუ ერთი მხარე არის ზოგადი პარალელოგრამი, მაშინ ფიგურა იქნება დახრილი. ქვემოთ ხედავთ, თუ როგორ განსხვავდება სწორი და ირიბი პრიზმები ოთხკუთხა ფიგურების მაგალითზე.
სწორი პრიზმის ზედაპირის ფართობი
თუ გეომეტრიულ ფიგურას აქვს n-გონალური ფუძე, მაშინ ის შედგება n+2 სახისგან, რომელთაგან n მართკუთხედია. ფუძის გვერდების სიგრძეები ავღნიშნოთ i, სადაც i=1, 2, …, n და ავღნიშნოთ ფიგურის სიმაღლე, რომელიც უდრის სიგრძის გვერდითი კიდე, როგორც h. ყველა სახის ზედაპირის ფართობის (S) დასადგენად, დაამატეთ თითოეული ფუძის So ფართობი და გვერდების ყველა ფართობი (მართკუთხედები). ამრიგად, S-ის ფორმულა ზოგადი ფორმით შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
S=2So+ Sb
სადაც Sb არის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.
რადგან სწორი პრიზმის ფუძე შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი ბრტყელი მრავალკუთხედი, მაშინ Soარ შეიძლება იყოს მოცემული და ამ მნიშვნელობის დასადგენად, ზოგადად შემთხვევაში, უნდა ჩატარდეს გეომეტრიული ანალიზი. მაგალითად, თუ ფუძე არის რეგულარული n-გონი გვერდით a, მაშინ მისი ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
So=n/4ctg(pi/n)a2
რაც შეეხება Sb-ის მნიშვნელობას, შეიძლება მიეცეს გამოხატულება მისი გამოთვლისთვის. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:
Sb=h∑i=1(აi)
ეს არის მნიშვნელობაSb გამოითვლება როგორც ფიგურის სიმაღლისა და მისი ფუძის პერიმეტრის ნამრავლი.
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
გამოვიყენოთ მიღებული ცოდნა შემდეგი გეომეტრიული ამოცანის ამოსახსნელად. მოცემულია პრიზმა, რომლის ფუძე არის მართკუთხა სამკუთხედი, გვერდებით მართი კუთხით 5 სმ და 7 სმ. ფიგურის სიმაღლეა 10 სმ. აუცილებელია ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის ზედაპირის ფართობი.
პირველ რიგში, გამოვთვალოთ სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. ტოლი იქნება:
c=√(52+ 72)=8,6 სმ
ახლა გავაკეთოთ კიდევ ერთი მოსამზადებელი მათემატიკური ოპერაცია - გამოვთვალოთ ფუძის პერიმეტრი. ეს იქნება:
P=5 + 7 + 8,6=20,6 სმ
ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება P მნიშვნელობის ნამრავლით და სიმაღლე h=10 სმ, ანუ Sb=206 სმ. 2.
მთელი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად, ნაპოვნი მნიშვნელობას უნდა დაემატოს ორი საბაზისო ფართობი. ვინაიდან მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი განისაზღვრება ფეხების ნამრავლის ნახევარით, მივიღებთ:
2So=257/2=35სმ2
შემდეგ მივიღებთ, რომ სწორი სამკუთხა პრიზმის ზედაპირის ფართობი არის 35 + 206=241 სმ2.
