ფუნქცია და მისი მახასიათებლების შესწავლა თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი თავია. ნებისმიერი ფუნქციის მთავარი კომპონენტია გრაფიკები, რომლებიც ასახავს არა მხოლოდ მის თვისებებს, არამედ ამ ფუნქციის წარმოებულების პარამეტრებს. მოდით შევხედოთ ამ რთულ თემას. რა არის საუკეთესო გზა ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულების მოსაძებნად?
ფუნქცია: განმარტება
ნებისმიერი ცვლადი, რომელიც გარკვეულწილად დამოკიდებულია სხვა მნიშვნელობის მნიშვნელობებზე, შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია. მაგალითად, ფუნქცია f(x2) არის კვადრატული და განსაზღვრავს მნიშვნელობებს მთელი x სიმრავლისთვის. ვთქვათ, რომ x=9, მაშინ ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელობა იქნება 92=81.
ფუნქციები მრავალი განსხვავებული ტიპისაა: ლოგიკური, ვექტორული, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, რიცხვითი და სხვა. მათ შესწავლაში მონაწილეობდნენ ისეთი გამოჩენილი გონება, როგორიცაა ლაკრუა, ლაგრანჟი, ლაიბნიცი და ბერნული. მათი ნაწერები ფუნქციების შესწავლის თანამედროვე გზების საყრდენს წარმოადგენს. მინიმალური ქულების პოვნამდე ძალიან მნიშვნელოვანია ფუნქციის და მისი წარმოებულის მნიშვნელობის გაგება.
წარმოებული და მისი როლი
ყველა ფუნქცია შეყვანილიამათი ცვლადი მნიშვნელობების მიხედვით, რაც ნიშნავს, რომ მათ შეუძლიათ შეცვალონ თავიანთი მნიშვნელობა ნებისმიერ დროს. გრაფიკზე, ეს იქნება გამოსახული, როგორც მრუდი, რომელიც ან ეშვება ან იზრდება y-ღერძის გასწვრივ (ეს არის "y" რიცხვების მთელი ნაკრები გრაფის ვერტიკალის გასწვრივ). ასე რომ, ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმალური წერტილის განსაზღვრა მხოლოდ ამ "რხევებს" უკავშირდება. მოდით ავხსნათ რა არის ეს ურთიერთობა.
ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებული შედგენილია გრაფიკზე, რათა შევისწავლოთ მისი ძირითადი მახასიათებლები და გამოვთვალოთ რამდენად სწრაფად იცვლება ფუნქცია (ანუ ცვლის მის მნიშვნელობას ცვლადის "x"-ის მიხედვით). იმ მომენტში, როდესაც ფუნქცია იზრდება, მისი წარმოებულის გრაფიკიც გაიზრდება, მაგრამ ნებისმიერ წამში ფუნქციამ შეიძლება დაიწყოს შემცირება, შემდეგ კი წარმოებულის გრაფიკი შემცირდეს. იმ წერტილებს, რომლებზეც წარმოებული მიდის მინუსიდან პლუსზე, ეწოდება მინიმალური ქულები. იმისათვის, რომ იცოდეთ როგორ იპოვოთ მინიმალური ქულები, უკეთ უნდა გესმოდეთ წარმოებულის ცნება.
როგორ გამოვთვალოთ წარმოებული?
ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრა და გამოთვლა გულისხმობს რამდენიმე ცნებას დიფერენციალური გამოთვლებიდან. ზოგადად, წარმოებულის განმარტება შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: ეს არის მნიშვნელობა, რომელიც აჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს.
მათემატიკური გზა მისი დასადგენად ბევრი სტუდენტისთვის რთული ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი გაცილებით მარტივია. თქვენ უბრალოდ უნდა მიჰყვეთსტანდარტული გეგმა ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად. ქვემოთ აღწერილია, თუ როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი დიფერენციაციის წესების გამოყენებისა და წარმოებულების ცხრილის დამახსოვრების გარეშე.
- შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფუნქციის წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით. ამისათვის თქვენ უნდა გამოსახოთ თავად ფუნქცია, შემდეგ აიღოთ მასზე ერთი წერტილი (პუნქტი A ნახ.). A წერტილში დახაზეთ ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკაზე. აბსცისის ღერძი და ტანგენსი ქმნიან კუთხეს a. იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ რამდენად სწრაფად იზრდება ფუნქცია, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამ კუთხის ტანგენსი a.
- გამოდის, რომ კუთხის ტანგენსი ტანგენტსა და x-ღერძის მიმართულებას შორის არის ფუნქციის წარმოებული მცირე ფართობზე A წერტილით. ეს მეთოდი ითვლება წარმოებულის განსაზღვრის გეომეტრიულ გზად..
ფუნქციის კვლევის მეთოდები
მათემატიკის სასკოლო სასწავლო გეგმაში ფუნქციის მინიმალური წერტილის პოვნა შესაძლებელია ორი გზით. ჩვენ უკვე გავაანალიზეთ პირველი მეთოდი გრაფიკის გამოყენებით, მაგრამ როგორ განვსაზღვროთ წარმოებულის რიცხვითი მნიშვნელობა? ამისათვის თქვენ უნდა ისწავლოთ რამდენიმე ფორმულა, რომელიც აღწერს წარმოებულის თვისებებს და დაგეხმარებათ გადაიყვანოთ ცვლადები, როგორიცაა "x" რიცხვებად. შემდეგი მეთოდი უნივერსალურია, ამიტომ მისი გამოყენება შესაძლებელია თითქმის ყველა სახის ფუნქციაზე (როგორც გეომეტრიული, ასევე ლოგარითმული).
- აუცილებელია ფუნქციის გათანაბრება წარმოებულ ფუნქციასთან და შემდეგ გამოთქმის გამარტივება წესების გამოყენებითდიფერენციაცია.
- გაყოფა ნულზე).
- ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ფუნქციის საწყისი ფორმა მარტივ განტოლებად, მთელი გამოსახულების ტოლფასი ნულამდე. მაგალითად, თუ ფუნქცია ასე გამოიყურებოდა: f(x)=2x3+38x, მაშინ დიფერენციაციის წესების მიხედვით, მისი წარმოებული უდრის f'(x)=3x. 2 +1. შემდეგ ამ გამოსახულებას ვაქცევთ შემდეგი ფორმის განტოლებად: 3x2+1=0.
- განტოლების ამოხსნის და "x" წერტილების პოვნის შემდეგ ისინი უნდა დახატოთ x ღერძზე და დაადგინოთ, წარმოებული ამ უბნებში მონიშნულ წერტილებს შორის დადებითია თუ უარყოფითი. აღნიშვნის შემდეგ გაირკვევა, რომელ მომენტში იწყებს ფუნქცია კლებას, ანუ ცვლის ნიშანს მინუსიდან საპირისპიროზე. სწორედ ამ გზით შეგიძლიათ იპოვოთ როგორც მინიმალური, ასევე მაქსიმალური ქულები.
დიფერენცირების წესები
ფუნქციის და მისი წარმოებულის შესწავლის ყველაზე ძირითადი ნაწილი დიფერენცირების წესების ცოდნაა. მხოლოდ მათი დახმარებით არის შესაძლებელი უხერხული გამონათქვამებისა და დიდი რთული ფუნქციების გარდაქმნა. მოდით გავეცნოთ მათ, საკმაოდ ბევრია, მაგრამ ისინი ძალიან მარტივია როგორც სიმძლავრის, ისე ლოგარითმული ფუნქციების რეგულარული თვისებების გამო.
- ნებისმიერი მუდმივის წარმოებული არის ნული (f(x)=0). ანუ, წარმოებული f(x)=x5+ x - 160 მიიღებს შემდეგ ფორმას: f' (x)=5x4+1.
- ორი წევრის ჯამის წარმოებული: (f+w)'=f'w + fw'.
- ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული: (logad)'=d/ln ad. ეს ფორმულა ვრცელდება ყველა სახის ლოგარითმზე.
- ხარისხის წარმოებული: (x)'=nxn-1. მაგალითად, (9x2)'=92x=18x.
- სინუსოიდური ფუნქციის წარმოებული: (sin a)'=cos a. თუ a კუთხის sin არის 0,5, მაშინ მისი წარმოებული არის √3/2.
ექსტრემალური ქულები
ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, როგორ ვიპოვოთ მინიმალური ქულები, თუმცა არსებობს ფუნქციის მაქსიმალური ქულების ცნება. თუ მინიმალური აღნიშნავს იმ წერტილებს, რომლებზეც ფუნქცია მიდის მინუს-დან პლუსზე, მაშინ მაქსიმალური წერტილები არის ის წერტილები x-ღერძზე, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული იცვლება პლუსიდან საპირისპიროზე - მინუს.
მაქსიმალური ქულების პოვნა შეგიძლიათ ზემოთ აღწერილი მეთოდის გამოყენებით, მხოლოდ გასათვალისწინებელია, რომ ისინი აღნიშნავენ იმ უბნებს, სადაც ფუნქცია იწყებს კლებას, ანუ წარმოებული იქნება ნულზე ნაკლები.
მათემატიკაში მიღებულია ორივე ცნების განზოგადება, მათი ჩანაცვლება ფრაზით "ექსტრემალური წერტილები". როდესაც დავალება ითხოვს ამ ქულების განსაზღვრას, ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია ამ ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლა და მინიმალური და მაქსიმალური ქულების პოვნა.
