მატრიცები: გაუსის მეთოდი. გაუსის მატრიცის გაანგარიშება: მაგალითები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 05:32

წრფივი ალგებრა, რომელიც ისწავლება უნივერსიტეტებში სხვადასხვა სპეციალობაში, აერთიანებს ბევრ რთულ თემას. ზოგიერთი მათგანი დაკავშირებულია მატრიცებთან, აგრეთვე წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნასთან გაუსის და გაუს-იორდანიის მეთოდებით. ყველა მოსწავლე ვერ ახერხებს ამ თემების, სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრის ალგორითმების გაგებას. მოდით ერთად გავიგოთ გაუსის და გაუს-იორდანიის მატრიცები და მეთოდები.

ძირითადი ცნებები

მატრიცა ხაზოვან ალგებრაში არის ელემენტების მართკუთხა მასივი (ცხრილი). ქვემოთ მოცემულია ელემენტების ნაკრები, რომლებიც ჩასმულია ფრჩხილებში. ეს არის მატრიცები. ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან ჩანს, რომ მართკუთხა მასივების ელემენტები არ არის მხოლოდ რიცხვები. მატრიცა შეიძლება შედგებოდეს მათემატიკური ფუნქციებისგან, ალგებრული სიმბოლოებისგან.

ზოგიერთი ცნების გასაგებად, მოდით გავაკეთოთ მატრიცა A ელემენტებიდან a_ij. ინდექსები არ არის მხოლოდ ასოები: i არის ცხრილის მწკრივის რიცხვი, ხოლო j არის სვეტის ნომერი, რომლის გადაკვეთის არეშიც მდებარეობს ელემენტი.a_ij. ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ გვაქვს ისეთი ელემენტების მატრიცა, როგორიცაა a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ და ა.შ. ასო n აღნიშნავს სვეტების რაოდენობას, ხოლო ასო m აღნიშნავს რიგების რაოდენობას. სიმბოლო m × n აღნიშნავს მატრიცის განზომილებას. ეს არის კონცეფცია, რომელიც განსაზღვრავს სტრიქონების და სვეტების რაოდენობას ელემენტების მართკუთხა მასივში.

სურვილისამებრ, მატრიცას უნდა ჰქონდეს რამდენიმე სვეტი და მწკრივი. 1 × n განზომილებით, ელემენტების მასივი არის ერთსტრიქონიანი, ხოლო m × 1 განზომილებით, ეს არის ერთსვეტიანი მასივი. როდესაც რიგების რაოდენობა და სვეტების რაოდენობა ტოლია, მატრიცას კვადრატი ეწოდება. ყველა კვადრატულ მატრიცას აქვს განმსაზღვრელი (det A). ეს ტერმინი ეხება რიცხვს, რომელიც ენიჭება მატრიცას A.

კიდევ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ცნება, რომელიც უნდა გვახსოვდეს მატრიცების წარმატებით ამოხსნისთვის არის მთავარი და მეორადი დიაგონალები. მატრიცის მთავარი დიაგონალი არის დიაგონალი, რომელიც ეშვება ცხრილის მარჯვენა კუთხეში ზედა მარცხენა კუთხიდან. გვერდითი დიაგონალი მიდის მარჯვენა კუთხეში ზევით მარცხენა კუთხიდან ქვემოდან.

საფეხურიანი მატრიცის ხედი

შეხედეთ სურათს ქვემოთ. მასზე ნახავთ მატრიცას და დიაგრამას. ჯერ მატრიცას გავუმკლავდეთ. ხაზოვან ალგებრაში ამ ტიპის მატრიცას ეწოდება საფეხურების მატრიცა. მას აქვს ერთი თვისება: თუ a_ij არის პირველი არანულოვანი ელემენტი i-ე მწკრივში, მაშინ ყველა სხვა ელემენტი მატრიციდან ქვემოთ და მარცხნივ a_ij. , ნულოვანია (ანუ ყველა ის ელემენტი, რომელსაც შეიძლება მიენიჭოს ასოს აღნიშვნა a_kl, სადაც k>i დაl<j).

ახლა განიხილეთ დიაგრამა. ის ასახავს მატრიცის საფეხუროვან ფორმას. სქემაში ნაჩვენებია 3 ტიპის უჯრედი. თითოეული ტიპი აღნიშნავს გარკვეულ ელემენტებს:

• ცარიელი უჯრედები - მატრიცის ნულოვანი ელემენტები;
• დაჩრდილული უჯრედები არის თვითნებური ელემენტები, რომლებიც შეიძლება იყოს როგორც ნულოვანი, ასევე არა-ნულოვანი;
• შავი კვადრატები არის არანულოვანი ელემენტები, რომლებსაც უწოდებენ კუთხის ელემენტებს, „ნაბიჯებს“(მატრიცაში, რომელიც ნაჩვენებია მათ გვერდით, ასეთი ელემენტებია რიცხვები –1, 5, 3, 8).

მატრიცების ამოხსნისას ზოგჯერ შედეგი არის ის, რომ ნაბიჯის "სიგრძე" 1-ზე მეტია. ეს დასაშვებია. მხოლოდ ნაბიჯების "სიმაღლე" აქვს მნიშვნელობა. საფეხურების მატრიცაში ეს პარამეტრი ყოველთვის უნდა იყოს ერთის ტოლი.

მატრიცის შემცირება საფეხურზე

ნებისმიერი მართკუთხა მატრიცა შეიძლება გარდაიქმნას საფეხურზე. ეს ხდება ელემენტარული გარდაქმნების გზით. მათ შორისაა:

• სტრიქონების გადაწყობა;
• ერთ სტრიქონს კიდევ ერთი სტრიქონის დამატება, საჭიროების შემთხვევაში გამრავლებული რაღაც რიცხვზე (შეგიძლიათ შეასრულოთ გამოკლების ოპერაციაც).

მოდით განვიხილოთ ელემენტარული გარდაქმნები კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს მატრიცას A, რომელიც უნდა შემცირდეს საფეხურზე.

პრობლემის გადასაჭრელად მივყვებით ალგორითმს:

• მოხერხებულია მატრიცაზე ტრანსფორმაციების შესრულებაპირველი ელემენტი ზედა მარცხენა კუთხეში (ანუ "წამყვანი" ელემენტი) არის 1 ან -1. ჩვენს შემთხვევაში, პირველი ელემენტი ზედა მწკრივში არის 2, ასე რომ, მოდით გავცვალოთ პირველი და მეორე რიგები.
• მოდით, შევასრულოთ გამოკლების მოქმედებები, რაც გავლენას მოახდენს მე-2, მე-3 და მე-4 მწკრივებზე. პირველ სვეტში უნდა მივიღოთ ნულები "წამყვანი" ელემენტის ქვეშ. ამ შედეგის მისაღწევად: No2 სტრიქონის ელემენტებს თანმიმდევრულად ვაკლებთ 1-ლი ხაზის ელემენტებს გამრავლებულ 2-ზე; მე-3 სტრიქონის ელემენტებს თანმიმდევრულად ვაკლებთ 1-ლი სტრიქონის ელემენტებს, გამრავლებული 4-ზე; მე-4 სტრიქონის ელემენტებს თანმიმდევრულად ვაკლებთ 1-ლი ხაზის ელემენტებს.
• შემდეგ, ჩვენ ვიმუშავებთ შეკვეცილი მატრიცით (1 სვეტის გარეშე და 1 მწკრივის გარეშე). ახალი "წამყვანი" ელემენტი, რომელიც დგას მეორე სვეტისა და მეორე რიგის გადაკვეთაზე, უდრის -1. არ არის საჭირო ხაზების გადაწყობა, ამიტომ პირველ სვეტს და პირველ და მეორე სტრიქონებს გადავიწერთ ცვლილებების გარეშე. შევასრულოთ გამოკლების მოქმედებები, რათა მეორე სვეტში მივიღოთ ნულები "წამყვანი" ელემენტის ქვეშ: მესამე ხაზის ელემენტებს თანმიმდევრულად გამოვაკლებთ მეორე ხაზის ელემენტებს, გამრავლებული 3-ზე; გამოვაკლოთ მეორე ხაზის ელემენტები გამრავლებული 2-ზე მეოთხე ხაზის ელემენტებს.
• რჩება ბოლო ხაზის შეცვლა. მის ელემენტებს თანმიმდევრულად ვაკლებთ მესამე რიგის ელემენტებს. ამრიგად, მივიღეთ საფეხუროვანი მატრიცა.

მატრიცების დაყვანა საფეხურების ფორმამდე გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემების (SLE) ამოხსნისას გაუსის მეთოდით. სანამ ამ მეთოდს განვიხილავთ, მოდით გავიგოთ SLN-თან დაკავშირებული ზოგიერთი ტერმინი.

წრფივი განტოლებების მატრიცები და სისტემები

მატრიცები გამოიყენება სხვადასხვა მეცნიერებაში. რიცხვების ცხრილების გამოყენებით, შეგიძლიათ, მაგალითად, ამოხსნათ სისტემაში გაერთიანებული წრფივი განტოლებები გაუსის მეთოდით. პირველ რიგში, მოდით გავეცნოთ რამდენიმე ტერმინს და მათ განმარტებებს და ასევე ვნახოთ, როგორ იქმნება მატრიცა სისტემიდან, რომელიც აერთიანებს რამდენიმე წრფივ განტოლებას.

SLU – რამდენიმე კომბინირებული ალგებრული განტოლება პირველი სიმძლავრის უცნობებით და პროდუქტის ტერმინების გარეშე.

SLE ამონახსნი - ნაპოვნი უცნობის მნიშვნელობები, რომელთა ჩანაცვლებით სისტემაში განტოლებები იდენტურებად იქცევა.

ერთობლივი SLE არის განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი.

არათანმიმდევრული SLE არის განტოლებათა სისტემა, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები.

როგორ იქმნება მატრიცა სისტემაზე, რომელიც აერთიანებს წრფივ განტოლებებს? არსებობს ისეთი ცნებები, როგორიცაა სისტემის ძირითადი და გაფართოებული მატრიცები. სისტემის მთავარი მატრიცის მისაღებად, აუცილებელია ცხრილში ჩასვათ ყველა კოეფიციენტი უცნობისთვის. გაფართოებული მატრიცა მიიღება ძირითად მატრიცაში თავისუფალი ტერმინების სვეტის დამატებით (ის მოიცავს ცნობილ ელემენტებს, რომლებთანაც სისტემის თითოეული განტოლება არის გათანაბრებული). თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ მთელი ეს პროცესი ქვემოთ მოცემული სურათის შესწავლით.

პირველი, რასაც სურათზე ვხედავთ, არის სისტემა, რომელიც მოიცავს წრფივ განტოლებებს. მისი ელემენტები: a_ij - რიცხვითი კოეფიციენტები, x_j - უცნობი მნიშვნელობები, b_i - მუდმივი წევრები (სადაც i=1, 2, …, m, და j=1, 2, …, n). მეორე ელემენტი სურათზე არის კოეფიციენტების ძირითადი მატრიცა. თითოეული განტოლებიდან კოეფიციენტები იწერება ზედიზედ. შედეგად, მატრიცაში იმდენი მწკრივია, რამდენი განტოლებაა სისტემაში. სვეტების რაოდენობა უდრის კოეფიციენტების ყველაზე დიდ რაოდენობას ნებისმიერ განტოლებაში. სურათზე მესამე ელემენტი არის გაძლიერებული მატრიცა თავისუფალი ტერმინების სვეტით.

ზოგადი ინფორმაცია გაუსის მეთოდის შესახებ

წრფივი ალგებრაში გაუსის მეთოდი არის SLE-ის ამოხსნის კლასიკური გზა. იგი ატარებს კარლ ფრიდრიხ გაუსის სახელს, რომელიც ცხოვრობდა მე-18-19 საუკუნეებში. ეს არის ყველა დროის ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი. გაუსის მეთოდის არსი არის ელემენტარული გარდაქმნების შესრულება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემაზე. გარდაქმნების დახმარებით SLE მცირდება სამკუთხა (საფეხურიანი) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე, საიდანაც ყველა ცვლადი შეიძლება მოიძებნოს.

აღსანიშნავია, რომ კარლ ფრიდრიხ გაუსი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის კლასიკური მეთოდის აღმომჩენი. მეთოდი გაცილებით ადრე გამოიგონეს. მისი პირველი აღწერა გვხვდება ძველი ჩინელი მათემატიკოსების ცოდნის ენციკლოპედიაში, სახელწოდებით "მათემატიკა 9 წიგნში".

გაუსის მეთოდით SLE ამოხსნის მაგალითი

მოდით განვიხილოთ სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით კონკრეტულ მაგალითზე. ჩვენ ვიმუშავებთ სურათზე ნაჩვენები SLU-ით.

ამოხსნის ალგორითმი:

1. გაუსის მეთოდის პირდაპირი მოძრაობით ჩვენ სისტემას მივაქცევთ საფეხურზე, მაგრამ ჯერჩვენ შევადგენთ რიცხვითი კოეფიციენტებისა და თავისუფალი წევრების გაფართოებულ მატრიცას.
2. გაუსის მეთოდით მატრიცის ამოსახსნელად (ანუ საფეხურზე მიყვანა), მეორე და მესამე მწკრივის ელემენტებს თანმიმდევრულად ვაკლებთ პირველი რიგის ელემენტებს. ჩვენ ვიღებთ ნულებს პირველ სვეტში "წამყვანი" ელემენტის ქვეშ. შემდეგი, ჩვენ შევცვლით მეორე და მესამე ხაზებს ადგილებზე მოხერხებულობისთვის. ბოლო რიგის ელემენტებს თანმიმდევრულად დაამატეთ მეორე რიგის ელემენტები, გამრავლებული 3-ზე.
3. გაუსის მეთოდით მატრიცის გამოთვლის შედეგად მივიღეთ ელემენტების საფეხუროვანი მასივი. მასზე დაყრდნობით შევადგენთ წრფივი განტოლებების ახალ სისტემას. გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსით ვპოულობთ უცნობი ტერმინების მნიშვნელობებს. ბოლო წრფივი განტოლებიდან ჩანს, რომ x₃ უდრის 1-ს. ჩვენ ამ მნიშვნელობას ვცვლით სისტემის მეორე სტრიქონში. თქვენ მიიღებთ განტოლებას x₂ – 4=–4. აქედან გამომდინარეობს, რომ x₂ უდრის 0-ს. ჩაანაცვლეთ x₂ და x₃ სისტემის პირველ განტოლებაში: x1 _{+ 0 +3=2. უცნობი ტერმინია -1.}

პასუხი: მატრიცის გამოყენებით, გაუსის მეთოდით, ვიპოვეთ უცნობის მნიშვნელობები; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

გაუს-იორდანიის მეთოდი

წრფივი ალგებრაში ასევე არსებობს გაუს-იორდანიის მეთოდი. იგი ითვლება გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციად და გამოიყენება შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად, ალგებრული წრფივი განტოლებების კვადრატული სისტემების უცნობი ტერმინების გამოსათვლელად. გაუს-იორდანიის მეთოდი მოსახერხებელია იმით, რომ ის საშუალებას იძლევა ამოხსნას SLE ერთი ნაბიჯით (პირდაპირი და ინვერსიის გამოყენების გარეშემოძრაობს).

მოდით დავიწყოთ ტერმინით "შებრუნებული მატრიცა". დავუშვათ, რომ გვაქვს მატრიცა A. მისი შებრუნებული იქნება მატრიცა A^-1, ხოლო პირობა აუცილებლად დაკმაყოფილებულია: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, ანუ ამ მატრიცების ნამრავლი უდრის იდენტურობის მატრიცის (იდენტურობის მატრიცის მთავარი დიაგონალის ელემენტები არის ერთი, ხოლო დანარჩენი ელემენტები ნული).}

მნიშვნელოვანი ნიუანსი: წრფივ ალგებრაში არსებობს თეორემა შებრუნებული მატრიცის არსებობის შესახებ. საკმარისი და აუცილებელი პირობა A^-1 მატრიცის არსებობისთვის არის A მატრიცა არასინგული.

ძირითადი საფეხურები, რომლებსაც ეფუძნება გაუს-იორდანიის მეთოდი:

1. შეხედეთ კონკრეტული მატრიცის პირველ რიგში. გაუს-იორდანიის მეთოდი შეიძლება დაიწყოს, თუ პირველი მნიშვნელობა არ არის ნულის ტოლი. თუ პირველი ადგილი არის 0, მაშინ შეცვალეთ რიგები ისე, რომ პირველ ელემენტს ჰქონდეს არანულოვანი მნიშვნელობა (სასურველია, რომ რიცხვი ერთთან უფრო ახლოს იყოს).
2. გაყავით პირველი რიგის ყველა ელემენტი პირველ რიცხვზე. თქვენ მიიღებთ სტრიქონს, რომელიც იწყება ერთით.
3. მეორე სტრიქონს გამოაკელით პირველი სტრიქონი გამრავლებული მეორე სტრიქონის პირველ ელემენტზე, ანუ ბოლოს მიიღებთ ხაზს, რომელიც იწყება ნულიდან. იგივე გააკეთე დანარჩენი ხაზებისთვის. გაყავით თითოეული ხაზი მის პირველ არანულ ელემენტზე, რომ მიიღოთ 1 დიაგონალზე.
4. შედეგად, თქვენ მიიღებთ ზედა სამკუთხა მატრიცას Gauss-Jordan მეთოდის გამოყენებით. მასში მთავარი დიაგონალი წარმოდგენილია ერთეულებით. ქვედა კუთხე ივსება ნულებით დაზედა კუთხე - სხვადასხვა მნიშვნელობები.
5. წინა ბოლო წრფეს გამოაკელით ბოლო სტრიქონი გამრავლებული საჭირო კოეფიციენტზე. თქვენ უნდა მიიღოთ სტრიქონი ნულებით და ერთით. დანარჩენი ხაზებისთვის გაიმეორეთ იგივე მოქმედება. ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიიღება იდენტურობის მატრიცა.

შებრუნებული მატრიცის პოვნის მაგალითი გაუს-იორდანიის მეთოდით

შებრუნებული მატრიცის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა დაწეროთ გაძლიერებული მატრიცა A|E და შეასრულოთ საჭირო გარდაქმნები. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს მატრიცას A.

გადაწყვეტა:

1. პირველ რიგში, ვიპოვოთ მატრიცის განმსაზღვრელი გაუსის მეთოდის გამოყენებით (დეტ A). თუ ეს პარამეტრი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მატრიცა ჩაითვლება არაინგულარული. ეს საშუალებას მოგვცემს დავასკვნათ, რომ A-ს ნამდვილად აქვს A^-1. დეტერმინანტის გამოსათვლელად, ჩვენ მატრიცას გადავიყვანთ ეტაპობრივ ფორმად ელემენტარული გარდაქმნებით. დავთვალოთ K რიცხვი მწკრივის პერმუტაციების რაოდენობის ტოლი. ხაზები მხოლოდ 1-ჯერ შევცვალეთ. გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი. მისი მნიშვნელობა ტოლი იქნება მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლის, გამრავლებული (–1)^K-ზე. გაანგარიშების შედეგი: det A=2.
2. შეადგინეთ გაზრდილი მატრიცა ორიგინალურ მატრიცას იდენტურობის მატრიცის დამატებით. ელემენტების შედეგად მიღებული მასივი გამოყენებული იქნება შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად გაუს-იორდანიის მეთოდით.
3. პირველი ელემენტი პირველ რიგში უდრის ერთს. ეს გვიწყობს, რადგან არ არის საჭირო ხაზების გადაწყობა და მოცემული წრფის გაყოფა რომელიმე რიცხვზე. დავიწყოთ მუშაობამეორე და მესამე ხაზებით. მეორე მწკრივის პირველი ელემენტის 0-ად გადასაყვანად, მეორე მწკრივს გამოაკელით პირველი მწკრივი, გამრავლებული 3-ით. გამოაკლეთ პირველი რიგი მესამე მწკრივს (გამრავლება საჭირო არ არის).
4. მიღებულ მატრიცაში მეორე რიგის მეორე ელემენტია -4, ხოლო მესამე რიგის მეორე ელემენტი არის -1. მოდით გავცვალოთ ხაზები მოხერხებულობისთვის. მესამე მწკრივს გამოვაკლოთ მეორე მწკრივი გამრავლებული 4-ზე. მეორე მწკრივი გავყოთ -1-ზე და მესამე მწკრივი 2-ზე. მივიღებთ ზედა სამკუთხა მატრიცას.
5. მოდით მეორე სტრიქონს გამოვაკლოთ 4-ზე გამრავლებული ბოლო სტრიქონი, პირველი სტრიქონის ბოლო სტრიქონი გამრავლებული 5-ზე.შემდეგ პირველ სტრიქონს გამოვაკლოთ მეორე სტრიქონი გამრავლებული 2-ზე.მარცხენა მხარეს მივიღეთ პირადობის მატრიცა. მარჯვნივ არის შებრუნებული მატრიცა.

გაუს-იორდანიის მეთოდით SLE ამოხსნის მაგალითი

სურათზე ნაჩვენებია წრფივი განტოლებათა სისტემა. საჭიროა უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების პოვნა მატრიცის გამოყენებით, გაუს-იორდანიის მეთოდით.

გადაწყვეტა:

1. მოდით შევქმნათ გაძლიერებული მატრიცა. ამისთვის ცხრილში ჩავსვამთ კოეფიციენტებს და თავისუფალ წევრებს.
2. გაუს-იორდანიის მეთოდის გამოყენებით ამოხსენით მატრიცა. მე-2 სტრიქონს გამოვაკლებთ 1 სტრიქონს. მე-3 სტრიქონს გამოვაკლებთ 1 სტრიქონს, ადრე გამრავლებული 2-ზე.
3. შეცვალეთ 2 და 3 რიგები.
4. 3 სტრიქონს გამოაკელი 2 სტრიქონი გამრავლებული 2-ზე. მიღებული მესამე ხაზი გაყავით –1-ზე.
5. გამოაკლეთ მე-3 სტრიქონი მე-2 სტრიქონს.
6. 1 სტრიქონის გამოკლება 1 სტრიქონიდან2-ჯერ -1. გვერდზე მივიღეთ სვეტი, რომელიც შედგება 0, 1 და -1 რიცხვებისგან. აქედან დავასკვნათ, რომ x₁=0, x₂=1 და x₃ =–1.

სურვილისამებრ, შეგიძლიათ გადაამოწმოთ ამოხსნის სისწორე გამოთვლილი მნიშვნელობების განტოლებით ჩანაცვლებით:

• 0 – 1=–1, სისტემიდან პირველი იდენტურობა სწორია;
• 0 + 1 + (–1)=0, სისტემიდან მეორე იდენტურობა სწორია;
• 0 – 1 + (–1)=–2, სისტემიდან მესამე იდენტურობა სწორია.

დასკვნა: გაუს-იორდანიის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვნეთ სწორი ამონახსნები კვადრატული სისტემისთვის, რომელიც აერთიანებს წრფივ ალგებრულ განტოლებებს.

ონლაინ კალკულატორები

დღევანდელი ახალგაზრდების ცხოვრება, რომლებიც სწავლობენ უნივერსიტეტებში და სწავლობენ ხაზოვან ალგებრას, მნიშვნელოვნად გამარტივდა. რამდენიმე წლის წინ, ჩვენ მოგვიწია სისტემების გადაწყვეტილებების მოძიება გაუსის და გაუს-იორდანიის მეთოდის გამოყენებით. ზოგი მოსწავლე წარმატებით ართმევდა თავს დავალებებს, ზოგი კი იბნეოდა ამოხსნაში, უშვებდა შეცდომებს, სთხოვდა თანაკლასელებს დახმარებას. დღეს შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორები საშინაო დავალების შესრულებისას. წრფივი განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად, შებრუნებული მატრიცების ძიება, დაიწერა პროგრამები, რომლებიც აჩვენებენ არა მხოლოდ სწორ პასუხებს, არამედ აჩვენებენ კონკრეტული ამოცანის ამოხსნის პროგრესს.

ინტერნეტში ბევრი რესურსია ჩაშენებული ონლაინ კალკულატორებით. გაუსის მატრიცები, განტოლებათა სისტემები ამ პროგრამებით ხსნიან რამდენიმე წამში. სტუდენტებს მხოლოდ საჭირო პარამეტრების მითითება სჭირდებათ (მაგალითად, განტოლებების რაოდენობა,ცვლადების რაოდენობა).