მათემატიკაში მნიშვნელოვანი ცნება არის ფუნქცია. მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ბუნებაში მიმდინარე მრავალი პროცესი, ასახოთ კავშირი გარკვეულ რაოდენობას შორის ფორმულების, ცხრილებისა და სურათების გამოყენებით გრაფიკზე. ამის მაგალითია სხეულზე თხევადი ფენის წნევის დამოკიდებულება ჩაძირვის სიღრმეზე, აჩქარება - ობიექტზე გარკვეული ძალის მოქმედებაზე, ტემპერატურის მატება - გადაცემულ ენერგიაზე და მრავალი სხვა პროცესი. ფუნქციის შესწავლა გულისხმობს გრაფიკის აგებას, მისი თვისებების გარკვევას, ფარგლებსა და მნიშვნელობებს, ზრდისა და შემცირების ინტერვალებს. ამ პროცესში მნიშვნელოვანი წერტილი არის ექსტრემალური წერტილების პოვნა. იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს სწორად და საუბარი გაგრძელდება.
თავად კონცეფციის შესახებ კონკრეტულ მაგალითზე
მედიცინაში, ფუნქციის გრაფიკის შედგენას შეუძლია მიუთითოს დაავადების პროგრესირება პაციენტის სხეულში, ვიზუალურად ასახავს მის მდგომარეობას. დავუშვათ, რომ დრო დღეებში გამოსახულია OX ღერძის გასწვრივ, ხოლო ადამიანის სხეულის ტემპერატურა გამოსახულია OY ღერძის გასწვრივ. ფიგურა ნათლად აჩვენებს, თუ როგორ იზრდება ეს მაჩვენებელი მკვეთრად დაშემდეგ ეცემა. ასევე ადვილია შეამჩნიოთ ცალკეული წერტილები, რომლებიც ასახავს მომენტებს, როდესაც ფუნქცია, ადრე გაზრდილი, იწყებს კლებას და პირიქით. ეს არის უკიდურესი წერტილები, ანუ კრიტიკული მნიშვნელობები (მაქსიმალური და მინიმალური) ამ შემთხვევაში პაციენტის ტემპერატურის, რის შემდეგაც ხდება მისი მდგომარეობის ცვლილებები.
დახრის კუთხე
ადვილია ფიგურიდან იმის დადგენა, თუ როგორ იცვლება ფუნქციის წარმოებული. თუ გრაფიკის სწორი ხაზები დროთა განმავლობაში იზრდება, მაშინ ის დადებითია. და რაც უფრო ციცაბოა ისინი, მით უფრო დიდია წარმოებულის მნიშვნელობა, რადგან იზრდება დახრილობის კუთხე. შემცირების პერიოდებში, ეს მნიშვნელობა იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს, გადადის ნულზე უკიდურეს წერტილებში, ხოლო წარმოებულის გრაფიკი ამ უკანასკნელ შემთხვევაში გაყვანილია OX ღერძის პარალელურად.
ასევე უნდა მოექცნენ ნებისმიერ სხვა პროცესს. მაგრამ ამ კონცეფციის საუკეთესო რამ შეიძლება თქვას სხვადასხვა სხეულების მოძრაობაზე, რაც ნათლად არის ნაჩვენები გრაფიკებზე.
მოძრაობა
ვთქვათ, რომ ზოგიერთი ობიექტი მოძრაობს სწორი ხაზით და თანაბრად იძენს სიჩქარეს. ამ პერიოდში სხეულის კოორდინატების ცვლილება გრაფიკულად წარმოადგენს გარკვეულ მრუდს, რომელსაც მათემატიკოსი პარაბოლის ტოტს უწოდებს. ამავდროულად, ფუნქცია მუდმივად იზრდება, რადგან კოორდინატთა ინდიკატორები ყოველ წამში უფრო და უფრო სწრაფად იცვლება. სიჩქარის გრაფიკი აჩვენებს წარმოებულის ქცევას, რომლის მნიშვნელობაც იზრდება. ეს ნიშნავს, რომ მოძრაობას არ აქვს კრიტიკული წერტილები.
ეს გაგრძელდებოდა განუსაზღვრელი ვადით. მაგრამ თუ სხეული მოულოდნელად გადაწყვეტს შენელებას, შეჩერდით და დაიწყეთ მოძრაობა სხვაშიმიმართულება? ამ შემთხვევაში, კოორდინატთა ინდიკატორები დაიწყებენ შემცირებას. და ფუნქცია გაივლის კრიტიკულ მნიშვნელობას და გადაიქცევა მზარდიდან კლებადზე.
ამ მაგალითში შეგიძლიათ კიდევ ერთხელ გაიგოთ, რომ ფუნქციის გრაფიკის უკიდურესი წერტილები ჩნდება იმ მომენტებში, როდესაც ის წყვეტს ერთფეროვნებას.
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა
ადრე აღწერილინათლად აჩვენა, რომ წარმოებული არსებითად არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. ეს დახვეწა შეიცავს მის ფიზიკურ მნიშვნელობას. ექსტრემალური წერტილები გრაფიკის კრიტიკული უბნებია. მათი გარკვევა და გამოვლენა შესაძლებელია წარმოებულის მნიშვნელობის გამოთვლით, რომელიც გამოდის ნულის ტოლი.
არის კიდევ ერთი ნიშანი, რომელიც საკმარისი პირობაა ექსტრემისთვის. წარმოებული გადახრის ასეთ ადგილებში ცვლის თავის ნიშანს: "+"-დან "-"-მდე მაქსიმუმის რეგიონში და "-"-დან "+"-მდე მინიმალური რეგიონში..
მოძრაობა გრავიტაციის გავლენის ქვეშ
მოდით წარმოვიდგინოთ სხვა სიტუაცია. ბავშვებმა ბურთის თამაში ისე დააგდეს, რომ ჰორიზონტისკენ კუთხით დაიწყო მოძრაობა. საწყის მომენტში ამ ობიექტის სიჩქარე ყველაზე დიდი იყო, მაგრამ გრავიტაციის გავლენით მან დაიწყო კლება და ყოველ წამში იგივე მნიშვნელობით, დაახლოებით 9,8 მ/წმ.2.. ეს არის აჩქარების მნიშვნელობა, რომელიც ხდება დედამიწის გრავიტაციის გავლენის ქვეშ თავისუფალი ვარდნის დროს. მთვარეზე ის დაახლოებით ექვსჯერ პატარა იქნებოდა.
გრაფიკი, რომელიც აღწერს სხეულის მოძრაობას, არის პარაბოლა ტოტებით,ქვევით. როგორ მოვძებნოთ ექსტრემალური წერტილები? ამ შემთხვევაში, ეს არის ფუნქციის წვერო, სადაც სხეულის (ბურთის) სიჩქარე იღებს ნულოვან მნიშვნელობას. ფუნქციის წარმოებული ხდება ნული. ამ შემთხვევაში, მიმართულება და, შესაბამისად, სიჩქარის მნიშვნელობა იცვლება საპირისპიროდ. სხეული ყოველ წამში უფრო და უფრო სწრაფად დაფრინავს ქვემოთ და აჩქარებს იგივე რაოდენობით - 9,8 მ/წმ2..
მეორე წარმოებული
წინა შემთხვევაში სიჩქარის მოდულის გრაფიკი დახატულია სწორი ხაზის სახით. ეს ხაზი ჯერ ქვევით არის მიმართული, რადგან ამ რაოდენობის ღირებულება მუდმივად მცირდება. დროის ერთ-ერთ მომენტში ნულის მიღწევის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის ინდიკატორები იწყებენ ზრდას და სიჩქარის მოდულის გრაფიკული წარმოდგენის მიმართულება მკვეთრად იცვლება. ხაზი ახლა მიმართულია ზემოთ.
სიჩქარე, როგორც კოორდინატის დროის წარმოებული, ასევე აქვს კრიტიკული წერტილი. ამ რეგიონში, ფუნქცია, თავდაპირველად მცირდება, იწყებს ზრდას. ეს არის ფუნქციის წარმოებულის უკიდურესი წერტილის ადგილი. ამ შემთხვევაში, ტანგენსის დახრილობა ხდება ნული. და აჩქარება, როგორც კოორდინატის მეორე წარმოებული დროის მიმართ, ცვლის ნიშანს „-“-დან „+“. და მოძრაობა ერთიანად ნელიდან ერთნაირად აჩქარდება.
აჩქარების სქემა
ახლა განიხილეთ ოთხი სურათი. თითოეული მათგანი აჩვენებს გრაფიკს დროთა განმავლობაში ისეთი ფიზიკური სიდიდის ცვლილების შესახებ, როგორიცაა აჩქარება. "A"-ს შემთხვევაში მისი მნიშვნელობა რჩება დადებითი და მუდმივი. ეს ნიშნავს, რომ სხეულის სიჩქარე, ისევე როგორც მისი კოორდინატი, მუდმივად იზრდება. Თუწარმოიდგინეთ, რომ ობიექტი ამ გზით მოძრაობს უსასრულოდ დიდი ხნის განმავლობაში, დროზე კოორდინატის დამოკიდებულების ამსახველი ფუნქცია მუდმივად იზრდება. აქედან გამომდინარეობს, რომ მას არ აქვს კრიტიკული რეგიონები. წარმოებულის გრაფიკზე ასევე არ არის უკიდურესი წერტილები, ანუ წრფივი ცვალებადი სიჩქარე.
იგივე ეხება „B“შემთხვევას დადებითი და მუდმივად მზარდი აჩქარებით. მართალია, კოორდინატებისა და სიჩქარის ნახაზები აქ უფრო რთული იქნება.
როცა აჩქარება ნულისკენ მიისწრაფვის
სურათი „B“-ს ნახვისას ხედავთ სრულიად განსხვავებულ სურათს, რომელიც ახასიათებს სხეულის მოძრაობას. მისი სიჩქარე გრაფიკულად იქნება გამოსახული პარაბოლის სახით, ტოტებით მიმართული ქვემოთ. თუ გავაგრძელებთ ხაზს, რომელიც აღწერს აჩქარების ცვლილებას მანამ, სანამ ის გადაკვეთს OX ღერძს და შემდგომ, შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, რომ ამ კრიტიკულ მნიშვნელობამდე, სადაც აჩქარება აღმოჩნდება ნულის ტოლი, ობიექტის სიჩქარე გაიზრდება. უფრო და უფრო ნელა. კოორდინატთა ფუნქციის წარმოებულის უკიდურესი წერტილი იქნება პარაბოლის ზევით, რის შემდეგაც სხეული რადიკალურად შეცვლის მოძრაობის ხასიათს და დაიწყებს მოძრაობას სხვა მიმართულებით.
ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, "G", მოძრაობის ბუნების ზუსტად განსაზღვრა შეუძლებელია. აქ მხოლოდ ის ვიცით, რომ არ არსებობს აჩქარება გარკვეული პერიოდის განმავლობაში. ეს ნიშნავს, რომ ობიექტი შეიძლება დარჩეს ადგილზე ან მოძრაობა ხდება მუდმივი სიჩქარით.
კოორდინაციის დამატების ამოცანა
მოდით გადავიდეთ დავალებებზე, რომლებიც ხშირად გვხვდება სკოლაში ალგებრის შესწავლისას და შემოთავაზებულიამომზადება გამოცდისთვის. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს. საჭიროა ექსტრემალური ქულების ჯამის გამოთვლა.
მოდით გავაკეთოთ ეს y-ღერძისთვის კრიტიკული რეგიონების კოორდინატების განსაზღვრით, სადაც შეინიშნება ფუნქციის მახასიათებლების ცვლილება. მარტივად რომ ვთქვათ, ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობებს x-ღერძის გასწვრივ გადახვევის წერტილებისთვის და შემდეგ ვაგრძელებთ მიღებული ტერმინების დამატებას. გრაფიკის მიხედვით აშკარაა, რომ ისინი იღებენ შემდეგ მნიშვნელობებს: -8; -7; -5; -3; -2; ერთი; 3. ეს ემატება -21-ს, რაც არის პასუხი.
ოპტიმალური გადაწყვეტა
არ არის საჭირო იმის ახსნა, თუ რამდენად მნიშვნელოვანი შეიძლება იყოს ოპტიმალური ამოხსნის არჩევანი პრაქტიკული ამოცანების შესრულებაში. ყოველივე ამის შემდეგ, მიზნის მისაღწევად მრავალი გზა არსებობს და საუკეთესო გამოსავალი, როგორც წესი, მხოლოდ ერთია. ეს უკიდურესად აუცილებელია, მაგალითად, გემების, კოსმოსური ხომალდების და თვითმფრინავების, არქიტექტურული სტრუქტურების დაპროექტებისას, რათა იპოვოთ ამ ხელოვნური ობიექტების ოპტიმალური ფორმა.
სატრანსპორტო საშუალებების სიჩქარე დიდწილად დამოკიდებულია იმ წინააღმდეგობის კომპეტენტურ მინიმიზაციაზე, რომელსაც ისინი განიცდიან წყალსა და ჰაერში გადაადგილებისას, გრავიტაციული ძალების გავლენის ქვეშ წარმოქმნილი გადატვირთვისაგან და მრავალი სხვა ინდიკატორის შედეგად. ზღვაზე მყოფ გემს სჭირდება ისეთი თვისებები, როგორიცაა სტაბილურობა ქარიშხლის დროს; მდინარის გემისთვის მინიმალური ნაკადი მნიშვნელოვანია. ოპტიმალური დიზაინის გაანგარიშებისას, გრაფიკის უკიდურეს წერტილებს შეუძლიათ ვიზუალურად მისცეს იდეა რთული პრობლემის საუკეთესო გადაწყვეტის შესახებ. ასეთი დავალებები ხშირიაწყდება ეკონომიკაში, ეკონომიკურ სფეროებში, ბევრ სხვა ცხოვრებისეულ სიტუაციაში.
ძველი ისტორიიდან
უკიდურესი პრობლემები ძველ ბრძენკაცებსაც კი ეჭირათ. ბერძენმა მეცნიერებმა მათემატიკური გამოთვლებით წარმატებით ამოიცნეს ფართობებისა და მოცულობების საიდუმლო. მათ პირველებმა გაიგეს, რომ ერთი და იგივე პერიმეტრის მქონე სხვადასხვა ფიგურების სიბრტყეზე წრეს ყოველთვის აქვს ყველაზე დიდი ფართობი. ანალოგიურად, ბურთი დაჯილდოებულია მაქსიმალური მოცულობით სივრცეში იმავე ზედაპირის მქონე ობიექტებს შორის. ისეთი ცნობილი პიროვნებები, როგორებიც იყვნენ არქიმედესი, ევკლიდე, არისტოტელე, აპოლონიუსი, თავი მიუძღვნეს ამგვარი პრობლემების გადაჭრას. ჰერონმა ძალიან კარგად მიაღწია ექსტრემალური წერტილების პოვნას, რომელმაც გამოთვლებს მიმართა და ააშენა გენიალური მოწყობილობები. მათ შორის იყო ავტომატური მანქანები, რომლებიც მოძრაობდნენ ორთქლის, ტუმბოების და ტურბინების საშუალებით, რომლებიც მუშაობენ იმავე პრინციპით.
კართაგენის მშენებლობა
არსებობს ლეგენდა, რომლის სიუჟეტი ერთ-ერთი უკიდურესი პრობლემის გადაჭრას ეფუძნება. ფინიკიელი პრინცესას მიერ გამოჩენილი საქმიანი მიდგომის შედეგი, რომელმაც დახმარებისთვის ბრძენებს მიმართა, იყო კართაგენის მშენებლობა. ამ უძველესი და ცნობილი ქალაქის მიწის ნაკვეთი დიდოს (ასე ერქვა მმართველს) ერთ-ერთი აფრიკული ტომის ლიდერმა აჩუქა. გადანაწილების ფართობი მას თავიდან არც თუ ისე დიდი ჩანდა, რადგან ხელშეკრულების თანახმად, იგი ოქსიდით უნდა ყოფილიყო დაფარული. მაგრამ პრინცესამ თავის ჯარისკაცებს უბრძანა, თხელ ზოლებად მოეჭრათ იგი და მათგან ქამარი გაეკეთებინათ. იმდენად გრძელი აღმოჩნდა, რომ დაფარა საიტი,სადაც მთელი ქალაქი ჯდება.
კალკულუსის წარმოშობა
და ახლა მოდით გადავიდეთ უძველესი დროიდან უფრო გვიანდელ ეპოქაზე. საინტერესოა, რომ მე-17 საუკუნეში კეპლერს ღვინის გამყიდველთან შეხვედრამ უბიძგა მათემატიკური ანალიზის საფუძვლების გაგებაზე. ვაჭარი იმდენად კარგად ერკვეოდა თავის პროფესიაში, რომ ადვილად ადგენდა კასრში სასმელის მოცულობას მასში რკინის ტურნიკის უბრალოდ ჩაშვებით. ასეთ ცნობისმოყვარეობაზე ფიქრით, ცნობილმა მეცნიერმა მოახერხა ამ დილემის თავისთვის გადაჭრა. ირკვევა, რომ იმდროინდელმა ოსტატურმა კუპერებმა ჭურჭლის დამზადება ისე მიიღეს, რომ სამაგრი რგოლების გარშემოწერილობის გარკვეულ სიმაღლეზე და რადიუსზე მათ მაქსიმალური ტევადობა ექნებოდათ.
ეს იყო კეპლერის მიზეზი შემდგომი დაფიქრებისთვის. ბოჩარები ოპტიმალურ გადაწყვეტამდე მივიდნენ ხანგრძლივი ძიებით, შეცდომებით და ახალი მცდელობებით, თავიანთი გამოცდილების გადაცემით თაობიდან თაობას. მაგრამ კეპლერს სურდა პროცესის დაჩქარება და მათემატიკური გამოთვლების საშუალებით უმოკლეს დროში ესწავლა იგივე. მისი ყველა განვითარება, რომელიც კოლეგებმა აირჩიეს, გადაიქცა ფერმასა და ნიუტონის ახლა უკვე ცნობილ თეორემებად - ლაიბნიცი.
მაქსიმალური ფართობის პრობლემა
წარმოვიდგინოთ, რომ გვაქვს მავთული, რომლის სიგრძეა 50 სმ. როგორ გავაკეთოთ მისგან მართკუთხედი უდიდესი ფართობით?
გადაწყვეტილების დაწყებისას მარტივი და ცნობილი ჭეშმარიტებიდან უნდა წამოვიდეს. გასაგებია, რომ ჩვენი ფიგურის პერიმეტრი 50 სმ იქნება, ის ასევე შედგება ორივე მხარის სიგრძისგან ორჯერ. ეს ნიშნავს, რომ ერთი მათგანის "X" აღნიშვნის შემდეგ, მეორე შეიძლება გამოიხატოს როგორც (25 - X).
აქედან მივიღებთფართობი ტოლია X (25 - X). ეს გამოთქმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფუნქცია, რომელიც იღებს ბევრ მნიშვნელობას. პრობლემის გადაჭრა მოითხოვს მათი მაქსიმუმის პოვნას, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გაარკვიოთ ექსტრემალური წერტილები.
ამისთვის, ჩვენ ვიპოვით პირველ წარმოებულს და ვატოლებთ მას ნულს. შედეგი არის მარტივი განტოლება: 25 - 2X=0.
მისგან ვიგებთ, რომ ერთ-ერთი მხარე X=12, 5.
ამიტომ, სხვა: 25 – 12, 5=12, 5.
გამოდის, რომ პრობლემის გადაწყვეტა იქნება კვადრატი 12,5 სმ გვერდით.
როგორ მოვძებნოთ მაქსიმალური სიჩქარე
მოდი განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. წარმოიდგინეთ, რომ არის სხეული, რომლის სწორხაზოვანი მოძრაობა აღწერილია S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, სადაც მანძილი გავლილი გამოიხატება მეტრებში, ხოლო დრო წამებში. საჭიროა მაქსიმალური სიჩქარის პოვნა. Როგორ გავაკეთო ეს? გადმოწერილი იპოვე სიჩქარე, ანუ პირველი წარმოებული.
ვიღებთ განტოლებას: V=- 3t2 + 18t – 24. ახლა, პრობლემის გადასაჭრელად, კვლავ უნდა ვიპოვოთ უკიდურესი წერტილები. ეს უნდა გაკეთდეს ისევე, როგორც წინა ამოცანაში. იპოვეთ სიჩქარის პირველი წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს.
ვიღებთ: - 6t + 18=0. აქედან გამომდინარე t=3 წმ. ეს არის დრო, როდესაც სხეულის სიჩქარე იღებს კრიტიკულ მნიშვნელობას. მიღებულ მონაცემებს ვცვლით სიჩქარის განტოლებაში და ვიღებთ: V=3 მ/წმ.
მაგრამ როგორ გავიგოთ, რომ ეს არის ზუსტად მაქსიმალური სიჩქარე, რადგან ფუნქციის კრიტიკული წერტილები შეიძლება იყოს მისი მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობები? შესამოწმებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მეორესიჩქარის წარმოებული. იგი გამოიხატება როგორც რიცხვი 6 მინუს ნიშნით. ეს ნიშნავს, რომ ნაპოვნი წერტილი არის მაქსიმალური. ხოლო მეორე წარმოებულის დადებითი მნიშვნელობის შემთხვევაში იქნება მინიმუმი. ასე რომ, ნაპოვნი გამოსავალი სწორი აღმოჩნდა.
მაგალითად მოცემული ამოცანები მხოლოდ იმ ამოცანების ნაწილია, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია ფუნქციის უკიდურესი წერტილების პოვნის საშუალებით. სინამდვილეში, კიდევ ბევრია. და ასეთი ცოდნა შეუზღუდავ შესაძლებლობებს უხსნის კაცობრიობის ცივილიზაციას.
