როგორ ვიპოვოთ მატრიცების ნამრავლი. მატრიცული გამრავლება. მატრიცების სკალარული ნამრავლი. სამი მატრიცის პროდუქტი

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 05:32

მატრიცები (ცხრილები რიცხვითი ელემენტებით) შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა გამოთვლებისთვის. ზოგიერთი მათგანი მრავლდება რიცხვზე, ვექტორზე, მეორე მატრიცზე, რამდენიმე მატრიცზე. პროდუქტი ზოგჯერ არასწორია. მცდარი შედეგი არის გამოთვლითი მოქმედებების შესრულების წესების უგულებელყოფის შედეგი. მოდით გავარკვიოთ, როგორ გავაკეთოთ გამრავლება.

მატრიცა და ნომერი

დავიწყოთ უმარტივესი რამით - გავამრავლოთ ცხრილი რიცხვებით კონკრეტულ მნიშვნელობაზე. მაგალითად, გვაქვს მატრიცა A ელემენტებით a_ij (i არის მწკრივის ნომრები და j არის სვეტის ნომრები) და რიცხვი e. მატრიცის ნამრავლი e რიცხვით იქნება B მატრიცა b_ij ელემენტებით, რომლებიც გვხვდება ფორმულით:

b_ij=e × a_ij.

T. ე. b₁₁ ელემენტის მისაღებად უნდა აიღოთ ელემენტი a₁₁ და გაამრავლოთ ის სასურველ რიცხვზე, რომ მიიღოთ b₁₂ საჭიროა ელემენტის ნამრავლის პოვნა a₁₂ და რიცხვი e და ა.შ.

მოდით მოვაგვაროთ სურათზე წარმოდგენილი ნომერი 1 პრობლემა. B მატრიცის მისაღებად, უბრალოდ გაამრავლეთ ელემენტები A-დან 3-ზე:

1. a₁₁ × 3=18. ჩვენ ვწერთ ამ მნიშვნელობას B მატრიცაში იმ ადგილას, სადაც იკვეთება სვეტი No1 და რიგი No1.
2. a₂₁ × 3=15. მივიღეთ ელემენტი b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. ჩვენ მივიღეთ ელემენტი b₁₂. ჩვენ ვწერთ მას B მატრიცაში იმ ადგილას, სადაც სვეტი 2 და რიგი 1 იკვეთება.
4. a₂₂ × 3=9. ეს შედეგი არის ელემენტი b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. შეიყვანეთ ეს რიცხვი მატრიცაში ელემენტის b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. ბოლო მიღებული რიცხვია ელემენტი b₂₃.

ამგვარად, მივიღეთ მართკუთხა მასივი რიცხვითი ელემენტებით.

18	–6	12
15	9	–3

ვექტორები და მატრიცების ნამრავლის არსებობის პირობა

მათემატიკურ დისციპლინებში არსებობს ისეთი რამ, როგორიცაა "ვექტორი". ეს ტერმინი ეხება მნიშვნელობების დალაგებულ კომპლექტს a₁-დან -მდე. მათ უწოდებენ ვექტორული სივრცის კოორდინატებს და იწერება როგორც სვეტი. ასევე არსებობს ტერმინი „ტრანსპონირებული ვექტორი“. მისი კომპონენტები დალაგებულია სტრიქონის სახით.

ვექტორებს შეიძლება ეწოდოს მატრიცები:

• სვეტის ვექტორი არის მატრიცა, რომელიც აგებულია ერთი სვეტისგან;
• მწკრივის ვექტორი არის მატრიცა, რომელიც მოიცავს მხოლოდ ერთ მწკრივს.

როდესაც დასრულდებაგამრავლების ოპერაციების მატრიცებზე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ არსებობს პროდუქტის არსებობის პირობა. გამოთვლითი მოქმედება A × B შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც A ცხრილის სვეტების რაოდენობა უდრის B ცხრილის მწკრივების რაოდენობას. ცხრილში B.

გამრავლებისას არ არის რეკომენდებული მატრიცების (გამრავლების) გადაწყობა. მათი ნამრავლი, როგორც წესი, არ შეესაბამება გამრავლების კომუტატიურ (გადაადგილების) კანონს, ანუ A × B მოქმედების შედეგი არ არის ტოლი B × A მოქმედების შედეგს. ამ მახასიათებელს ეწოდება ნამრავლის არაკომუტატიურობა. მატრიცები. ზოგიერთ შემთხვევაში, A × B გამრავლების შედეგი უდრის B × A გამრავლების შედეგს, ანუ ნამრავლი არის კომუტაციური. მატრიცებს, რომლებისთვისაც მოქმედებს ტოლობა A × B=B × A, ეწოდება პერმუტაციის მატრიცები. იხილეთ ასეთი ცხრილების მაგალითები ქვემოთ.

გამრავლება სვეტის ვექტორზე

მატრიცის სვეტის ვექტორზე გამრავლებისას უნდა გავითვალისწინოთ ნამრავლის არსებობის პირობა. ცხრილში (n) სვეტების რაოდენობა უნდა ემთხვეოდეს ვექტორის შემადგენელი კოორდინატების რაოდენობას. გაანგარიშების შედეგია გარდაქმნილი ვექტორი. მისი კოორდინატების რაოდენობა უდრის ცხრილის ხაზების რაოდენობას (m).

როგორ გამოითვლება y ვექტორის კოორდინატები, თუ არსებობს მატრიცა A და ვექტორი x? გამოთვლებისთვის შექმნილი ფორმულები:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_მ=a_m1x₁ + a_{მ2 x}2 _{+ … + a}წთ_x ,

სადაც x₁, …, x არის კოორდინატები x-ვექტორიდან, m არის რიგების რაოდენობა მატრიცაში და რიცხვი კოორდინატების ახალ y- ვექტორში, n არის სვეტების რაოდენობა მატრიცაში და კოორდინატების რაოდენობა x-ვექტორში, a₁₁, a_{12, …, a}წთ– A მატრიცის ელემენტები.

ამგვარად, ახალი ვექტორის i-ე კომპონენტის მისაღებად, შესრულებულია სკალარული ნამრავლი. i-ე რიგის ვექტორი აღებულია A მატრიციდან და ის მრავლდება ხელმისაწვდომი x ვექტორზე.

მოდით ამოხსნათ ამოცანა 2. შეგიძლიათ იპოვოთ მატრიცისა და ვექტორის ნამრავლი, რადგან A-ს აქვს 3 სვეტი და x შედგება 3 კოორდინატისგან. შედეგად, უნდა მივიღოთ სვეტის ვექტორი 4 კოორდინატით. მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ფორმულები:

1. გამოთვალეთ y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). საბოლოო მნიშვნელობა არის 2.
2. გამოთვალეთ y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). გაანგარიშებისას ვიღებთ 0.
3. გამოთვლა y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). მითითებული ფაქტორების ნამრავლების ჯამია 6.
4. გამოთვლა y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). კოორდინატი არის -8.

მწკრივის ვექტორი-მატრიცის გამრავლება

თქვენ არ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მატრიცა მრავალი სვეტით მწკრივის ვექტორზე. ასეთ შემთხვევებში ნაწარმოების არსებობის პირობა არ კმაყოფილდება. მაგრამ მწკრივის ვექტორის გამრავლება მატრიცით შესაძლებელია. ესგამოთვლითი ოპერაცია ხორციელდება, როდესაც ვექტორში კოორდინატების რაოდენობა და ცხრილის რიგების რაოდენობა ემთხვევა. ვექტორისა და მატრიცის ნამრავლის შედეგი არის ახალი მწკრივის ვექტორი. მისი კოორდინატების რაოდენობა ტოლი უნდა იყოს მატრიცის სვეტების რაოდენობას.

ახალი ვექტორის პირველი კოორდინატის გამოთვლა გულისხმობს მწკრივის ვექტორისა და პირველი სვეტის ვექტორის გამრავლებას ცხრილიდან. მეორე კოორდინატი გამოითვლება ანალოგიურად, მაგრამ პირველი სვეტის ვექტორის ნაცვლად აღებულია მეორე სვეტის ვექტორი. აქ მოცემულია კოორდინატების გამოთვლის ზოგადი ფორმულა:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_მკx _მ, სადაც y_k არის კოორდინატი y-ვექტორიდან, (k არის 1-დან n-მდე), m არის რიგების რაოდენობა მატრიცაში და კოორდინატების რაოდენობა x-ვექტორში n არის სვეტების რაოდენობა მატრიცაში და კოორდინატების რაოდენობა y-ვექტორში, a ალფანუმერული ინდექსებით არის A მატრიცის ელემენტები.

მართკუთხა მატრიცების პროდუქტი

ეს გამოთვლა შეიძლება რთული ჩანდეს. თუმცა გამრავლება მარტივად ხდება. დავიწყოთ განმარტებით. A მატრიცის ნამრავლი m მწკრივით და n სვეტით და მატრიცის B n სტრიქონით და p სვეტით არის მატრიცა C m მწკრივებითა და p სვეტებით, რომელშიც c_ij არის ელემენტი. i--ე მწკრივის ელემენტების ნამრავლების ჯამი A ცხრილიდან და j-ე სვეტი B ცხრილიდან. უფრო მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელემენტი c_ij არის i-ე რიგის სკალარული ნამრავლი. ვექტორი A ცხრილიდან და j-ე სვეტის ვექტორი B ცხრილიდან.

ახლა მოდით გაერკვნენ პრაქტიკაში, როგორ ვიპოვოთ მართკუთხა მატრიცების ნამრავლი. ამისთვის მოვაგვაროთ პრობლემა No3. პროდუქტის არსებობის პირობა დაკმაყოფილებულია. დავიწყოთ c_ij:

ელემენტების გამოთვლა

1. მატრიცა C-ს ექნება 2 მწკრივი და 3 სვეტი.
2. გამოთვალეთ ელემენტი c₁₁. ამისათვის ჩვენ ვასრულებთ No1 მწკრივის სკალარული ნამრავლს A მატრიციდან და სვეტი No1 B მატრიციდან. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. შემდეგ ვაგრძელებთ ანალოგიურად, ვცვლით მხოლოდ სტრიქონებს, სვეტებს (დამოკიდებულია ელემენტის ინდექსზე).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

ელემენტები გამოითვლება. ახლა რჩება მხოლოდ მიღებული რიცხვების მართკუთხა ბლოკის გაკეთება.

16	12	9
31	18	36

სამი მატრიცის გამრავლება: თეორიული ნაწილი

შეგიძლიათ იპოვოთ სამი მატრიცის ნამრავლი? ეს გამოთვლითი ოპერაცია შესაძლებელია. შედეგის მიღება შესაძლებელია რამდენიმე გზით. მაგალითად, არის 3 კვადრატული ცხრილი (იგივე რიგის) - A, B და C. პროდუქტის გამოსათვლელად შეგიძლიათ:

1. ჯერ გავამრავლოთ A და B. შემდეგ გავამრავლოთ შედეგი C-ზე.
2. ჯერ იპოვეთ B და C ნამრავლი. შემდეგ გაამრავლეთ მატრიცა A შედეგზე.

თუ საჭიროა მართკუთხა მატრიცების გამრავლება, მაშინ ჯერ უნდა დარწმუნდეთ, რომ ეს გამოთვლითი ოპერაცია შესაძლებელია. უნდაპროდუქტები A × B და B × C არსებობს.

ნამატების გამრავლება არ არის შეცდომა. არსებობს ისეთი რამ, როგორიცაა „მატრიცის გამრავლების ასოციაციურობა“. ეს ტერმინი ეხება ტოლობას (A × B) × C=A × (B × C).

სამი მატრიცის გამრავლების პრაქტიკა

კვადრატული მატრიცები

დაიწყეთ პატარა კვადრატული მატრიცების გამრავლებით. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს პრობლემას ნომერი 4, რომელიც უნდა გადავწყვიტოთ.

ჩვენ გამოვიყენებთ ასოციაციურობის თვისებას. ჯერ ვამრავლებთ ან A-ს და B-ს, ან B-ს და C-ს. გვახსოვს მხოლოდ ერთი რამ: არ შეიძლება ფაქტორების გაცვლა, ანუ B × A ან C × B ვერ გავამრავლებთ. ამ გამრავლებით მივიღებთ მცდარი შედეგი.

გადაწყვეტილების პროგრესი.

ნაბიჯი პირველი. საერთო ნამრავლის საპოვნელად ჯერ A-ს ვამრავლებთ B-ზე. ორი მატრიცის გამრავლებისას ვიხელმძღვანელებთ ზემოთ ჩამოთვლილი წესებით. ასე რომ, A და B გამრავლების შედეგი იქნება მატრიცა D 2 მწკრივით და 2 სვეტით, ანუ მართკუთხა მასივი მოიცავს 4 ელემენტს. მოდი ვიპოვოთ ისინი გაანგარიშებით:

• დ₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• დ₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• დ₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• დ₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

შუალედური შედეგი მზადაა.

30	10
15	16

ნაბიჯი მეორე. ახლა მოდით გავამრავლოთ მატრიცა D მატრიცაზე C. შედეგი უნდა იყოს კვადრატული მატრიცა G 2 მწკრივით და 2 სვეტით. ელემენტების გამოთვლა:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

ამგვარად, კვადრატული მატრიცების ნამრავლის შედეგი არის ცხრილი G გამოთვლილი ელემენტებით.

250	180
136	123

მართკუთხა მატრიცები

ქვემო სურათზე ნაჩვენებია პრობლემა ნომერი 5. საჭიროა მართკუთხა მატრიცების გამრავლება და ამოხსნის პოვნა.

მოდით შევამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა A × B და B × C პროდუქციის არსებობის პირობა მითითებული მატრიცების ბრძანებები გამრავლების საშუალებას გვაძლევს. დავიწყოთ პრობლემის გადაჭრა.

გადაწყვეტილების პროგრესი.

ნაბიჯი პირველი. გაამრავლეთ B C-ზე, რათა მიიღოთ D. B მატრიცას აქვს 3 მწკრივი და 4 სვეტი, ხოლო C მატრიცას აქვს 4 მწკრივი და 2 სვეტი. ეს ნიშნავს, რომ მივიღებთ მატრიცას D 3 სტრიქონით და 2 სვეტით. მოდით გამოვთვალოთ ელემენტები. აქ არის 2 გაანგარიშების მაგალითი:

• დ₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• დ₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

ჩვენ ვაგრძელებთ პრობლემის მოგვარებას. შემდგომი გამოთვლების შედეგად ვპოულობთ მნიშვნელობებს d₂₁, d₂ 2, d₃₁ და დ₃₂. ეს ელემენტები არის 0, 19, 1 და 11 შესაბამისად. მოდი, ნაპოვნი მნიშვნელობები ჩავწეროთ მართკუთხა მასივში.

0	7
0	19
1	11

ნაბიჯი მეორე. გაამრავლეთ A-ზე D-ზე, რათა მიიღოთ საბოლოო მატრიცა F. მას ექნება 2 მწკრივი და 2 სვეტი. ელემენტების გამოთვლა:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

შეადგინეთ მართკუთხა მასივი, რომელიც არის სამი მატრიცის გამრავლების საბოლოო შედეგი.

1	139
3	52

პირდაპირი მუშაობის შესავალი

საკმაოდ რთული გასაგები მასალაა მატრიცების კრონეკერის ნამრავლი. მას ასევე აქვს დამატებითი სახელი - პირდაპირი ნაწარმოები. რა იგულისხმება ამ ტერმინში? ვთქვათ, გვაქვს m × n რიგის ცხრილი და p × q რიგის B ცხრილი. მატრიცის A და B მატრიცის პირდაპირი ნამრავლი არის რიგის მატრიცა mp × nq.

გვაქვს 2 კვადრატული მატრიცა A, B, რომლებიც ნაჩვენებია სურათზე. პირველს აქვს 2 სვეტი და 2 მწკრივი, ხოლო მეორეს აქვს 3 სვეტი და 3 მწკრივი. ჩვენ ვხედავთ, რომ პირდაპირი ნამრავლის შედეგად მიღებული მატრიცა შედგება 6 მწკრივისაგან და ზუსტად ამდენივე სვეტისაგან.

როგორ გამოითვლება ახალი მატრიცის ელემენტები პირდაპირ ნამრავლში? ამ კითხვაზე პასუხის პოვნა ძალიან ადვილია, თუ სურათს გააანალიზებთ. ჯერ შეავსეთ პირველი ხაზი. აიღეთ პირველი ელემენტი A ცხრილის ზედა მწკრივიდან და თანმიმდევრულად გაამრავლეთ პირველი რიგის ელემენტებზეB ცხრილიდან აიღეთ A ცხრილის პირველი რიგის მეორე ელემენტი და თანმიმდევრულად გაამრავლეთ B ცხრილის პირველი რიგის ელემენტებზე. მეორე რიგის შესავსებად კვლავ აიღეთ პირველი ელემენტი A ცხრილის პირველი მწკრივიდან და გავამრავლოთ იგი B ცხრილის მეორე რიგის ელემენტებზე.

პირდაპირი პროდუქტით მიღებულ საბოლოო მატრიცას ბლოკის მატრიცა ეწოდება. თუ კვლავ გავაანალიზებთ ფიგურას, დავინახავთ, რომ ჩვენი შედეგი შედგება 4 ბლოკისგან. ყველა მათგანი შეიცავს B მატრიცის ელემენტებს. გარდა ამისა, თითოეული ბლოკის ელემენტი მრავლდება A მატრიცის კონკრეტულ ელემენტზე. პირველ ბლოკში ყველა ელემენტი მრავლდება a₁₁-ზე, მეორე - _{12 -ით, მესამეში -} 21_{, მეოთხეზე -} 22_-ზე..

პროდუქტის განმსაზღვრელი

მატრიცის გამრავლების თემის განხილვისას ღირს ისეთი ტერმინის გათვალისწინება, როგორიცაა „მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი“. რა არის განმსაზღვრელი? ეს არის კვადრატული მატრიცის მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, გარკვეული მნიშვნელობა, რომელიც ენიჭება ამ მატრიცას. დეტერმინანტის პირდაპირი აღნიშვნაა det.

2 სვეტისა და ორი მწკრივისაგან შემდგარი A მატრიცისთვის, განმსაზღვრელი ადვილად მოსაძებნია. არსებობს მცირე ფორმულა, რომელიც არის განსხვავება კონკრეტული ელემენტების პროდუქტებს შორის:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

მოდით განვიხილოთ მეორე რიგის ცხრილისთვის დეტერმინანტის გამოთვლის მაგალითი. არსებობს A მატრიცა, რომელშიც a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 და a22_{=1. დეტერმინანტის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

3 × 3 მატრიცებისთვის, დეტერმინანტი გამოითვლება უფრო რთული ფორმულით. იგი წარმოდგენილია ქვემოთ A მატრიცისთვის:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_ა31 _{+ a}13_ა21_{ა 32} – a₁₃a₂₂ა₃₁ - a₁₁ a₂₃ა₃₂ – a₁₂ა₂₁ a₃₃.

ფორმულის დასამახსოვრებლად მივიღეთ სამკუთხედის წესი, რომელიც ილუსტრირებულია სურათზე. პირველ რიგში, ძირითადი დიაგონალის ელემენტები მრავლდება. მიღებულ მნიშვნელობას ემატება იმ ელემენტების პროდუქტები, რომლებიც მითითებულია წითელი გვერდების მქონე სამკუთხედების კუთხით. შემდეგ, მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი გამოკლებულია და იმ ელემენტების ნამრავლები, რომლებიც მითითებულია სამკუთხედების ლურჯი გვერდების კუთხეებით, გამოკლებულია.

ახლა ვისაუბროთ მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელზე. არსებობს თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ ეს მაჩვენებელი ტოლია გამრავლების ცხრილების დეტერმინანტების ნამრავლის. მოდით შევამოწმოთ ეს მაგალითით. გვაქვს მატრიცა A ჩანაწერებით a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 და a22_{=1 და მატრიცა B შენატანებით b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 და b}22_{=2. იპოვეთ A და B მატრიცების დეტერმინანტები, ნამრავლი A × B და ამ ნამრავლის განმსაზღვრელი.}

გადაწყვეტილების პროგრესი.

ნაბიჯი პირველი. გამოთვალეთ A-ს განმსაზღვრელი: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. შემდეგი, გამოთვალეთ განმსაზღვრელი B-სთვის: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

ნაბიჯი მეორე. მოდი ვიპოვოთპროდუქტი A × B. აღნიშნეთ ახალი მატრიცა ასო C. გამოთვალეთ მისი ელემენტები:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

ნაბიჯი მესამე. გამოთვალეთ განმსაზღვრელი C-სთვის: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. შეადარეთ მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნეს თავდაპირველი მატრიცების დეტერმინანტების გამრავლებით. ნომრები იგივეა. ზემოაღნიშნული თეორემა მართალია.

პროდუქტის რეიტინგი

მატრიცის რანგი არის მახასიათებელი, რომელიც ასახავს ხაზობრივად დამოუკიდებელი მწკრივების ან სვეტების მაქსიმალურ რაოდენობას. რანგის გამოსათვლელად კეთდება მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნები:

• ორი პარალელური მწკრივის გადაწყობა;
• ცხრილიდან გარკვეული მწკრივის ყველა ელემენტის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით;
• მეორე მწკრივის ელემენტების ერთი მწკრივის ელემენტების დამატება, გამრავლებული კონკრეტულ რიცხვზე.

ელემენტარული გარდაქმნების შემდეგ შეხედეთ ნულოვანი სტრიქონების რაოდენობას. მათი რიცხვი არის მატრიცის წოდება. განვიხილოთ წინა მაგალითი. მან წარმოადგინა 2 მატრიცა: A ელემენტებით a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 და a₂₂ =1 და B ელემენტებით b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 და b}22_{=2. ასევე გამოვიყენებთ გამრავლების შედეგად მიღებულ C მატრიცას. თუ ჩვენ შევასრულებთ ელემენტარულ გარდაქმნებს, მაშინ გამარტივებულ მატრიცებში არ იქნება ნულოვანი რიგები. ეს ნიშნავს, რომ როგორც A ცხრილის რანგი, ასევე B ცხრილის რანგი და რანგიცხრილი C არის 2.}

ახლა განსაკუთრებული ყურადღება მივაქციოთ მატრიცების ნამრავლის რანგს. არსებობს თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ რიცხვითი ელემენტების შემცველი ცხრილების ნამრავლის რანგი არ აღემატება არცერთი ფაქტორის ხარისხს. ამის დამტკიცება შეიძლება. მოდით A იყოს k × s მატრიცა და B იყოს s × m მატრიცა. A და B ნამრავლი უდრის C.

შევისწავლოთ ზემოთ მოცემული სურათი. ის აჩვენებს C მატრიცის პირველ სვეტს და მის გამარტივებულ აღნიშვნას. ეს სვეტი არის A მატრიცაში შემავალი სვეტების წრფივი კომბინაცია. ანალოგიურად, შეიძლება ითქვას C მართკუთხა მასივიდან ნებისმიერ სხვა სვეტზე. ამრიგად, C ცხრილის სვეტის ვექტორების მიერ წარმოქმნილი ქვესივრცე არის ქვესივრცეში, რომელიც ჩამოყალიბებულია A ცხრილის სვეტის ვექტორები. შესაბამისად, No1 ქვესივრცის განზომილება არ აღემატება No2 ქვესივრცის განზომილებას. ეს გულისხმობს, რომ C ცხრილის სვეტების რანგი არ აღემატება A ცხრილის სვეტების წოდებას, ანუ r(C) ≦ r(A). თუ ჩვენ ვიმსჯელებთ ანალოგიურად, მაშინ შეგვიძლია დავრწმუნდეთ, რომ C მატრიცის რიგები არის B მატრიცის რიგების წრფივი კომბინაციები. ეს გულისხმობს უტოლობას r(C) ≦ r(B).

როგორ ვიპოვოთ მატრიცების ნამრავლი საკმაოდ რთული თემაა. მისი ათვისება მარტივად შეიძლება, მაგრამ ასეთი შედეგის მისაღწევად, დიდი დრო მოგიწევთ ყველა არსებული წესისა და თეორემის დასამახსოვრებლად.