გაუსის მეთოდი დუმებისთვის: ამონახსნების მაგალითები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 05:32

ამ სტატიაში მეთოდი განიხილება, როგორც წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის გზა (SLAE). მეთოდი არის ანალიტიკური, ანუ ის საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ გადაწყვეტის ზოგადი ალგორითმი, შემდეგ კი შეცვალოთ მნიშვნელობები კონკრეტული მაგალითებიდან. მატრიცული მეთოდისგან ან კრამერის ფორმულებისგან განსხვავებით, გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას, ასევე შეგიძლიათ იმუშაოთ მათთან, რომლებსაც აქვთ უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. ან საერთოდ არ გაქვს.

რას ნიშნავს ამოხსნა გაუსის მეთოდით?

პირველ რიგში, ჩვენ უნდა ჩავწეროთ ჩვენი განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით. ეს ასე გამოიყურება. სისტემა აღებულია:

კოეფიციენტები იწერება ცხრილის სახით, ხოლო მარჯვნივ ცალკე სვეტში - თავისუფალი წევრები. თავისუფალი წევრების მქონე სვეტი მოხერხებულობისთვის გამოყოფილია ვერტიკალური ზოლით. მატრიცას, რომელიც მოიცავს ამ სვეტს, ეწოდება გაფართოებული.

შემდეგ, მთავარი მატრიცა კოეფიციენტებით უნდა შემცირდეს ზედა სამკუთხედის ფორმამდე. ეს არის გაუსის მეთოდით სისტემის ამოხსნის მთავარი პუნქტი. მარტივად რომ ვთქვათ, გარკვეული მანიპულაციების შემდეგ, მატრიცა ასე უნდა გამოიყურებოდეს, რომ მის ქვედა მარცხენა ნაწილში მხოლოდ ნულები იყოს:

შემდეგ, თუ ახალ მატრიცას კვლავ დაწერთ განტოლებათა სისტემის სახით, შეამჩნევთ, რომ ბოლო სტრიქონი უკვე შეიცავს ერთ-ერთი ფესვის მნიშვნელობას, რომელიც შემდეგ ჩანაცვლებულია ზემოთ განტოლებაში, იპოვება სხვა ფესვი. და ასე შემდეგ.

ეს არის გაუსის ამოხსნის აღწერა ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით. და რა მოხდება, თუ მოულოდნელად სისტემას არ აქვს გამოსავალი? ან არის მათი უსასრულო რაოდენობა? ამ და კიდევ ბევრ კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია ცალ-ცალკე განხილული ყველა ელემენტი, რომელიც გამოსავალში გამოიყენება გაუსის მეთოდით.

მატრიცები, მათი თვისებები

მატრიცაში ფარული მნიშვნელობა არ არის. ეს უბრალოდ მოსახერხებელი გზაა მონაცემების ჩასაწერად შემდგომი ოპერაციებისთვის. სკოლის მოსწავლეებსაც კი არ უნდა ეშინოდეთ მათი.

მატრიცა ყოველთვის მართკუთხაა, რადგან ის უფრო მოსახერხებელია. გაუსის მეთოდშიც კი, სადაც ყველაფერი სამკუთხა მატრიცის აგებამდე მიდის, ჩანაწერში ჩნდება მართკუთხედი, მხოლოდ ნულებით იმ ადგილას, სადაც რიცხვები არ არის. ნულები შეიძლება გამოტოვოთ, მაგრამ ისინი იგულისხმება.

მატრიცას აქვს ზომა. მისი "სიგანე" არის რიგების რაოდენობა (მ), მისი "სიგრძე" არის სვეტების რაოდენობა (n). შემდეგ A მატრიცის ზომა (ძირითადი ლათინური ასოები ჩვეულებრივ გამოიყენება მათი აღსანიშნავად) აღინიშნა როგორც A_m×n. თუ m=n, მაშინ ეს მატრიცა არის კვადრატი დაm=n - მისი რიგი. შესაბამისად, A მატრიცის ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება აღინიშნოს მისი მწკრივისა და სვეტის ნომრით: a_xy; x - მწკრივის ნომერი, ცვლილება [1, m], y - სვეტის ნომერი, ცვლილება [1, n].

გაუსის მეთოდში მატრიცები არ არის ამოხსნის მთავარი წერტილი. პრინციპში, ყველა ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს უშუალოდ განტოლებით, თუმცა აღნიშვნა გაცილებით რთული იქნება და მასში დაბნეულობა ბევრად უფრო ადვილი იქნება.

კვალიფიკაცია

მატრიცას ასევე აქვს განმსაზღვრელი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი თვისებაა. ახლა მისი მნიშვნელობის გარკვევა არ ღირს, შეგიძლიათ უბრალოდ აჩვენოთ როგორ გამოითვლება და შემდეგ თქვათ მატრიცის რა თვისებებს განსაზღვრავს იგი. დეტერმინანტის პოვნის უმარტივესი გზაა დიაგონალები. მატრიცაში გამოსახულია წარმოსახვითი დიაგონალები; თითოეულ მათგანზე განლაგებული ელემენტები მრავლდება და შემდეგ ემატება მიღებულ პროდუქტებს: დიაგონალები დახრილობით მარჯვნივ - "პლუს" ნიშნით, დახრილობით მარცხნივ - "მინუს" ნიშნით..

უაღრესად მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ დეტერმინანტი შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცისთვის. მართკუთხა მატრიცისთვის შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი: აირჩიეთ მწკრივების და სვეტების რიცხვიდან ყველაზე მცირე (დავცეთ k), და შემდეგ შემთხვევით მონიშნეთ k სვეტი და k სტრიქონი მატრიცაში. არჩეული სვეტებისა და რიგების კვეთაზე მდებარე ელემენტები ქმნიან ახალ კვადრატულ მატრიცას. თუ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნულის გარდა სხვა რიცხვი, მაშინ მას დაერქმევა საწყისი მართკუთხა მატრიცის ძირითადი მინორი.

ადრეროგორ დავიწყოთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით, დეტერმინანტის გამოთვლა არ ავნებს. თუ აღმოჩნდება ნული, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცას აქვს ან უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები, ან საერთოდ არ არსებობს. ასეთ სამწუხარო შემთხვევაში, თქვენ უნდა წახვიდეთ უფრო შორს და გაიგოთ მატრიცის რანგის შესახებ.

სისტემების კლასიფიკაცია

არსებობს მატრიცის რანგი. ეს არის მისი არანულოვანი დეტერმინანტის მაქსიმალური რიგი (ძირითადი მინორის გახსენებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცის რანგი არის საბაზისო მინორის რიგი).

როგორც არის რანგი, SLOW შეიძლება დაიყოს:

• სახსარი. ერთობლივი სისტემებისთვის, მთავარი მატრიცის (მხოლოდ კოეფიციენტებისგან შემდგარი) რანგი ემთხვევა გაფართოებულის წოდებას (თავისუფალი ტერმინების სვეტით). ასეთ სისტემებს აქვთ გამოსავალი, მაგრამ არა აუცილებლად ერთი, ამიტომ ერთობლივი სისტემები დამატებით იყოფა:
• - გარკვეული - უნიკალური გადაწყვეტის მქონე. გარკვეულ სისტემებში, მატრიცის რანგი და უცნობის რაოდენობა ტოლია (ან სვეტების რაოდენობა, რაც იგივეა);
• - განუსაზღვრელი - ამონახსნების უსასრულო რაოდენობით. ასეთ სისტემებში მატრიცების რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე.
• შეუთავსებელი. ასეთი სისტემებისთვის, ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგები არ ემთხვევა. შეუთავსებელ სისტემებს გამოსავალი არ აქვთ.

გაუსის მეთოდი კარგია, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ სისტემის შეუსაბამობის ცალსახა მტკიცებულება (დიდი მატრიცების განმსაზღვრელების გამოთვლის გარეშე) ან ზოგადი ამონახსნები სისტემისთვის უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებით.

ელემენტარული გარდაქმნები

ადრეროგორ გააგრძელოთ უშუალოდ სისტემის გადაწყვეტა, შეგიძლიათ გახადოთ ის ნაკლებად რთული და უფრო მოსახერხებელი გამოთვლებისთვის. ეს მიიღწევა ელემენტარული გარდაქმნებით – ისეთი, რომ მათი განხორციელება არანაირად არ ცვლის საბოლოო პასუხს. უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთი ზემოაღნიშნული ელემენტარული ტრანსფორმაცია მოქმედებს მხოლოდ მატრიცებისთვის, რომელთა წყარო სწორედ SLAE იყო. აქ არის ამ ტრანსფორმაციების სია:

1. სტრიქონების შეცვლა. აშკარაა, რომ თუ სისტემურ ჩანაწერში განტოლებების თანმიმდევრობას შევცვლით, მაშინ ეს არანაირ გავლენას არ მოახდენს ამოხსნაზე. მაშასადამე, ამ სისტემის მატრიცაში მწკრივების გაცვლაც შესაძლებელია, რა თქმა უნდა, არ დაივიწყოს თავისუფალი წევრების სვეტი.
2. სტრიქონის ყველა ელემენტის გამრავლება რაღაც ფაქტორზე. Ძალიან სასარგებლო! მასთან ერთად შეგიძლიათ შეამციროთ დიდი რიცხვები მატრიცაში ან ამოიღოთ ნულები. გადაწყვეტილებების ნაკრები, როგორც ყოველთვის, არ შეიცვლება და უფრო მოსახერხებელი გახდება შემდგომი ოპერაციების შესრულება. მთავარია, რომ კოეფიციენტი არ იყოს ნულის ტოლი.
3. წაშალეთ ხაზები პროპორციული კოეფიციენტებით. ეს ნაწილობრივ გამომდინარეობს წინა პუნქტიდან. თუ მატრიცაში ორ ან მეტ სტრიქონს აქვს პროპორციული კოეფიციენტები, მაშინ ერთ-ერთი მწკრივის პროპორციულობის კოეფიციენტზე გამრავლების / გაყოფისას მიიღება ორი (ან კიდევ მეტი) აბსოლუტურად იდენტური მწკრივი და შეგიძლიათ ზედმეტი ამოიღოთ და დატოვოთ მხოლოდ. ერთი.
4. წაშალეთ null ხაზი. თუ ტრანსფორმაციების დროს სადმე მიიღება სტრიქონი, რომელშიც ყველა ელემენტი, თავისუფალი წევრის ჩათვლით, არის ნულოვანი, მაშინ ასეთ სტრიქონს შეიძლება ეწოდოს ნული და გადააგდოთ მატრიციდან.
5. მეორის ელემენტების ერთი რიგის ელემენტებზე დამატება (შესაბამისადშესაბამისი სვეტები) გამრავლებული რაღაც კოეფიციენტზე. ყველაზე ბუნდოვანი და ყველაზე მნიშვნელოვანი ტრანსფორმაცია. ღირს ამაზე უფრო დეტალურად საუბარი.

სტრიქონის დამატება გამრავლებული ფაქტორზე

გამარტივებისთვის, ღირს ამ პროცესის ეტაპობრივად დაშლა. ორი სტრიქონი აღებულია მატრიციდან:

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a₂₁ a₂₂ … a_2n | ბ₂

ვთქვათ, რომ მეორეს უნდა დაამატოთ პირველი გამრავლებული კოეფიციენტზე "-2".

a'₂₁ =a₂₁ + -2×a₁₁

a'₂₂ =a₂₂ + -2×a₁₂

a'_2n =a_2n + -2×a_1n

შემდეგ მატრიცაში მეორე რიგი შეიცვლება ახლით, ხოლო პირველი უცვლელი რჩება.

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a'₂₁ a'₂₂ … a'_2n | ბ₂

აღსანიშნავია, რომ გამრავლების კოეფიციენტი შეიძლება ისე ავირჩიოთ, რომ ორი სტრიქონის დამატების შედეგად ახალი სტრიქონის ერთ-ერთი ელემენტი ნულის ტოლი იყოს. მაშასადამე, შესაძლებელია სისტემაში განტოლების მიღება, სადაც იქნება ერთი ნაკლები უცნობი. და თუ თქვენ მიიღებთ ორ ასეთ განტოლებას, მაშინ ოპერაცია შეიძლება განმეორდეს და მიიღოთ განტოლება, რომელიც უკვე შეიცავს ორ ნაკლებ უცნობს. და თუ ყოველ ჯერზე მივმართავთ ნულ ერთ კოეფიციენტს ყველა მწკრივზე, რომლებიც თავდაპირველზე დაბალია, მაშინ შეგვიძლია, ნაბიჯების მსგავსად, ჩავიდეთ მატრიცის ბოლოში და მივიღოთ განტოლება ერთი უცნობით. Ამას ჰქვიაამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით.

ზოგადად

იყოს სისტემა. მას აქვს m განტოლებები და n უცნობი ფესვები. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

მთავარი მატრიცა შედგენილია სისტემის კოეფიციენტებიდან. თავისუფალი წევრების სვეტი ემატება გაფართოებულ მატრიცას და გამოყოფილია ზოლით მოხერხებულობისთვის.

შემდეგი:

• მატრიცის პირველი მწკრივი მრავლდება კოეფიციენტით k=(-a₂₁/a₁₁);

ემატება

• პირველი შეცვლილი და მატრიცის მეორე მწკრივი;
• მეორე მწკრივის ნაცვლად მატრიცაში ჩასმულია წინა აბზაცის მიმატების შედეგი;
• ახლა პირველი კოეფიციენტი ახალ მეორე ხაზში არის ₁₁ × (-a₂₁/a_{11) + a}21 _=-a21 _{+ a}21_=0.

ახლა შესრულებულია გარდაქმნების იგივე სერია, ჩართულია მხოლოდ პირველი და მესამე ხაზი. შესაბამისად, ალგორითმის თითოეულ საფეხურზე ელემენტი a₂₁ იცვლება a₃₁. შემდეგ ყველაფერი მეორდება ₄₁, … a_m1. შედეგი არის მატრიცა, სადაც პირველი ელემენტი რიგებში [2, m] ნულის ტოლია. ახლა თქვენ უნდა დაივიწყოთ პირველი ხაზი და შეასრულოთ იგივე ალგორითმი მეორე ხაზიდან:

• k კოეფიციენტი=(-a₃₂/a₂₂);
• მეორე შეცვლილი ხაზი დაემატა "მიმდინარე" ხაზს;
• მიმატების შედეგი ჩანაცვლებულია მესამე, მეოთხე და ასე შემდეგ ხაზებით, ხოლო პირველი და მეორე უცვლელი რჩება;
• მატრიცის [3, m] რიგებში პირველი ორი ელემენტი უკვე ნულის ტოლია.

ალგორითმი უნდა განმეორდეს მანამ, სანამ კოეფიციენტი k=(-a_{m, m-1}/a_mm არ გამოჩნდება). ეს ნიშნავს, რომ ალგორითმი ბოლოს მხოლოდ ქვედა განტოლებისთვის იყო გაშვებული. ახლა მატრიცა სამკუთხედს ჰგავს, ან აქვს საფეხურიანი ფორმა. ქვედა ხაზი შეიცავს განტოლებას a_mn × x =b_მ. კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ცნობილია და ფესვი გამოიხატება მათი მეშვეობით: x =b_m/a_წთ. შედეგად მიღებული ფესვი ჩანაცვლებულია ზედა მწკრივში, რათა მოიძებნოს x_n-1=(b_m-1 - a_{მ-1, n×(b}მ_/aწთ_))÷aმ-1, n-1_{. და ასე შემდეგ ანალოგიით: ყოველ მომდევნო სტრიქონში არის ახალი ფესვი და, სისტემის "ზევით" მიღწევის შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ გადაწყვეტილებების ნაკრები [x}1_{, … x. ]. ეს იქნება ერთადერთი.}

როცა გადაწყვეტილებები არ არის

თუ მატრიცის ერთ-ერთ მწკრივში ყველა ელემენტი, გარდა თავისუფალი წევრისა, ნულის ტოლია, მაშინ ამ მწკრივის შესაბამისი განტოლება გამოიყურება 0=b. გამოსავალი არ აქვს. და რადგან ასეთი განტოლება შედის სისტემაში, მაშინ მთელი სისტემის ამონახსნთა სიმრავლე ცარიელია, ანუ გადაგვარებულია.

როცა ამონახსნების უსასრულო რაოდენობაა

შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ შემცირებულ სამკუთხა მატრიცაში არ არის რიგები ერთი ელემენტით - განტოლების კოეფიციენტით და ერთი - თავისუფალი წევრით. არსებობს მხოლოდ სტრიქონები, რომლებიც ხელახლა ჩაწერისას გამოიყურებიან განტოლებას ორი ან მეტი ცვლადით. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები. ამ შემთხვევაში პასუხის გაცემა შესაძლებელია ზოგადი ამოხსნის სახით. როგორ გავაკეთოთ ეს?

ყველამატრიცაში ცვლადები იყოფა ძირითად და თავისუფალებად. ძირითადი - ეს არის ის, ვინც დგას საფეხუროვანი მატრიცის რიგების "კიდეზე". დანარჩენი უფასოა. ზოგად ამოხსნაში ძირითადი ცვლადები იწერება თავისუფალის მიხედვით.

მოხერხებულობისთვის, მატრიცა პირველად გადაიწერება განტოლებათა სისტემაში. შემდეგ მათგან ბოლოში, სადაც ზუსტად მხოლოდ ერთი ძირითადი ცვლადი დარჩა, ის რჩება ერთ მხარეს, დანარჩენი კი მეორეზე გადადის. ეს კეთდება თითოეული განტოლებისთვის ერთი ძირითადი ცვლადით. შემდეგ, დანარჩენ განტოლებებში, სადაც შესაძლებელია, ძირითადი ცვლადის ნაცვლად, ჩანაცვლებულია მისთვის მიღებული გამოხატულება. თუ შედეგი ისევ არის გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ძირითად ცვლადს, ის ისევ იქიდან არის გამოხატული და ასე შემდეგ, სანამ თითოეული ძირითადი ცვლადი არ დაიწერება, როგორც გამოხატვის თავისუფალი ცვლადები. ეს არის SLAE-ის ზოგადი გადაწყვეტა.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სისტემის ძირითადი ამოხსნა - მიეცით თავისუფალ ცვლადებს რაიმე მნიშვნელობა და შემდეგ გამოთვალეთ ძირითადი ცვლადების მნიშვნელობები ამ კონკრეტული შემთხვევისთვის. უსასრულოდ ბევრი კონკრეტული გამოსავალი არსებობს.

გადაწყვეტა კონკრეტული მაგალითებით

აქ არის განტოლებათა სისტემა.

მოხერხებულობისთვის უმჯობესია მისი მატრიცა დაუყოვნებლივ გააკეთოთ

ცნობილია, რომ გაუსის მეთოდით ამოხსნისას, პირველი რიგის შესაბამისი განტოლება უცვლელი დარჩება გარდაქმნების ბოლოს. ამიტომ, უფრო მომგებიანი იქნება, თუ მატრიცის ზედა მარცხენა ელემენტი არის ყველაზე პატარა - მაშინ პირველი ელემენტები.დანარჩენი რიგები ოპერაციების შემდეგ გადაიქცევა ნულამდე. ეს ნიშნავს, რომ შედგენილ მატრიცაში სასარგებლო იქნება მეორე რიგის დაყენება პირველის ნაცვლად.

შემდეგ, თქვენ უნდა შეცვალოთ მეორე და მესამე სტრიქონები ისე, რომ პირველი ელემენტები გახდეს ნული. ამისათვის დაამატეთ ისინი პირველს, გამრავლებული კოეფიციენტზე:

მეორე ხაზი: k=(-a₂₁/a₁₁)=(-3/1)=-3

a'₂₁ =a₂₁ + k×a₁₁=3 + (-3)×1=0

a'₂₂ =a₂₂ + k×a₁₂ =-1 + (- 3)×2=-7

a'₂₃ =a₂₃ + k×a₁₃ =1 + (-3)×4=-11

b'₂ =b₂ + k×b₁=12 + (-3)×12=-24

მესამე ხაზი: k=(-a₃₁/a₁₁)=(- 5/1)=-5

a'₃₁ =a_{31+ k×a}11_{=5 + (-5)×1=0}

a'₃₂ =a_{32+ k×a}12 _{=1 + (-5)×2=-9}

a'₃₃ =a₃₃ + k×a₁₃ =2 + (-5)×4=-18

b'₃=b₃ + k×b₁=3 + (-5)×12=-57

ახლა, იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, თქვენ უნდა დაწეროთ მატრიცა ტრანსფორმაციების შუალედური შედეგებით.

ცხადია, ასეთი მატრიცა შეიძლება უფრო წაკითხული გახდეს ზოგიერთი ოპერაციების დახმარებით. მაგალითად, შეგიძლიათ ამოიღოთ ყველა "მინუსი" მეორე სტრიქონიდან თითოეული ელემენტის "-1"-ზე გამრავლებით.

აღსანიშნავია ისიც, რომ მესამე სტრიქონში ყველა ელემენტი არის სამის ჯერადი. მაშინ შეგიძლიადავჭრათ სტრიქონი ამ რიცხვით, გავამრავლოთ თითოეული ელემენტი "-1/3"-ზე (მინუს - ამავე დროს უარყოფითი მნიშვნელობების მოსაშორებლად).

ბევრად უფრო ლამაზად გამოიყურება. ახლა ჩვენ უნდა დავტოვოთ პირველი ხაზი და ვიმუშაოთ მეორეზე და მესამეზე. დავალება არის მეორე მწკრივის დამატება მესამე მწკრივს, გამრავლებული ისეთ კოეფიციენტზე, რომ ელემენტი a₃₂ გახდეს ნული.

k=(-a₃₂/a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (თუ ზოგიერთი ტრანსფორმაციის დროს პასუხში აღმოჩნდა, რომ არ იყო მთელი რიცხვი, რეკომენდებულია დატოვოთ ის "როგორც არის", ჩვეულებრივი წილადის სახით და მხოლოდ ამის შემდეგ, როდესაც პასუხები მიიღება, გადაწყვიტეთ დამრგვალოთ და გადაიყვანოთ თუ არა სხვა ფორმაში. აღნიშვნა)

a'₃₂=a₃₂ + k×a₂₂=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0

a'₃₃=a₃₃ + k×a₂₃=6 + (-3 /7)×11=-9/7

b'₃ =b₃ + k×b₂=19 + (-3 /7)×24=-61/7

მატრიცა კვლავ იწერება ახალი მნიშვნელობებით.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

როგორც ხედავთ, მიღებულ მატრიცას უკვე აქვს საფეხურიანი ფორმა. ამიტომ, სისტემის შემდგომი გარდაქმნები გაუსის მეთოდით არ არის საჭირო. რისი გაკეთებაც შეიძლება აქ არის საერთო კოეფიციენტის „-1/7“ამოღება მესამე ხაზიდან.

ახლა ყველასსასიამოვნო. წერტილი მცირეა - ისევ ჩაწერეთ მატრიცა განტოლებათა სისტემის სახით და გამოთვალეთ ფესვები

x + 2y + 4z=12 (1)

7წ + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

ალგორითმს, რომლითაც ახლა ვიპოვით ფესვებს, გაუსის მეთოდში საპირისპირო მოძრაობა ეწოდება. განტოლება (3) შეიცავს მნიშვნელობას z:

z=61/9

შემდეგი, დაუბრუნდით მეორე განტოლებას:

y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9

და პირველი განტოლება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ x:

x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3

ჩვენ გვაქვს უფლება ვუწოდოთ ასეთ სისტემას ერთობლივი და თუნდაც გარკვეული, ანუ უნიკალური გადაწყვეტის მქონე. პასუხი იწერება შემდეგი ფორმით:

x₁=-2/3, y=-65/9, z=61/9.

გაურკვეველი სისტემის მაგალითი

გაანალიზებულია გარკვეული სისტემის გაუსის მეთოდით ამოხსნის ვარიანტი, ახლა საჭიროა განიხილოს შემთხვევა, თუ სისტემა განუსაზღვრელია, ანუ მისთვის უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი მოიძებნება.

x₁ + x₂ + x₃ + x _{4+ x}5_{=7 (1)}

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x ₄ - 3x₅=-2 (2)

x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x ₅ =23 (3)

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x ₄ - x₅=12 (4)

სისტემის ფორმა უკვე საგანგაშოა, რადგან უცნობების რაოდენობაა n=5, ხოლო სისტემის მატრიცის რანგი უკვე ზუსტად ამ რიცხვზე ნაკლებია, რადგან მწკრივების რაოდენობაა m=4, ანუ კვადრატის განმსაზღვრელი უდიდესი რიგია 4. ასე რომ,არსებობს უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები და ჩვენ უნდა ვეძებოთ მისი ზოგადი ფორმა. გაუსის მეთოდი ხაზოვანი განტოლებისთვის ამის საშუალებას გაძლევთ.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, შედგენილია გაძლიერებული მატრიცა.

მეორე ხაზი: კოეფიციენტი k=(-a₂₁/a₁₁)=-3. მესამე სტრიქონში პირველი ელემენტი არის ტრანსფორმაციების წინ, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ რაიმეს შეხება, თქვენ უნდა დატოვოთ ის, როგორც არის. მეოთხე ხაზი: k=(-a₄₁/a₁₁)=-5

პირველი მწკრივის ელემენტების ყოველი კოეფიციენტის რიგრიგობით გამრავლება და საჭირო სტრიქონების დამატება, მივიღებთ შემდეგი ფორმის მატრიცას:

როგორც ხედავთ, მეორე, მესამე და მეოთხე რიგები შედგება ერთმანეთის პროპორციული ელემენტებისაგან. მეორე და მეოთხე ზოგადად ერთნაირია, ამიტომ ერთი მათგანი შეიძლება ამოღებულ იქნას დაუყოვნებლივ, ხოლო დანარჩენი გამრავლდეს კოეფიციენტზე "-1" და მივიღოთ სტრიქონი ნომერი 3. და ისევ, დავტოვოთ ორი იდენტური ხაზიდან ერთი.

შედეგი არის ასეთი მატრიცა. სისტემა ჯერ არ არის ჩამოწერილი, აქ აუცილებელია ძირითადი ცვლადების დადგენა - კოეფიციენტებზე დგომა a₁₁=1 და a₂₂=1. და უფასო - დანარჩენი.

მეორე განტოლებაში მხოლოდ ერთი ძირითადი ცვლადია - x₂. მაშასადამე, ის შეიძლება იქიდან გამოისახოს, ჩაწეროთ x₃, x₄, x₅, რომელიც უფასოა.

შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება პირველ განტოლებაში.

გამოვიდა განტოლება, რომელშიცერთადერთი ძირითადი ცვლადი არის x₁. მოდით, იგივე მოვიქცეთ, როგორც x₂.

ყველა ძირითადი ცვლადი, რომელთაგან ორია, გამოიხატება სამი თავისუფალის სახით, ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი ზოგადი ფორმით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიუთითოთ სისტემის ერთ-ერთი კონკრეტული გადაწყვეტა. ასეთი შემთხვევებისთვის, როგორც წესი, თავისუფალი ცვლადების მნიშვნელობებად არჩეულია ნულები. მაშინ პასუხი იქნება:

-16, 23, 0, 0, 0.

არათანმიმდევრული სისტემის მაგალითი

განტოლებათა არათანმიმდევრული სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით ყველაზე სწრაფია. ის მთავრდება როგორც კი ერთ-ერთ საფეხურზე მიიღება განტოლება, რომელსაც ამონახსნი არ აქვს. ანუ ფესვების გამოთვლის ეტაპი, რომელიც საკმაოდ გრძელი და მოსაწყენია, ქრება. განიხილება შემდეგი სისტემა:

x + y - z=0 (1)

2x - y - z=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

როგორც ყოველთვის, მატრიცა შედგენილია:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

და შემცირდა საფეხურზე:

k₁ =-2k₂ =-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ მესამე სტრიქონი შეიცავს

ფორმის განტოლებას

0=7, გამოსავალი არ არის. ამიტომ სისტემაარათანმიმდევრულია და პასუხი არის ცარიელი ნაკრები.

მეთოდის უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები

თუ აირჩევთ რომელი მეთოდის ამოხსნას SLAE ქაღალდზე კალმით, მაშინ მეთოდი, რომელიც განხილული იყო ამ სტატიაში, ყველაზე მიმზიდველად გამოიყურება. ელემენტარულ გარდაქმნებში გაცილებით რთულია დაბნეულობა, ვიდრე ეს ხდება, თუ ხელით უნდა მოძებნოთ განმსაზღვრელი ან რაიმე რთული ინვერსიული მატრიცა. ამასთან, თუ იყენებთ პროგრამებს ამ ტიპის მონაცემებთან მუშაობისთვის, მაგალითად, ცხრილები, მაშინ გამოდის, რომ ასეთი პროგრამები უკვე შეიცავს მატრიცების ძირითადი პარამეტრების გამოთვლის ალგორითმებს - განმსაზღვრელი, მცირე, ინვერსიული და ტრანსპონირებული მატრიცები და ა.შ.. და თუ დარწმუნებული ხართ, რომ მანქანა თავად გამოთვლის ამ მნიშვნელობებს და შეცდომას არ დაუშვებს, უფრო მიზანშეწონილია გამოიყენოთ მატრიცის მეთოდი ან კრამერის ფორმულები, რადგან მათი გამოყენება იწყება და მთავრდება დეტერმინანტებისა და შებრუნებული მატრიცების გამოთვლით.

აპლიკაცია

რადგან გაუსის ამოხსნა არის ალგორითმი და მატრიცა, ფაქტობრივად, ორგანზომილებიანი მასივია, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროგრამირებაში. მაგრამ იმის გამო, რომ სტატია თავს აყენებს, როგორც სახელმძღვანელოს "მუნჯებისთვის", უნდა ითქვას, რომ მეთოდის ყველაზე მარტივი ადგილი არის ცხრილები, მაგალითად, Excel. ისევ, ნებისმიერი SLAE, რომელიც შეყვანილია ცხრილში მატრიცის სახით, განიხილება Excel-ის მიერ, როგორც ორგანზომილებიანი მასივი. მათთან ოპერაციებისთვის კი ბევრი კარგი ბრძანებაა: დამატება (შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცები!), რიცხვზე გამრავლება, მატრიცის გამრავლება (ასევეგარკვეული შეზღუდვები), ინვერსიული და ტრანსპონირებული მატრიცების პოვნა და, რაც მთავარია, დეტერმინანტის გამოთვლა. თუ ეს შრომატევადი ამოცანა შეიცვლება ერთი ბრძანებით, ბევრად უფრო სწრაფია მატრიცის რანგის დადგენა და, შესაბამისად, მისი თავსებადობის ან შეუსაბამობის დადგენა.