მათემატიკური ამოცანები გამოიყენება მრავალ მეცნიერებაში. მათ შორისაა არა მხოლოდ ფიზიკა, ქიმია, ინჟინერია და ეკონომიკა, არამედ მედიცინა, ეკოლოგია და სხვა დისციპლინები. ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი კონცეფცია, რომელიც უნდა დაეუფლონ მნიშვნელოვანი დილემების გადაწყვეტის საპოვნელად, არის ფუნქციის წარმოებული. მისი ფიზიკური მნიშვნელობა სულაც არ არის ისეთი ძნელი ასახსნელი, როგორც ეს საკითხის არსში გაუნათლებელს მოეჩვენება. საკმარისია მხოლოდ ამის შესაფერისი მაგალითების პოვნა რეალურ ცხოვრებაში და ჩვეულებრივ ყოველდღიურ სიტუაციებში. ფაქტობრივად, ნებისმიერი მძღოლი უმკლავდება მსგავს ამოცანას ყოველდღე, როდესაც ის უყურებს სიჩქარის მაჩვენებელს, განსაზღვრავს თავისი მანქანის სიჩქარეს განსაზღვრული დროის კონკრეტულ მომენტში. ყოველივე ამის შემდეგ, სწორედ ამ პარამეტრში მდგომარეობს წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის არსი.
როგორ მოვძებნოთ სიჩქარე
გზაზე მყოფი ადამიანის სიჩქარის დადგენა, გავლილი მანძილისა და მგზავრობის დროის გაცნობით, ნებისმიერ მეხუთე კლასელს შეუძლია. ამისათვის, მოცემული მნიშვნელობებიდან პირველი იყოფა მეორეზე. მაგრამყველა ახალგაზრდა მათემატიკოსმა არ იცის, რომ ამჟამად პოულობს ფუნქციისა და არგუმენტის ნამატების თანაფარდობას. მართლაც, თუ მოძრაობას გრაფიკის სახით წარმოვიდგენთ, y-ღერძის გასწვრივ ბილიკის გამოსახატავად და აბსცისის გასწვრივ დროს, ეს ზუსტად ასე იქნება.
თუმცა, ფეხით მოსიარულეთა ან ნებისმიერი სხვა ობიექტის სიჩქარე, რომელსაც ჩვენ განვსაზღვრავთ ბილიკის დიდ მონაკვეთზე, მოძრაობის ერთგვაროვნებად მიჩნევით, შესაძლოა შეიცვალოს. ფიზიკაში მოძრაობის მრავალი ფორმა არსებობს. მისი შესრულება შესაძლებელია არა მხოლოდ მუდმივი აჩქარებით, არამედ თვითნებური გზით შენელება და გაზრდა. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ შემთხვევაში მოძრაობის აღმწერი ხაზი აღარ იქნება სწორი ხაზი. გრაფიკულად, მას შეუძლია მიიღოს ყველაზე რთული კონფიგურაციები. მაგრამ გრაფიკის ნებისმიერი წერტილისთვის ყოველთვის შეგვიძლია დავხატოთ ტანგენსი, რომელიც წარმოდგენილია წრფივი ფუნქციით.
დროის მიხედვით გადაადგილების ცვლილების პარამეტრის გასარკვევად საჭიროა გაზომილი სეგმენტების შემცირება. როდესაც ისინი გახდებიან უსასრულოდ მცირე, გამოთვლილი სიჩქარე იქნება მყისიერი. ეს გამოცდილება გვეხმარება წარმოებულის განსაზღვრაში. მისი ფიზიკური მნიშვნელობაც ლოგიკურად გამომდინარეობს ასეთი მსჯელობიდან.
გეომეტრიის თვალსაზრისით
ცნობილია, რომ რაც უფრო დიდია სხეულის სიჩქარე, მით უფრო ციცაბოა დროზე გადაადგილების დამოკიდებულების გრაფიკი და, შესაბამისად, გრაფიკზე ტანგენტის დახრილობის კუთხე გარკვეულ წერტილში. ასეთი ცვლილებების მაჩვენებელი შეიძლება იყოს x-ღერძსა და ტანგენტის ხაზს შორის კუთხის ტანგენსი. ის უბრალოდ განსაზღვრავს წარმოებულის მნიშვნელობას და გამოითვლება სიგრძის თანაფარდობითმიმდებარე ფეხის საპირისპიროდ მართკუთხა სამკუთხედში, რომელიც წარმოიქმნება პერპენდიკულურით, ჩამოშვებული რაღაც წერტილიდან x-ღერძზე.
ეს არის პირველი წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფიზიკური ვლინდება იმაში, რომ საპირისპირო ფეხის მნიშვნელობა ჩვენს შემთხვევაში არის გავლილი მანძილი, ხოლო მიმდებარე არის დრო. მათი თანაფარდობა არის სიჩქარე. და ისევ მივდივართ დასკვნამდე, რომ მყისიერი სიჩქარე, რომელიც განისაზღვრება მაშინ, როდესაც ორივე უფსკრული უსასრულოდ მცირეა, არის წარმოებულის კონცეფციის არსი, რაც მიუთითებს მის ფიზიკურ მნიშვნელობაზე. მეორე წარმოებული ამ მაგალითში იქნება სხეულის აჩქარება, რაც თავის მხრივ აჩვენებს სიჩქარის ცვლილების სიჩქარეს.
წარმოებულების პოვნის მაგალითები ფიზიკაში
წარმოებული არის ნებისმიერი ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის მაჩვენებელი, მაშინაც კი, როდესაც ჩვენ არ ვსაუბრობთ მოძრაობაზე ამ სიტყვის პირდაპირი მნიშვნელობით. ამის ნათლად საჩვენებლად, ავიღოთ რამდენიმე კონკრეტული მაგალითი. დავუშვათ, მიმდინარე სიძლიერე, დროის მიხედვით, იცვლება შემდეგი კანონის მიხედვით: I=0, 4t2. საჭიროა იმ სიჩქარის მნიშვნელობის პოვნა, რომლითაც ეს პარამეტრი იცვლება პროცესის მე-8 წამის ბოლოს. გაითვალისწინეთ, რომ თავად სასურველი მნიშვნელობა, როგორც განტოლებიდან შეიძლება ვიმსჯელოთ, მუდმივად იზრდება.
მისი გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი წარმოებული, რომლის ფიზიკური მნიშვნელობა ადრე განიხილებოდა. აქ dI / dt=0,8 ტ. შემდეგი, ჩვენ ვპოულობთ მას t \u003d 8-ზე, ვიღებთ, რომ სიჩქარე, რომლითაც იცვლება მიმდინარე სიძლიერე, არის 6.4 A / c. აქ ითვლება რომდენი იზომება ამპერებში, ხოლო დრო, შესაბამისად, წამებში.
ყველაფერი იცვლება
ხილული გარემომცველი სამყარო, რომელიც შედგება მატერიისგან, მუდმივად განიცდის ცვლილებებს, იმყოფება მასში მიმდინარე სხვადასხვა პროცესების მოძრაობაში. მათი აღწერისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა პარამეტრი. თუ ისინი გაერთიანებულია დამოკიდებულებით, მაშინ ისინი მათემატიკურად იწერება, როგორც ფუნქცია, რომელიც ნათლად აჩვენებს მათ ცვლილებებს. და სადაც არის მოძრაობა (როგორც არ უნდა იყოს გამოხატული), იქ ასევე არსებობს წარმოებული, რომლის ფიზიკურ მნიშვნელობას ჩვენ ამ მომენტში განვიხილავთ.
ამ შემთხვევაში, შემდეგი მაგალითი. დავუშვათ, სხეულის ტემპერატურა იცვლება კანონის მიხედვით T=0, 2 ტ 2. თქვენ უნდა იპოვოთ მისი გაცხელების სიჩქარე მე-10 წამის ბოლოს. პრობლემა მოგვარებულია წინა შემთხვევაში აღწერილი გზით. ანუ, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს და ვცვლით მასში t \u003d 10-ის მნიშვნელობას, ვიღებთ T \u003d 0, 4 t \u003d 4. ეს ნიშნავს, რომ საბოლოო პასუხი არის 4 გრადუსი წამში, ანუ გათბობის პროცესი. და ტემპერატურის ცვლილება, გაზომილი გრადუსით, ხდება ზუსტად ასეთი სიჩქარით.
პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრა
რა თქმა უნდა, რეალურ ცხოვრებაში ყველაფერი ბევრად უფრო რთულია, ვიდრე თეორიულ პრობლემებში. პრაქტიკაში, რაოდენობების მნიშვნელობა ჩვეულებრივ განისაზღვრება ექსპერიმენტის დროს. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ინსტრუმენტები, რომლებიც კითხულობენ გაზომვების დროს გარკვეული შეცდომით. ამიტომ, გამოთვლებში, უნდა გაუმკლავდეთ პარამეტრების სავარაუდო მნიშვნელობებს და მიმართოთ არასასიამოვნო რიცხვების დამრგვალებას.ისევე როგორც სხვა გამარტივებები. ამის გათვალისწინებით, ჩვენ კვლავ გადავალთ წარმოებულის ფიზიკურ მნიშვნელობაზე პრობლემებზე, იმის გათვალისწინებით, რომ ისინი ბუნებაში მიმდინარე ყველაზე რთული პროცესების მხოლოდ ერთგვარი მათემატიკური მოდელია.
ვულკანის ამოფრქვევა
წარმოვიდგინოთ, რომ ვულკანი ამოიფრქვევა. რამდენად საშიში შეიძლება იყოს ის? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად ბევრი ფაქტორი უნდა იქნას გათვალისწინებული. ჩვენ შევეცდებით ერთ-ერთი მათგანის მოთავსებას.
„ცეცხლოვანი ურჩხულის“პირიდან ქვებს ვერტიკალურად ზევით ყრიან, საწყისი სიჩქარე გარედან გამოსვლის მომენტიდან 120 მ/წმ. აუცილებელია გამოვთვალოთ რისი მიღწევა შეუძლიათ მათ მაქსიმალურ სიმაღლეზე.
სასურველი მნიშვნელობის საპოვნელად, ჩვენ შევადგენთ განტოლებას H სიმაღლის დამოკიდებულების შესახებ, რომელიც იზომება მეტრებში, სხვა მნიშვნელობებზე. მათ შორისაა საწყისი სიჩქარე და დრო. აჩქარების მნიშვნელობა ითვლება ცნობილი და დაახლოებით ტოლია 10 მ/წმ2.
ნაწილობრივი წარმოებული
ახლა განვიხილოთ ფუნქციის წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა ოდნავ განსხვავებული კუთხით, რადგან თავად განტოლება შეიძლება შეიცავდეს არა ერთ, არამედ რამდენიმე ცვლადს. მაგალითად, წინა პრობლემაში ვულკანის სავენტილაციოდან ამოვარდნილი ქვების სიმაღლის დამოკიდებულება განისაზღვრა არა მხოლოდ დროის მახასიათებლების ცვლილებით, არამედ საწყისი სიჩქარის მნიშვნელობითაც. ეს უკანასკნელი ითვლებოდა მუდმივ, ფიქსირებულ მნიშვნელობად. მაგრამ სხვა ამოცანებში სრულიად განსხვავებული პირობებით, ყველაფერი შეიძლება განსხვავებული იყოს. თუ რაოდენობებზე კომპლექსიფუნქცია, რამდენიმე, გამოთვლები კეთდება ქვემოთ მოცემული ფორმულების მიხედვით.
ხშირი წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა უნდა განისაზღვროს როგორც ჩვეულებრივ შემთხვევაში. ეს არის ტემპი, რომლითაც ფუნქცია იცვლება კონკრეტულ მომენტში ცვლადის პარამეტრის ზრდისას. ის გამოითვლება ისე, რომ ყველა სხვა კომპონენტი აღებულია მუდმივებად, მხოლოდ ერთი ითვლება ცვლადად. შემდეგ ყველაფერი ხდება ჩვეულებრივი წესების მიხედვით.
შეუცვლელი მრჩეველი ბევრ საკითხში
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის გაგებით, რთული არ არის რთული და რთული ამოცანების ამოხსნის მაგალითების მოყვანა, რომლებშიც პასუხის პოვნა ასეთი ცოდნით შეიძლება. თუ გვაქვს ფუნქცია, რომელიც აღწერს საწვავის მოხმარებას მანქანის სიჩქარის მიხედვით, შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ უკანასკნელის რომელ პარამეტრებზე იქნება ბენზინის მოხმარება ყველაზე ნაკლები.
მედიცინაში შეგიძლიათ წინასწარ განსაზღვროთ, როგორი რეაქცია ექნება ადამიანის ორგანიზმს ექიმის მიერ დანიშნულ წამალზე. პრეპარატის მიღება გავლენას ახდენს სხვადასხვა ფიზიოლოგიურ პარამეტრებზე. მათ შორისაა არტერიული წნევის, გულისცემის, სხეულის ტემპერატურის ცვლილებები და სხვა. ყველა მათგანი დამოკიდებულია მიღებული წამლის დოზაზე. ეს გამოთვლები ხელს უწყობს მკურნალობის კურსის პროგნოზირებას, როგორც ხელსაყრელ გამოვლინებებში, ასევე არასასურველ შემთხვევებში, რომლებმაც შეიძლება სასიკვდილო გავლენა მოახდინოს პაციენტის სხეულში ცვლილებებზე.
უეჭველად მნიშვნელოვანია წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის გაგება ტექნიკურშისაკითხები, კერძოდ ელექტროინჟინერია, ელექტრონიკა, დიზაინი და მშენებლობა.
დამუხრუჭების მანძილი
მოდით განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა. მუდმივი სიჩქარით მოძრაობა ხიდთან მიახლოებულ მანქანას შესვლამდე 10 წამით ადრე მოუწია შენელება, რადგან მძღოლმა შენიშნა საგზაო ნიშანი, რომელიც კრძალავს მოძრაობას 36 კმ/სთ-ზე მეტი სიჩქარით. დაარღვია თუ არა მძღოლმა წესები, თუ დამუხრუჭების მანძილი შეიძლება აღწერილი იყოს ფორმულით S=26t - t2?
პირველი წარმოებულის გამოთვლით, ვპოულობთ სიჩქარის ფორმულას, ვიღებთ v=28 – 2t. შემდეგი, ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა t=10 მითითებულ გამოსახულებაში.
რადგან ეს მნიშვნელობა გამოიხატება წამებში, სიჩქარე არის 8 მ/წმ, რაც ნიშნავს 28,8 კმ/სთ. ეს შესაძლებელს ხდის გავიგოთ, რომ მძღოლმა დროულად დაიწყო სიჩქარის შენელება და არ დაარღვია მოძრაობის წესები და შესაბამისად სიჩქარის ნიშანზე მითითებული ლიმიტი.
ეს ადასტურებს წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის მნიშვნელობას. ამ პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ცხადყოფს ამ კონცეფციის გამოყენების სიგანს ცხოვრების სხვადასხვა სფეროში. მათ შორის ყოველდღიურ სიტუაციებში.
წარმოებული ეკონომიკაში
მე-19 საუკუნემდე ეკონომისტები ძირითადად საშუალოდ მუშაობდნენ, იქნება ეს შრომის პროდუქტიულობა თუ გამოშვების ფასი. მაგრამ რაღაც მომენტიდან, შემზღუდველი მნიშვნელობები უფრო საჭირო გახდა ამ სფეროში ეფექტური პროგნოზების გასაკეთებლად. ეს მოიცავს ზღვრულ სარგებელს, შემოსავალს ან ღირებულებას. ამის გაგებამ ბიძგი მისცა ეკონომიკურ კვლევაში სრულიად ახალი ინსტრუმენტის შექმნას,რომელიც არსებობს და განვითარდა ას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში.
ასეთი გამოთვლების გასაკეთებლად, სადაც ჭარბობს ცნებები, როგორიცაა მინიმალური და მაქსიმალური, უბრალოდ საჭიროა წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობის გაგება. ამ დისციპლინების თეორიული საფუძვლის შემქმნელთა შორის შეიძლება დავასახელოთ ისეთი გამოჩენილი ინგლისელი და ავსტრიელი ეკონომისტები, როგორებიც არიან აშშ ჯევონსი, კ.მენგერი და სხვები. რა თქმა უნდა, ეკონომიკურ გამოთვლებში შეზღუდვის მნიშვნელობები ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი გამოსაყენებლად. და, მაგალითად, კვარტალური ანგარიშები სულაც არ ჯდება არსებულ სქემაში, მაგრამ მაინც, ასეთი თეორიის გამოყენება ხშირ შემთხვევაში სასარგებლო და ეფექტურია.
