სივრცეში ფიგურების განხილვისას ხშირად წარმოიქმნება პრობლემები მათი ზედაპირის ფართობის განსაზღვრისას. ერთ-ერთი ასეთი ფიგურაა კონუსი. განვიხილოთ სტატიაში რა არის კონუსის გვერდითი ზედაპირი მრგვალი ფუძით, ასევე წაჭრილი კონუსით.
კონუსი მრგვალი ფუძით
კონუსის გვერდითი ზედაპირის განხილვის დაწყებამდე ჩვენ ვაჩვენებთ როგორი ფიგურაა და როგორ მივიღოთ იგი გეომეტრიული მეთოდების გამოყენებით.
აიღეთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC, სადაც AB და AC არის ფეხები. მოდით დავდოთ ეს სამკუთხედი AC ფეხზე და მოვატრიალოთ ის AB ფეხის გარშემო. შედეგად, AC და BC მხარეები აღწერს ქვემოთ ნაჩვენები ფიგურის ორ ზედაპირს.
ბრუნვით მიღებულ ფიგურას მრგვალი სწორი კონუსი ეწოდება. ის მრგვალია, რადგან მისი ფუძე არის წრე, და სწორი, რადგან ფიგურის ზემოდან გამოყვანილი პერპენდიკულარი (პუნქტი B) კვეთს წრეს მის ცენტრში. ამ პერპენდიკულარის სიგრძეს სიმაღლე ეწოდება. ცხადია, ის უდრის AB ფეხის.სიმაღლე ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო h.
სიმაღლის გარდა, განხილული კონუსი აღწერილია კიდევ ორი წრფივი მახასიათებლით:
- წარმომქმნელი, ან გენერატორი (ჰიპოტენუზა BC);
- ბაზის რადიუსი (ფეხი AC).
რადიუსი აღინიშნება ასო r-ით, ხოლო გენერატორის ატრიქსი გ-ით. შემდეგ, პითაგორას თეორემის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ჩამოვწეროთ განსახილველი ფიგურისთვის მნიშვნელოვანი ტოლობა:
g2=h2+ r2
კონუსური ზედაპირი
ყველა გენერატრიკის მთლიანობა ქმნის კონუსის კონუსურ ან გვერდით ზედაპირს. გარეგნულად ძნელია იმის თქმა, რომელ ბრტყელ ფიგურას შეესაბამება. ეს უკანასკნელი მნიშვნელოვანია იცოდეთ კონუსური ზედაპირის ფართობის განსაზღვრისას. ამ პრობლემის გადასაჭრელად გამოიყენება sweep მეთოდი. იგი შედგება შემდეგში: ზედაპირი გონებრივად იჭრება თვითნებური გენერატრიქსის გასწვრივ და შემდეგ იშლება სიბრტყეზე. სვიპის მიღების ამ მეთოდით ყალიბდება შემდეგი ბრტყელი ფიგურა.
როგორც შეიძლება მიხვდეთ, წრე შეესაბამება ფუძეს, მაგრამ წრიული სექტორი არის კონუსური ზედაპირი, რომლის ფართობიც გვაინტერესებს. სექტორი შემოსაზღვრულია ორი გენერატრიკით და რკალით. ამ უკანასკნელის სიგრძე ზუსტად უდრის ფუძის გარშემოწერილობის პერიმეტრს (სიგრძეს). ეს მახასიათებლები ცალსახად განსაზღვრავს წრიული სექტორის ყველა თვისებას. ჩვენ არ მივცემთ შუალედურ მათემატიკურ გამოთვლებს, მაგრამ დაუყოვნებლივ ჩავწერთ საბოლოო ფორმულას, რომლის გამოყენებითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ფორმულა არის:
Sb=pigr
კონუსური ზედაპირის ფართობი Sb უდრის ორი პარამეტრისა და Pi.
ნამრავლს.
შეჭრილი კონუსი და მისი ზედაპირი
თუ ავიღებთ ჩვეულებრივ კონუსს და მის ზედა ნაწილს პარალელური სიბრტყით მოვწყვეტთ, დარჩენილი ფიგურა იქნება შეკვეცილი კონუსი. მისი გვერდითი ზედაპირი შემოიფარგლება ორი მრგვალი ფუძით. მათი რადიუსი ავღნიშნოთ როგორც R და r. ფიგურის სიმაღლეს აღვნიშნავთ h-ით, გენერატრიქსს კი g-ით. ქვემოთ მოცემულია ქაღალდის ამონაკვეთი ამ ფიგურისთვის.
ჩანს, რომ გვერდითი ზედაპირი აღარ არის წრიული სექტორი, ის უფრო მცირეა ფართობით, ვინაიდან მისგან ცენტრალური ნაწილი იყო მოწყვეტილი. განვითარება შემოიფარგლება ოთხი ხაზით, მათგან ორი არის სწორი ხაზის სეგმენტები-გენერატორები, დანარჩენი ორი არის რკალი შეკვეცილი კონუსის ფუძეების შესაბამისი წრეების სიგრძით.
გვერდითი ზედაპირი Sbგამოითვლება შემდეგნაირად:
Sb=pig(r + R)
გენერატრიქსი, რადიუსი და სიმაღლე დაკავშირებულია შემდეგი ტოლობით:
g2=h2+ (R - r)2
ფიგურების ფართობების ტოლობის პრობლემა
მოცემულია კონუსი 20 სმ სიმაღლით და ფუძის რადიუსით 8 სმ. აუცილებელია ვიპოვოთ შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე, რომლის გვერდითი ზედაპირიც იგივე ფართობი ექნება, რაც ამ კონუსს. ამოჭრილი ფიგურა აგებულია იმავე ძირზე, ხოლო ზედა ფუძის რადიუსი 3 სმ.
პირველ რიგში, ჩამოვწეროთ კონუსისა და შეკვეცილი ფიგურის ფართობების ტოლობის პირობა. ჩვენ გვაქვს:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
ახლა დავწეროთ გამონათქვამები თითოეული ფორმის გენერატრისთვის:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
შეცვალეთ g1 და g2 ფორმულაში თანაბარი ფართობისა და მარცხენა და მარჯვენა გვერდების კვადრატში, მივიღებთ:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
სად მივიღებთ გამოხატვას h2:
სთ2=√(R2(R2+ სთ 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
ჩვენ არ გავამარტივებთ ამ თანასწორობას, არამედ უბრალოდ ჩავანაცვლებთ პირობით ცნობილ მონაცემებს:
სთ2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 სმ
ამგვარად, ფიგურების გვერდითი ზედაპირების ფართობების გასათანაბრებლად, ჩამოჭრილ კონუსს უნდა ჰქონდეს პარამეტრები: R=8 სმ, r=3 სმ, h2≈ 14, 85 სმ.
