მატრიცა არის სპეციალური ობიექტი მათემატიკაში. იგი გამოსახულია მართკუთხა ან კვადრატული ცხრილის სახით, რომელიც შედგება გარკვეული რაოდენობის სტრიქონებისა და სვეტებისგან. მათემატიკაში არსებობს მატრიცების მრავალფეროვნება, რომლებიც განსხვავდება ზომით ან შინაარსით. მისი რიგებისა და სვეტების რიცხვებს ბრძანებები ეწოდება. ეს ობიექტები გამოიყენება მათემატიკაში წრფივი განტოლებების სისტემების ჩაწერის ორგანიზებისთვის და მათი შედეგების მოსახერხებლად მოსაძებნად. მატრიცის გამოყენებით განტოლებები იხსნება კარლ გაუსის, გაბრიელ კრამერის, მცირე და ალგებრული დამატებების მეთოდით და მრავალი სხვა გზით. მატრიცებთან მუშაობის ძირითადი უნარია მათი სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა. თუმცა, ჯერ გავარკვიოთ, რა ტიპის მატრიცებს გამოირჩევიან მათემატიკოსები.
ნულის ტიპი
ამ სახის მატრიცის ყველა კომპონენტი არის ნულები. იმავდროულად, მისი რიგებისა და სვეტების რაოდენობა სრულიად განსხვავებულია.
კვადრატის ტიპი
ამ ტიპის მატრიცის სვეტების და რიგების რაოდენობა იგივეა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის "კვადრატული" ფორმის მაგიდა. მისი სვეტების (ან სტრიქონების) რაოდენობას ბრძანება ეწოდება. განსაკუთრებული შემთხვევებია მეორე რიგის მატრიცის არსებობა (მატრიცა 2x2), მეოთხე რიგის (4x4), მეათე (10x10), მეჩვიდმეტე (17x17) და ასე შემდეგ.
სვეტის ვექტორი
ეს არის მატრიცების ერთ-ერთი უმარტივესი ტიპი, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ სვეტს, რომელიც მოიცავს სამ ციფრულ მნიშვნელობას. იგი წარმოადგენს თავისუფალი ტერმინების სერიას (ცვლადებისაგან დამოუკიდებელი რიცხვები) წრფივი განტოლებების სისტემებში.
მწკრივის ვექტორი
იხილეთ წინა მსგავსი. შედგება სამი რიცხვითი ელემენტისგან, რომლებიც თავის მხრივ ორგანიზებულია ერთ ხაზზე.
დიაგონალის ტიპი
მხოლოდ ძირითადი დიაგონალის კომპონენტები (მონიშნული მწვანეში) იღებენ ციფრულ მნიშვნელობებს მატრიცის დიაგონალურ ფორმაში. მთავარი დიაგონალი იწყება ელემენტით ზედა მარცხენა კუთხეში და მთავრდება ელემენტით, შესაბამისად, ქვედა მარჯვნივ. დანარჩენი კომპონენტები ნულის ტოლია. დიაგონალური ტიპი არის მხოლოდ გარკვეული რიგის კვადრატული მატრიცა. დიაგონალური ფორმის მატრიცებს შორის შეიძლება გამოვყოთ სკალარული. მისი ყველა კომპონენტი იღებს ერთსა და იმავე მნიშვნელობებს.
იდენტიფიკაციის მატრიცა
დიაგონალური მატრიცის ქვესახეობა. მისი ყველა რიცხვითი მნიშვნელობა არის ერთეული. ერთი ტიპის მატრიცული ცხრილების გამოყენებით, შეასრულეთ მისი ძირითადი გარდაქმნები ან იპოვეთ მატრიცა თავდაპირველის საპირისპიროდ.
კანონიკური ტიპი
მატრიცის კანონიკური ფორმა ითვლება ერთ-ერთ მთავარ; მასზე ჩამოსხმა ხშირად საჭიროა სამუშაოდ. კანონიკურ მატრიცაში მწკრივებისა და სვეტების რაოდენობა განსხვავებულია, ის აუცილებლად არ მიეკუთვნება კვადრატულ ტიპს. ის გარკვეულწილად წააგავს იდენტობის მატრიცას, თუმცა, მის შემთხვევაში, მთავარი დიაგონალის ყველა კომპონენტი არ იღებს ერთის ტოლ მნიშვნელობას. შეიძლება იყოს ორი ან ოთხი ძირითადი დიაგონალური ერთეული (ეს ყველაფერი დამოკიდებულია მატრიცის სიგრძეზე და სიგანეზე). ან შეიძლება საერთოდ არ იყოს ერთეული (მაშინ იგი ითვლება ნულამდე). კანონიკური ტიპის დანარჩენი კომპონენტები, აგრეთვე დიაგონალისა და იდენტურობის ელემენტები ნულის ტოლია.
სამკუთხედის ტიპი
მატრიცის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ტიპი, რომელიც გამოიყენება მისი დეტერმინანტის ძიებისას და მარტივი ოპერაციების შესრულებისას. სამკუთხა ტიპი მოდის დიაგონალური ტიპიდან, ამიტომ მატრიცა ასევე კვადრატულია. მატრიცის სამკუთხა ხედი იყოფა ზედა სამკუთხედად და ქვედა სამკუთხედად.
ზედა სამკუთხა მატრიცაში (ნახ. 1), მხოლოდ ელემენტები, რომლებიც მდებარეობენ მთავარ დიაგონალზე, იღებენ ნულის ტოლ მნიშვნელობას. თავად დიაგონალის კომპონენტები და მის ქვემოთ მატრიცის ნაწილი შეიცავს ციფრულ მნიშვნელობებს.
ქვედა სამკუთხა მატრიცაში (ნახ. 2), პირიქით, მატრიცის ქვედა ნაწილში განლაგებული ელემენტები ნულის ტოლია.
საფეხურის მატრიცა
ხედვა აუცილებელია მატრიცის რანგის საპოვნელად, ასევე მათზე ელემენტარული მოქმედებებისთვის (სამკუთხა ტიპთან ერთად). ნაბიჯების მატრიცა ასე დასახელებულია, რადგან ის შეიცავს ნულების დამახასიათებელ "ნაბიჯებს" (როგორც ნაჩვენებია სურათზე). საფეხურიან ტიპში იქმნება ნულების დიაგონალი (არ არის აუცილებელი მთავარი), და ამ დიაგონალის ქვეშ მყოფ ყველა ელემენტს ასევე აქვს ნულის ტოლი მნიშვნელობები. წინაპირობაა შემდეგი: თუ საფეხურების მატრიცაში არის ნულოვანი მწკრივი, მაშინ მის ქვემოთ დარჩენილი რიგები ასევე არ შეიცავს ციფრულ მნიშვნელობებს.
ამგვარად, ჩვენ განვიხილეთ მათთან მუშაობისთვის საჭირო მატრიცების ყველაზე მნიშვნელოვანი ტიპები. ახლა მოდით გაუმკლავდეთ მატრიცის საჭირო ფორმაში გადაქცევის ამოცანას.
შემცირება სამკუთხა ფორმამდე
როგორ მივიყვანოთ მატრიცა სამკუთხა ფორმამდე? ყველაზე ხშირად, დავალებების დროს, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ მატრიცა სამკუთხა ფორმაში, რათა იპოვოთ მისი განმსაზღვრელი, რომელსაც სხვაგვარად უწოდებენ დეტერმინანტს. ამ პროცედურის შესრულებისას ძალზე მნიშვნელოვანია მატრიცის მთავარი დიაგონალის „შენახვა“, რადგან სამკუთხა მატრიცის განმსაზღვრელი არის ზუსტად მისი ძირითადი დიაგონალის კომპონენტების პროდუქტი. ნება მომეცით შეგახსენოთ დეტერმინანტის პოვნის ალტერნატიული მეთოდებიც. კვადრატული ტიპის განმსაზღვრელი გვხვდება სპეციალური ფორმულების გამოყენებით. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სამკუთხედის მეთოდი. სხვა მატრიცებისთვის გამოიყენება მწკრივის, სვეტის ან მათი ელემენტების მიხედვით დაშლის მეთოდი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ მატრიცის მინორებისა და ალგებრული დანამატების მეთოდი.
დეტალებიმოდით გავაანალიზოთ მატრიცის სამკუთხა ფორმაში მიყვანის პროცესი ზოგიერთი დავალების მაგალითების გამოყენებით.
ამოცანა 1
აუცილებელია ვიპოვოთ წარმოდგენილი მატრიცის განმსაზღვრელი მისი სამკუთხა ფორმამდე მიყვანის მეთოდის გამოყენებით.
ჩვენთვის მოცემული მატრიცა არის მესამე რიგის კვადრატული მატრიცა. ამიტომ, რომ სამკუთხა ფორმად გადავიტანოთ, უნდა გავაუქმოთ პირველი სვეტის ორი კომპონენტი და მეორის ერთი კომპონენტი.
სამკუთხა ფორმამდე მისასვლელად დაიწყეთ ტრანსფორმაცია მატრიცის ქვედა მარცხენა კუთხიდან - რიცხვიდან 6. იმისათვის რომ ნულამდე მივიყვანოთ პირველი მწკრივი გავამრავლოთ სამზე და გამოვაკლოთ ბოლო მწკრივს.
მნიშვნელოვანია! ზედა ხაზი არ იცვლება, მაგრამ იგივე რჩება როგორც თავდაპირველ მატრიცაში. თქვენ არ გჭირდებათ სტრიქონის ოთხჯერ დაწერა ორიგინალზე. მაგრამ იმ სტრიქონების მნიშვნელობები, რომელთა კომპონენტები უნდა გაუქმდეს, მუდმივად იცვლება.
შემდეგ, მოდით გაუმკლავდეთ შემდეგ მნიშვნელობას - პირველი სვეტის მეორე რიგის ელემენტს, ნომერი 8. პირველი მწკრივი გავამრავლოთ ოთხზე და გამოვაკლოთ მეორე მწკრივს. ჩვენ ვიღებთ ნულს.
რჩება მხოლოდ ბოლო მნიშვნელობა - მეორე სვეტის მესამე რიგის ელემენტი. ეს არის რიცხვი (-1). ნულზე გადასაყვანად, გამოაკლეთ მეორე პირველ ხაზს.
მოდით შევამოწმოთ:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
ასე რომ პასუხი ამოცანაზე არის -22.
ამოცანა 2
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მატრიცის განმსაზღვრელი სამკუთხა ფორმამდე მიყვანით.
წარმოდგენილი მატრიცამიეკუთვნება კვადრატულ ტიპს და არის მეოთხე რიგის მატრიცა. ეს ნიშნავს, რომ პირველი სვეტის სამი კომპონენტი, მეორე სვეტის ორი კომპონენტი და მესამე სვეტის ერთი კომპონენტი უნდა იყოს ნულოვანი.
დავიწყოთ მისი შემცირება ქვედა მარცხენა კუთხეში მდებარე ელემენტიდან - რიცხვიდან 4. ეს რიცხვი უნდა გადავაქციოთ ნულზე. ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა ზედა რიგის ოთხზე გამრავლება და შემდეგ მეოთხე მწკრივს გამოკლება. ჩამოვწეროთ ტრანსფორმაციის პირველი ეტაპის შედეგი.
ასე რომ, მეოთხე ხაზის კომპონენტი დაყენებულია ნულზე. გადავიდეთ მესამე სტრიქონის პირველ ელემენტზე 3 რიცხვზე. ანალოგიურ ოპერაციას ვასრულებთ. გაამრავლე პირველი სტრიქონი სამზე, გამოაკელი მესამე სტრიქონს და დაწერე შედეგი.
შემდეგი, მეორე სტრიქონში ვხედავთ ნომერ 2-ს. ვიმეორებთ ოპერაციას: გავამრავლოთ ზედა მწკრივი ორზე და გამოვაკლოთ მეორეს.
ჩვენ მოვახერხეთ ამ კვადრატული მატრიცის პირველი სვეტის ყველა კომპონენტის ნულზე დაყენება, გარდა რიცხვისა 1-ისა, მთავარი დიაგონალის ელემენტისა, რომელიც არ საჭიროებს ტრანსფორმაციას. ახლა მნიშვნელოვანია, რომ შევინარჩუნოთ მიღებული ნულები, ასე რომ ჩვენ ვასრულებთ გარდაქმნებს რიგებით და არა სვეტებით. გადავიდეთ წარმოდგენილი მატრიცის მეორე სვეტზე.
დავიწყოთ ისევ ქვემოდან - ბოლო რიგის მეორე სვეტის ელემენტიდან. ეს არის რიცხვი (-7). თუმცა, ამ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია დავიწყოთ რიცხვით (-1) - მესამე რიგის მეორე სვეტის ელემენტი. ნულზე გადასაყვანად მეორე რიგს გამოაკელით მესამე მწკრივს. შემდეგ მეორე რიგს ვამრავლებთ შვიდზე და ვაკლებთ მეოთხეს. მეორე სვეტის მეოთხე რიგში მდებარე ელემენტის ნაცვლად მივიღეთ ნული. ახლა გადავიდეთ მესამეზესვეტი.
ამ სვეტში ნულზე უნდა გადავიტანოთ მხოლოდ ერთი რიცხვი - 4. ამის გაკეთება მარტივია: უბრალოდ დაამატეთ მესამე ბოლო სტრიქონს და ნახეთ ჩვენთვის საჭირო ნული.
ყველა გარდაქმნის შემდეგ შემოთავაზებული მატრიცა სამკუთხა ფორმამდე მივიღეთ. ახლა, მისი განმსაზღვრელი რომ იპოვოთ, საჭიროა მხოლოდ ძირითადი დიაგონალის შედეგად მიღებული ელემენტების გამრავლება. მივიღებთ: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. მაშასადამე, ამონახსნი არის რიცხვი 160.
ასე რომ, ახლა მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე მიყვანის საკითხი არ გაგიჭირდებათ.
შემცირება საფეხურზე
მატრიცებზე ელემენტარულ ოპერაციებში საფეხურიანი ფორმა ნაკლებად "მოთხოვნილია", ვიდრე სამკუთხა. ის ყველაზე ხშირად გამოიყენება მატრიცის რანგის საპოვნელად (ანუ მისი არანულოვანი მწკრივების რაოდენობის) ან წრფივად დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მწკრივების დასადგენად. თუმცა, საფეხურიანი მატრიცის ხედი უფრო მრავალმხრივია, რადგან ის შესაფერისია არა მხოლოდ კვადრატული ტიპისთვის, არამედ ყველა დანარჩენისთვის.
მატრიცას საფეხურზე დასაყვანად, ჯერ უნდა იპოვოთ მისი განმსაზღვრელი. ამისათვის ზემოაღნიშნული მეთოდები შესაფერისია. დეტერმინანტის პოვნის მიზანია იმის გარკვევა, შესაძლებელია თუ არა მისი გადაქცევა საფეხურების მატრიცაში. თუ განმსაზღვრელი მეტია ან ნაკლებია ნულზე, მაშინ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გააგრძელოთ დავალება. თუ ის ნულის ტოლია, მატრიცის საფეხურზე დაყვანა არ იმუშავებს. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ, არის თუ არა შეცდომები ჩანაწერში ან მატრიცის გარდაქმნებში. თუ ასეთი უზუსტობები არ არის, ამოცანის ამოხსნა შეუძლებელია.
ვნახოთ როგორმიიტანეთ მატრიცა საფეხურზე რამდენიმე დავალების მაგალითების გამოყენებით.
ამოცანა 1. იპოვეთ მოცემული მატრიცის ცხრილის რანგი.
ჩვენს წინაშე არის მესამე რიგის კვადრატული მატრიცა (3x3). ვიცით, რომ წოდების საპოვნელად აუცილებელია მისი დაყვანა საფეხურზე. ამიტომ, ჯერ უნდა ვიპოვოთ მატრიცის განმსაზღვრელი. სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
განმსაზღვრელი=12. ის მეტია ნულზე, რაც ნიშნავს, რომ მატრიცა შეიძლება შემცირდეს საფეხურზე. დავიწყოთ მისი გარდაქმნები.
დავიწყოთ მესამე რიგის მარცხენა სვეტის ელემენტით - რიცხვი 2. ზედა მწკრივი გავამრავლოთ ორზე და გამოვაკლოთ მესამეს. ამ ოპერაციის წყალობით, ჩვენთვის საჭირო ელემენტიც და ნომერი 4 - მესამე რიგის მეორე სვეტის ელემენტი, გადაიქცა ნულში.
შემდეგი ნულზე გადააქციეთ პირველი სვეტის მეორე რიგის ელემენტი - რიცხვი 3. ამისათვის ზედა მწკრივი გავამრავლოთ სამზე და გამოვაკლოთ მეორეს.
ჩვენ ვხედავთ, რომ შემცირებამ გამოიწვია სამკუთხა მატრიცა. ჩვენს შემთხვევაში ტრანსფორმაციის გაგრძელება შეუძლებელია, რადგან დარჩენილი კომპონენტების ნულზე გადაქცევა შეუძლებელია.
ასე რომ, დავასკვნით, რომ რიცხვითი მნიშვნელობების შემცველი მწკრივების რაოდენობა ამ მატრიცაში (ან მის რანგში) არის 3. პასუხი დავალებაზე: 3.
ამოცანა 2. განსაზღვრეთ ამ მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების რაოდენობა.
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სტრიქონები, რომელთა შეცვლა შეუძლებელია რაიმე ტრანსფორმაციებითნულამდე. სინამდვილეში, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არა-ნულოვანი მწკრივების რაოდენობა, ან წარმოდგენილი მატრიცის რანგი. ამისათვის მოდით გავამარტივოთ.
ჩვენ ვხედავთ მატრიცას, რომელიც არ ეკუთვნის კვადრატულ ტიპს. აქვს ზომები 3x4. ასევე დავიწყოთ მსახიობი ქვედა მარცხენა კუთხის ელემენტიდან - რიცხვით (-1).
დაამატე პირველი ხაზი მესამეს. შემდეგ, გამოაკლეთ მას მეორე, რომ რიცხვი 5 გადააქციოთ ნულამდე.
შეუძლებელია შემდგომი ტრანსფორმაციები. ასე რომ, დავასკვნათ, რომ მასში წრფივად დამოუკიდებელი ხაზების რაოდენობა და დავალების პასუხი არის 3.
ახლა მატრიცის მიყვანა საფეხურზე არ არის თქვენთვის შეუძლებელი ამოცანა.
ამ ამოცანების მაგალითებზე გავაანალიზეთ მატრიცის შემცირება სამკუთხა და საფეხურ ფორმამდე. მატრიცის ცხრილების სასურველი მნიშვნელობების გაუქმების მიზნით, ზოგიერთ შემთხვევაში საჭიროა წარმოსახვის ჩვენება და მათი სვეტების ან რიგების სწორად გარდაქმნა. წარმატებებს გისურვებთ მათემატიკაში და მატრიცებთან მუშაობაში!
