ფუნქციების და მათი გრაფიკების შესწავლა არის თემა, რომელსაც განსაკუთრებული ყურადღება ეთმობა საშუალო სკოლის სასწავლო გეგმის ფარგლებში. მათემატიკური ანალიზის ზოგიერთი საფუძვლები - დიფერენციაცია - შედის მათემატიკაში გამოცდის პროფილის დონეზე. ზოგიერთ სკოლის მოსწავლეს აქვს პრობლემები ამ თემაზე, რადგან აბნევს ფუნქციის და წარმოებულის გრაფიკებს, ასევე ავიწყდება ალგორითმები. ამ სტატიაში განხილული იქნება ამოცანების ძირითადი ტიპები და მათი გადაჭრის გზები.
რა არის ფუნქციის მნიშვნელობა?
მათემატიკური ფუნქცია სპეციალური განტოლებაა. ის ადგენს კავშირს რიცხვებს შორის. ფუნქცია დამოკიდებულია არგუმენტის მნიშვნელობაზე.
ფუნქციის მნიშვნელობა გამოითვლება მოცემული ფორმულის მიხედვით. ამისათვის შეცვალეთ ნებისმიერი არგუმენტი, რომელიც შეესაბამება ამ ფორმულაში მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონს x-ის ნაცვლად და შეასრულეთ საჭირო მათემატიკური ოპერაციები. რა?
როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა,იყენებთ გრაფიკის ფუნქციას?
არგუმენტზე ფუნქციის დამოკიდებულების გრაფიკულ გამოსახულებას ფუნქციის გრაფიკი ეწოდება. იგი აგებულია სიბრტყეზე გარკვეული ერთეული სეგმენტით, სადაც ცვლადის ან არგუმენტის მნიშვნელობა გამოსახულია ჰორიზონტალური აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობა ვერტიკალური ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.
რაც მეტია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით უფრო მარჯვნივ დევს იგი გრაფიკზე. და რაც უფრო დიდია თავად ფუნქციის მნიშვნელობა, მით უფრო მაღალია წერტილი.
რას ამბობს ეს? ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა იქნება წერტილი, რომელიც ყველაზე დაბალია გრაფიკზე. იმისათვის, რომ იპოვოთ იგი დიაგრამის სეგმენტზე, გჭირდებათ:
1) იპოვეთ და მონიშნეთ ამ სეგმენტის ბოლოები.
2) ვიზუალურად განსაზღვრეთ, რომელი წერტილია ამ სეგმენტზე ყველაზე დაბალი.
3) პასუხად ჩაწერეთ მისი რიცხვითი მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს y-ღერძზე წერტილის პროექციით.
ექსტრემალური ქულები წარმოებული სქემაზე. სად ვნახო?
თუმცა, ამოცანების ამოხსნისას, ზოგჯერ გრაფიკი მოცემულია არა ფუნქციის, არამედ მისი წარმოებულის. შემთხვევითი სულელური შეცდომის თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია ყურადღებით წაიკითხოთ პირობები, რადგან ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ სად უნდა მოძებნოთ ექსტრემალური ქულები.
ასე რომ, წარმოებული არის ფუნქციის გაზრდის მყისიერი სიჩქარე. გეომეტრიული განსაზღვრების მიხედვით წარმოებული შეესაბამება ტანგენტის დახრილობას, რომელიც პირდაპირ არის დახატული მოცემულ წერტილზე.
ცნობილია, რომ უკიდურეს წერტილებში ტანგენსი ოქსის ღერძის პარალელურია.ეს ნიშნავს, რომ მისი დახრილობა არის 0.
აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ უკიდურეს წერტილებში წარმოებული დევს x-ღერძზე ან ქრება. მაგრამ გარდა ამისა, ამ წერტილებში ფუნქცია იცვლის მიმართულებას. ანუ გაზრდის პერიოდის შემდეგ ის იწყებს კლებას და წარმოებული, შესაბამისად, დადებითიდან უარყოფითზე იცვლება. ან პირიქით.
თუ წარმოებული ხდება დადებითიდან უარყოფითი, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. თუ უარყოფითიდან ხდება დადებითი - მინიმალური ქულა.
მნიშვნელოვანია: თუ თქვენ გჭირდებათ დავალებაში მინიმალური ან მაქსიმალური წერტილის მითითება, მაშინ საპასუხოდ უნდა დაწეროთ შესაბამისი მნიშვნელობა აბსცისის ღერძის გასწვრივ. მაგრამ თუ თქვენ გჭირდებათ ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, მაშინ ჯერ უნდა ჩაანაცვლოთ არგუმენტის შესაბამისი მნიშვნელობა ფუნქციაში და გამოთვალოთ იგი.
როგორ მოვძებნოთ ექსტრემალური წერტილები წარმოებულის გამოყენებით?
განხილული მაგალითები ძირითადად ეხება გამოცდის მე-7 დავალებას, რომელიც გულისხმობს წარმოებულის ან ანტიდერივატივის გრაფიკთან მუშაობას. მაგრამ USE-ის მე-12 დავალება - სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა (ზოგჯერ უდიდესი) - შესრულებულია ყოველგვარი ნახაზის გარეშე და მოითხოვს მათემატიკური ანალიზის საბაზისო უნარებს.
მის შესასრულებლად, თქვენ უნდა შეძლოთ ექსტრემალური წერტილების პოვნა წარმოებულის გამოყენებით. მათი პოვნის ალგორითმი ასეთია:
- იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
- დააყენეთ ნულზე.
- იპოვეთ განტოლების ფესვები.
- შეამოწმეთ, არის თუ არა მიღებული ქულები ექსტრემალური ან გადახრის წერტილები.
ამისთვის, დახაზეთ დიაგრამა და გააგრძელეთშედეგად მიღებული ინტერვალები განსაზღვრავს წარმოებულის ნიშნებს სეგმენტების კუთვნილი რიცხვების წარმოებულში ჩანაცვლებით. თუ განტოლების ამოხსნისას თქვენ მიიღებთ ორმაგი სიმრავლის ფესვებს, ეს არის დახრის წერტილები.
თეორემების გამოყენებით დაადგინეთ რომელი ქულებია მინიმალური და რომელი მაქსიმალური
გამოთვალეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა წარმოებულის გამოყენებით
თუმცა, ყველა ამ მოქმედების შესრულების შემდეგ, ჩვენ ვიპოვით x-ღერძის გასწვრივ მინიმალური და მაქსიმალური წერტილების მნიშვნელობებს. მაგრამ როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე?
რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც შეესაბამება ფუნქციას კონკრეტულ წერტილში? თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ არგუმენტის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში.
მინიმალური და მაქსიმალური წერტილები შეესაბამება სეგმენტზე ფუნქციის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობას. ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფუნქცია მიღებული x მნიშვნელობების გამოყენებით.
მნიშვნელოვანია! თუ დავალება მოითხოვს მინიმალური ან მაქსიმალური წერტილის მითითებას, მაშინ საპასუხოდ უნდა დაწეროთ შესაბამისი მნიშვნელობა x-ღერძის გასწვრივ. მაგრამ თუ თქვენ გჭირდებათ ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, მაშინ ჯერ უნდა ჩაანაცვლოთ არგუმენტის შესაბამისი მნიშვნელობა ფუნქციაში და შეასრულოთ საჭირო მათემატიკური მოქმედებები.
რა უნდა გავაკეთო, თუ ამ სეგმენტზე არ არის დაბალი?
მაგრამ როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე უკიდურესი წერტილების გარეშე?
ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია მასზე მონოტონურად მცირდება ან იზრდება. შემდეგ თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ ამ სეგმენტის უკიდურესი წერტილების მნიშვნელობა ფუნქციაში. არსებობს ორი გზა.
1) გათვლილიწარმოებული და ინტერვალები, რომლებზეც ის დადებითია თუ უარყოფითი, დავასკვნათ, ფუნქცია მცირდება თუ იზრდება მოცემულ სეგმენტზე.
მათ შესაბამისად, ჩაანაცვლეთ არგუმენტის მეტი ან ნაკლები მნიშვნელობა ფუნქციაში.
2) უბრალოდ ჩაანაცვლეთ ორივე წერტილი ფუნქციაში და შეადარეთ მიღებული ფუნქციის მნიშვნელობები.
რომელ ამოცანებში წარმოებულის პოვნა არჩევითია
როგორც წესი, USE დავალებაში, თქვენ მაინც გჭირდებათ წარმოებულის პოვნა. არსებობს მხოლოდ რამდენიმე გამონაკლისი.
1) პარაბოლა.
პარაბოლის წვერო ნაპოვნია ფორმულით.
თუ < 0, მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით. და მისი პიკი არის მაქსიმალური წერტილი.
თუ > 0, მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, წვერო არის მინიმალური წერტილი.
პარაბოლას წვეროს წერტილის გამოთვლის შემდეგ, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მისი მნიშვნელობა ფუნქციაში და გამოთვალოთ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობა.
2) ფუნქცია y=tg x. ან y=ctg x.
ეს ფუნქციები მონოტონურად იზრდება. ამიტომ, რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით მეტია თავად ფუნქციის მნიშვნელობა. შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე მაგალითებით.
დავალებების ძირითადი ტიპები
ამოცანა: ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობა. მაგალითი სქემაზე.
სურათზე ხედავთ f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკს [-6; 6]. სეგმენტის რომელ წერტილში [-3; 3] f(x) იღებს უმცირეს მნიშვნელობას?
ასე რომ, დამწყებთათვის, თქვენ უნდა აირჩიოთ მითითებული სეგმენტი. მასზე ფუნქცია ერთხელ იღებს ნულოვან მნიშვნელობას და ცვლის ნიშანს - ეს არის უკიდურესი წერტილი. ვინაიდან უარყოფითიდან წარმოებული ხდება დადებითი, ეს ნიშნავს, რომ ეს არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი. ეს წერტილი შეესაბამება არგუმენტს 2.
პასუხი: 2.
განაგრძეთ მაგალითების ყურება. ამოცანა: იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.
იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=(x - 8) ex-7 ინტერვალზე [6; 8].
1. აიღეთ რთული ფუნქციის წარმოებული.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. გამოიტანეთ მიღებული წარმოებული ნულთან და ამოხსენით განტოლება.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, ან ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, ფესვების გარეშე
3. ჩაანაცვლეთ ფუნქციაში უკიდურესი წერტილების მნიშვნელობა, ასევე განტოლების მიღებული ფესვები.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
პასუხი: -1.
ასე რომ, ამ სტატიაში განიხილებოდა მთავარი თეორია იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე, რომელიც აუცილებელია სპეციალიზებულ მათემატიკაში USE ამოცანების წარმატებით გადასაჭრელად. ასევე მათემატიკური ელემენტებიანალიზი გამოიყენება გამოცდის C ნაწილიდან ამოცანების ამოხსნისას, მაგრამ, ცხადია, ისინი წარმოადგენენ სირთულის განსხვავებულ დონეს და მათი ამოხსნის ალგორითმები რთულია ერთი მასალის ჩარჩოში მოთავსება.
