მოცულობა არის ნებისმიერი ფიგურის მახასიათებელი, რომელსაც აქვს არანულოვანი ზომები სივრცის სამივე განზომილებაში. ამ სტატიაში, სტერეომეტრიის (სივრცითი ფიგურების გეომეტრია) თვალსაზრისით განვიხილავთ პრიზმას და ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სხვადასხვა ტიპის პრიზმების მოცულობა.
რა არის პრიზმა?
სტერეომეტრიას აქვს ზუსტი პასუხი ამ კითხვაზე. მასში პრიზმა გაგებულია, როგორც ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი იდენტური მრავალკუთხა სახეებით და რამდენიმე პარალელოგრამით. ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენებია ოთხი განსხვავებული პრიზმა.
თითოეული მათგანის მიღება შესაძლებელია შემდეგნაირად: თქვენ უნდა აიღოთ მრავალკუთხედი (სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ.) და გარკვეული სიგრძის სეგმენტი. შემდეგ მრავალკუთხედის თითოეული წვერო უნდა გადავიდეს პარალელური სეგმენტების გამოყენებით სხვა სიბრტყეში. ახალ სიბრტყეში, რომელიც იქნება ორიგინალის პარალელურად, მიიღება ახალი მრავალკუთხედი, რომელიც თავდაპირველად არჩეული იყო.
პრიზმები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ტიპის. ასე რომ, ისინი შეიძლება იყოს სწორი, ირიბი და სწორი. თუ პრიზმის გვერდითი კიდე (სეგმენტი,ფუძეების წვეროების დამაკავშირებელი) ფიგურის ფუძეების პერპენდიკულარულად, მაშინ ეს უკანასკნელი არის სწორი ხაზი. შესაბამისად, თუ ეს პირობა არ დაკმაყოფილდა, მაშინ საუბარია დახრილ პრიზმაზე. რეგულარული ფიგურა არის სწორი პრიზმა ტოლკუთხა და ტოლგვერდა ფუძით.
მოგვიანებით სტატიაში გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ თითოეული ამ ტიპის პრიზმის მოცულობა.
რეგულარული პრიზმების მოცულობა
დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით. ჩვენ ვაძლევთ ფორმულას n-გონალური ფუძის მქონე რეგულარული პრიზმის მოცულობისთვის. მოცულობის ფორმულა V განხილული კლასის ნებისმიერი ფიგურისთვის ასეთია:
V=Soსთ.
ანუ მოცულობის დასადგენად საკმარისია გამოვთვალოთ ერთ-ერთი ფუძის ფართობი So და გავამრავლოთ ფიგურის h სიმაღლეზე.
რეგულარული პრიზმის შემთხვევაში მისი ფუძის გვერდის სიგრძე a ასოთი ავღნიშნოთ, ხოლო სიმაღლე, რომელიც ტოლია გვერდითი კიდის სიგრძის, ასო h-ით. თუ n-გონის საფუძველი სწორია, მაშინ მისი ფართობის გამოსათვლელად ყველაზე მარტივი გზაა შემდეგი უნივერსალური ფორმულის გამოყენება:
S=n/4a2ctg(pi/n).
n გვერდის რაოდენობის და a გვერდის სიგრძის მნიშვნელობის ტოლობით ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ n-გონალური ფუძის ფართობი. გაითვალისწინეთ, რომ კოტანგენტის ფუნქცია აქ გამოითვლება pi/n კუთხისთვის, რომელიც გამოიხატება რადიანებში.
S-ისთვის დაწერილი ტოლობის გათვალისწინებით, მივიღებთ რეგულარული პრიზმის მოცულობის საბოლოო ფორმულას:
V=n/4a2hctg(pi/n).
თითოეული კონკრეტული შემთხვევისთვის შეგიძლიათ დაწეროთ V-ის შესაბამისი ფორმულები, მაგრამ ისინი ყველაცალსახად გამომდინარეობს წერილობითი ზოგადი გამოთქმიდან. მაგალითად, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმისთვის, რომელიც ზოგად შემთხვევაში არის მართკუთხა პარალელეპიპედი, მივიღებთ:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 სთ.
თუ ამ გამოსახულებაში ავიღებთ h=a, მაშინ მივიღებთ კუბის მოცულობის ფორმულას.
პირდაპირი პრიზმების მოცულობა
ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ სწორი ფიგურებისთვის არ არსებობს მოცულობის გამოთვლის ზოგადი ფორმულა, რომელიც ზემოთ იყო მოცემული რეგულარული პრიზმებისთვის. მოცემული მნიშვნელობის პოვნისას გამოყენებული უნდა იყოს ორიგინალური გამოხატულება:
V=Soსთ.
აქ h არის გვერდითი კიდის სიგრძე, როგორც წინა შემთხვევაში. რაც შეეხება საბაზისო ფართობს So, მას შეუძლია მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობები. მოცულობის სწორი პრიზმის გამოთვლის ამოცანა მცირდება მისი ფუძის ფართობის პოვნამდე.
So-ის მნიშვნელობის გამოთვლა უნდა განხორციელდეს თავად ბაზის მახასიათებლებზე დაყრდნობით. მაგალითად, თუ ეს არის სამკუთხედი, მაშინ ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ასე:
So3=1/2aha.
აქ ha არის სამკუთხედის აპოთემა, ანუ მისი სიმაღლე ჩამოყვანილია a ფუძემდე.
თუ ფუძე ოთხკუთხედია, მაშინ ის შეიძლება იყოს ტრაპეცია, პარალელოგრამი, მართკუთხედი ან სრულიად თვითნებური ტიპი. ყველა ამ შემთხვევისთვის უნდა გამოიყენოთ შესაბამისი პლანიმეტრიის ფორმულა ფართობის დასადგენად. მაგალითად, ტრაპეციისთვის ეს ფორმულა ასე გამოიყურება:
So4=1/2(a1+ a2)სთ a.
სადაც ha არის ტრაპეციის სიმაღლე, a1 და a2 არის სიგრძეები მისი პარალელური მხარეები.
უფრო მაღალი რიგის მრავალკუთხედების ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა გაყოთ ისინი მარტივ ფორმებად (სამკუთხედები, ოთხკუთხედები) და გამოთვალოთ ამ უკანასკნელის ფართობების ჯამი.
დახრილი პრიზმის მოცულობა
ეს არის ყველაზე რთული შემთხვევა პრიზმის მოცულობის გამოსათვლელად. ასევე გამოიყენება ასეთი ფიგურების ზოგადი ფორმულა:
V=Soსთ.
თუმცა, ფუძის ფართობის პოვნის სირთულეს, რომელიც წარმოადგენს მრავალკუთხედის თვითნებურ ტიპს, ემატება ფიგურის სიმაღლის განსაზღვრის პრობლემა. ის ყოველთვის ნაკლებია გვერდითი კიდის სიგრძეზე დახრილ პრიზმაში.
ამ სიმაღლის პოვნა ყველაზე მარტივი გზაა, თუ იცით ფიგურის რომელიმე კუთხე (ბრტყელი ან ორმხრივი). თუ ასეთი კუთხეა მოცემული, მაშინ უნდა გამოვიყენოთ პრიზმის შიგნით მართკუთხა სამკუთხედის ასაგებად, რომელიც შეიცავდეს h სიმაღლეს, როგორც ერთ-ერთ მხარეს და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების და პითაგორას თეორემის გამოყენებით ვიპოვოთ მნიშვნელობა h..
გეომეტრიული მოცულობის პრობლემა
მოცემულია რეგულარული პრიზმა სამკუთხა ფუძით, რომლის სიმაღლეა 14 სმ და გვერდის სიგრძე 5 სმ. რა არის სამკუთხა პრიზმის მოცულობა?
ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სწორ ფიგურაზე, ჩვენ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ ცნობილი ფორმულა. ჩვენ გვაქვს:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 სმ3.
სამკუთხა პრიზმა საკმაოდ სიმეტრიული ფიგურაა, რომლის სახითაც ხშირად კეთდება სხვადასხვა არქიტექტურული ნაგებობა. ეს მინის პრიზმა გამოიყენება ოპტიკაში.
