მატრიცები და დეტერმინანტები აღმოაჩინეს მეთვრამეტე და მეცხრამეტე საუკუნეებში. თავდაპირველად, მათი განვითარება ეხებოდა გეომეტრიული ობიექტების გარდაქმნას და ხაზოვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნას. ისტორიულად, ადრეული აქცენტი კეთდებოდა განმსაზღვრელზე. თანამედროვე ხაზოვანი ალგებრის დამუშავების მეთოდებში პირველ რიგში განიხილება მატრიცები. ღირს ამ კითხვაზე ცოტა ხნით დაფიქრება.
პასუხები ცოდნის ამ სფეროდან
მატრიცები იძლევა თეორიულად და პრაქტიკულად სასარგებლო გზას მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად, როგორიცაა:
- წრფივი განტოლებების სისტემები;
- მყართა წონასწორობა (ფიზიკაში);
- გრაფის თეორია;
- ლეონტიევის ეკონომიკური მოდელი;
- სატყეო;
- კომპიუტერული გრაფიკა და ტომოგრაფია;
- გენეტიკა;
- კრიპტოგრაფია;
- ელექტრო ქსელები;
- ფრაქტალი.
ფაქტობრივად, მატრიცულ ალგებრას "მატრიცებისთვის" აქვს გამარტივებული განმარტება. იგი ასე გამოიხატება: ეს არის ცოდნის მეცნიერული სფერო, რომელშიცგანსახილველი ღირებულებები შესწავლილია, გაანალიზებულია და სრულად არის შესწავლილი. ალგებრის ამ განყოფილებაში შესწავლილია სხვადასხვა მოქმედებები შესასწავლ მატრიცებზე.
როგორ ვიმუშაოთ მატრიცებთან
ეს მნიშვნელობები ითვლება ტოლად, თუ მათ აქვთ იგივე ზომები და ერთის თითოეული ელემენტი უდრის მეორის შესაბამის ელემენტს. შესაძლებელია მატრიცის გამრავლება ნებისმიერ მუდმივზე. ამ მოცემულობას სკალარული გამრავლება ეწოდება. მაგალითი: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
იგივე ზომის მატრიცები შეიძლება დაემატოს და გამოკლდეს შეყვანით, ხოლო თავსებადი ზომის მნიშვნელობები შეიძლება გამრავლდეს. მაგალითი: დაამატეთ ორი A და B: A=[21−10]B=[1423]. ეს შესაძლებელია, რადგან A და B ორივე მატრიცაა ორი მწკრივით და სვეტების იგივე რაოდენობით. აუცილებელია A-ში თითოეული ელემენტის დამატება B-ის შესაბამის ელემენტს: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. მატრიცებს აკლდება ალგებრაში.
მატრიცული გამრავლება ცოტა განსხვავებულად მუშაობს. უფრო მეტიც, შეიძლება იყოს მრავალი შემთხვევა და ვარიანტი, ასევე გადაწყვეტილებები. თუ გავამრავლებთ მატრიცას Apq და Bmn, მაშინ ნამრავლი Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. ჩანაწერი gth მწკრივში და AB-ის მე-h სვეტში არის შესაბამისი ჩანაწერების ნამრავლის ჯამი g A-სა და h B-ში. შესაძლებელია მხოლოდ ორი მატრიცის გამრავლება, თუ პირველში სვეტების რაოდენობა და მეორეში რიგები. თანაბარი არიან. მაგალითი: შეასრულეთ განხილული A და B პირობა: A=[1−130]B=[2−11214]. ეს შესაძლებელია, რადგან პირველი მატრიცა შეიცავს 2 სვეტს, ხოლო მეორე შეიცავს 2 სტრიქონს. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
ძირითადი ინფორმაცია მატრიცების შესახებ
აღნიშნული მნიშვნელობები აწესრიგებს ინფორმაციას, როგორიცაა ცვლადები და მუდმივები და ინახავს მათ რიგებში და სვეტებში, რომლებსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ C. მატრიცაში თითოეულ პოზიციას ელემენტი ეწოდება. მაგალითი: C=[1234]. შედგება ორი რიგისა და ორი სვეტისგან. ელემენტი 4 არის მე-2 მწკრივში და მე-2 სვეტში. ჩვეულებრივ შეგიძლიათ დაასახელოთ მატრიცა მისი ზომების მიხედვით, მას, სახელად Cmk, აქვს m რიგები და k სვეტები.
გაფართოებული მატრიცები
მოსაზრებები წარმოუდგენლად სასარგებლო რამ არის, რომელიც ჩნდება აპლიკაციის სხვადასხვა სფეროში. მატრიცები თავდაპირველად დაფუძნებული იყო წრფივი განტოლებების სისტემებზე. უტოლობების შემდეგი სტრუქტურის გათვალისწინებით, შემდეგი შევსებული მატრიცა უნდა იქნას გათვალისწინებული:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
ჩაწერეთ კოეფიციენტები და უპასუხეთ მნიშვნელობებს, ყველა მინუს ნიშნის ჩათვლით. თუ ელემენტი უარყოფითი რიცხვით, მაშინ ის ტოლი იქნება "1". ანუ (წრფივი) განტოლებათა სისტემის გათვალისწინებით, შესაძლებელია მასთან მატრიცის (ფრჩხილებში მყოფი რიცხვების ბადე) დაკავშირება. ეს არის ის, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ხაზოვანი სისტემის კოეფიციენტებს. ამას ეწოდება "გაფართოებული მატრიცა". ბადე, რომელიც შეიცავს თითოეული განტოლების მარცხენა მხარის კოეფიციენტებს, „შევსებულია“თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარის პასუხებით.
რეკორდები, ანუმატრიცის B მნიშვნელობები შეესაბამება x-, y- და z მნიშვნელობებს თავდაპირველ სისტემაში. თუ ის სწორად არის მოწყობილი, მაშინ პირველ რიგში შეამოწმეთ იგი. ზოგჯერ საჭიროა ტერმინების გადალაგება ან ნულების ჩასმა შესწავლილ ან შესწავლილ მატრიცაში.
განტოლებათა შემდეგი სისტემის გათვალისწინებით, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავწეროთ დაკავშირებული გაზრდილი მატრიცა:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
პირველ რიგში, დარწმუნდით, რომ გადააწყვეთ სისტემა შემდეგნაირად:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
მაშინ შესაძლებელია ასოცირებული მატრიცის დაწერა როგორც: [11000113-1012]. გაფართოებული ერთის ფორმირებისას ღირს ნულის გამოყენება ნებისმიერი ჩანაწერისთვის, სადაც წრფივი განტოლებების სისტემაში შესაბამისი წერტილი ცარიელია.
მატრიცული ალგებრა: ოპერაციების თვისებები
თუ საჭიროა ელემენტების ჩამოყალიბება მხოლოდ კოეფიციენტების მნიშვნელობებიდან, მაშინ განხილული მნიშვნელობა ასე გამოიყურება: [110011-101]. ამას ეწოდება "კოეფიციენტების მატრიცა".
შემდეგი გაფართოებული მატრიცის ალგებრის გათვალისწინებით, აუცილებელია მისი გაუმჯობესება და ასოცირებული წრფივი სისტემის დამატება. როგორც ითქვა, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ მათ სჭირდებათ ცვლადები კარგად მოწყობილი და სისუფთავე. და ჩვეულებრივ, როდესაც სამი ცვლადია, გამოიყენეთ x, y და z ამ თანმიმდევრობით. ამიტომ, ასოცირებული ხაზოვანი სისტემა უნდა იყოს:
x + 3y=4
2წ - z=5
3x + z=-2.
მატრიცის ზომა
აღნიშნულ პუნქტებს ხშირად მოიხსენიებენ მათი შესრულებით. მატრიცის ზომა ალგებრაში მოცემულია როგორცგაზომვები, რადგან ოთახს სხვაგვარად შეიძლება ეწოდოს. მნიშვნელობების გაზომილი ზომები არის რიგები და სვეტები და არა სიგანე და სიგრძე. მაგალითად, მატრიცა A:
[1234]
[2345]
[3456].
რადგან A-ს აქვს სამი მწკრივი და ოთხი სვეტი, A-ს ზომაა 3 × 4.
→
↓
ხაზები გვერდულად მიდის. სვეტები მაღლა და ქვევით მიდიან. "სტრიქონი" და "სვეტი" არის სპეციფიკაციები და არ ურთიერთშემცვლელნი არიან. მატრიცის ზომები ყოველთვის მითითებულია მწკრივების და შემდეგ სვეტების რაოდენობით. ამ კონვენციის შემდეგ, შემდეგი B:
[123]
[234] არის 2 × 3. თუ მატრიცას აქვს მწკრივების იგივე რაოდენობა, როგორც სვეტები, მაშინ მას ეწოდება "კვადრატი". მაგალითად, კოეფიციენტების მნიშვნელობები ზემოდან:
[110]
[011]
[-101] არის 3×3 კვადრატული მატრიცა.
მატრიცის აღნიშვნა და ფორმატირება
ფორმატირების შენიშვნა: მაგალითად, როდესაც გჭირდებათ მატრიცის დაწერა, მნიშვნელოვანია გამოიყენოთ ფრჩხილები . აბსოლუტური მნიშვნელობის ზოლები || არ გამოიყენება, რადგან ამ კონტექსტში მათ განსხვავებული მიმართულება აქვთ. ფრჩხილები ან ხვეული ბრეკეტები {} არასოდეს გამოიყენება. ან სხვა დაჯგუფების სიმბოლო, ან საერთოდ არცერთი, რადგან ამ პრეზენტაციებს არანაირი მნიშვნელობა არ აქვს. ალგებრაში მატრიცა ყოველთვის კვადრატულ ფრჩხილებშია. უნდა იქნას გამოყენებული მხოლოდ სწორი აღნიშვნა, წინააღმდეგ შემთხვევაში პასუხები შეიძლება ჩაითვალოს გაუგებარია.
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მატრიცაში შემავალ მნიშვნელობებს უწოდებენ ჩანაწერებს. ნებისმიერი მიზეზის გამო, განსახილველი ელემენტები ჩვეულებრივ იწერებადიდი ასოები, როგორიცაა A ან B, და ჩანაწერები მითითებულია შესაბამისი მცირე ასოების გამოყენებით, მაგრამ ხელმოწერებით. A მატრიცაში მნიშვნელობებს ჩვეულებრივ უწოდებენ "ai, j", სადაც i არის A-ს მწკრივი და j არის A-ს სვეტი. მაგალითად, a3, 2=8. a1, 3-ის ჩანაწერი არის 3.
პატარა მატრიცებისთვის, რომლებსაც აქვთ ათზე ნაკლები მწკრივი და სვეტი, მძიმით ზოგჯერ გამოტოვებული ხდება. მაგალითად, "a1, 3=3" შეიძლება დაიწეროს როგორც "a13=3". ცხადია, ეს არ იმუშავებს დიდ მატრიცებზე, რადგან a213 ბუნდოვანი იქნება.
მატრიცის ტიპები
ზოგჯერ კლასიფიცირებულია მათი ჩანაწერების კონფიგურაციის მიხედვით. მაგალითად, ისეთ მატრიცას, რომელსაც აქვს ყველა ნულოვანი ჩანაწერი დიაგონალური ზედა-მარცხნივ-ქვემოდან მარჯვნივ "დიაგონალის" ქვეშ, ეწოდება ზედა სამკუთხედი. სხვა საკითხებთან ერთად, შეიძლება იყოს სხვა სახეობები და ტიპები, მაგრამ ისინი არ არიან ძალიან სასარგებლო. ზოგადად, ძირითადად აღიქმება, როგორც ზედა სამკუთხედი. მნიშვნელობებს არა-ნულოვანი ექსპონენტებით მხოლოდ ჰორიზონტალურად უწოდებენ დიაგონალურ მნიშვნელობებს. მსგავს ტიპებს აქვთ არანულოვანი ჩანაწერები, რომლებშიც ყველა არის 1, ასეთ პასუხებს უწოდებენ იდენტურს (იმ მიზეზების გამო, რომლებიც ნათელი გახდება, როდესაც გაიგებთ და გაიგებთ, როგორ გავამრავლოთ მოცემული მნიშვნელობები). არსებობს მრავალი მსგავსი კვლევის ინდიკატორი. 3 × 3 იდენტურობა აღინიშნება I3-ით. ანალოგიურად, 4 × 4 იდენტობა არის I4.
მატრიცული ალგებრა და წრფივი სივრცეები
გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხა მატრიცები კვადრატულია. მაგრამ დიაგონალები სამკუთხაა. ამის გათვალისწინებით ისინი არიანკვადრატი. და იდენტობები განიხილება დიაგონალები და, შესაბამისად, სამკუთხა და კვადრატი. როდესაც საჭიროა მატრიცის აღწერა, ჩვეულებრივ, უბრალოდ აკონკრეტებთ საკუთარ ყველაზე სპეციფიკურ კლასიფიკაციას, რადგან ეს გულისხმობს ყველა დანარჩენს. შემდეგი კვლევის ვარიანტების კლასიფიკაცია:შესაძლებელია როგორც 3 × 3. მაგრამ ის ითვლება კვადრატად და მასში განსაკუთრებული არაფერია. შემდეგი მონაცემების კლასიფიკაცია: [0 8 -4] [1 0 2] [0 0 5], როგორც 3 × 3 ზედა სამკუთხედი, მაგრამ ეს არ არის დიაგონალური. მართალია, განხილულ მნიშვნელობებში შეიძლება იყოს დამატებითი ნულები მდებარე და მითითებულ სივრცეზე ან ზემოთ. შესასწავლი კლასიფიკაცია შემდგომშია: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], სადაც იგი წარმოდგენილია დიაგონალის სახით და, უფრო მეტიც, ჩანაწერები არის 1. მაშინ ეს არის 3 × 3 იდენტურობა., I3.
რადგან ანალოგური მატრიცები განსაზღვრებით კვადრატულია, თქვენ მხოლოდ ერთი ინდექსის გამოყენება გჭირდებათ მათი ზომების საპოვნელად. იმისთვის, რომ ორი მატრიცა ტოლი იყოს, მათ უნდა ჰქონდეთ ერთი და იგივე პარამეტრი და იგივე ჩანაწერები ერთსა და იმავე ადგილებში. მაგალითად, დავუშვათ, რომ განიხილება ორი ელემენტი: A=[1 3 0] [-2 0 0] და B=[1 3] [-2 0]. ეს მნიშვნელობები არ შეიძლება იყოს იგივე, რადგან ისინი განსხვავებულია ზომით.
თუნდაც A და B იყოს: A=[3 6] [2 5] [1 4] და B=[1 2 3] [4 5 6] - ისინი მაინც არ არიან იგივე იგივე რამ. A და B თითოეულს აქვსექვსი ჩანაწერი და ასევე აქვს იგივე რიცხვები, მაგრამ ეს არ არის საკმარისი მატრიცებისთვის. A არის 3×2 და B არის 2×3 მატრიცა, A 3×2 არ არის 2×3. არ აქვს მნიშვნელობა A და B-ს აქვთ თუ არა იგივე რაოდენობის მონაცემები ან თუნდაც იგივე რიცხვები, რაც ჩანაწერებს. თუ A და B არ არის იგივე ზომა და ფორმა, მაგრამ აქვთ იდენტური მნიშვნელობები მსგავს ადგილებში, ისინი არ არიან ტოლი.
მსგავსი ოპერაციები განსახილველ ტერიტორიაზე
მატრიცული ტოლობის ეს თვისება შეიძლება გადაიზარდოს ამოცანებად დამოუკიდებელი კვლევისთვის. მაგალითად, მოცემულია ორი მატრიცა და მითითებულია, რომ ისინი ტოლია. ამ შემთხვევაში, თქვენ დაგჭირდებათ ამ თანასწორობის გამოყენება ცვლადების მნიშვნელობების შესასწავლად და პასუხების მისაღებად.
ალგებრაში მატრიცების მაგალითები და ამონახსნები შეიძლება მრავალფეროვანი იყოს, განსაკუთრებით მაშინ, როცა საქმე ტოლობას ეხება. იმის გათვალისწინებით, რომ შემდეგი მატრიცები განიხილება, აუცილებელია x და y მნიშვნელობების პოვნა. იმისთვის, რომ A და B თანაბარი იყოს, ისინი უნდა იყვნენ ერთნაირი ზომის და ფორმის. სინამდვილეში, ისინი ასეთია, რადგან თითოეული მათგანი არის 2 × 2 მატრიცა. და მათ უნდა ჰქონდეთ იგივე მნიშვნელობები იმავე ადგილებში. მაშინ a1, 1 უნდა იყოს b1, 1, a1, 2 ტოლი b1, 2 და ა.შ. მათ). მაგრამ, a1, 1=1 აშკარად არ უდრის b1, 1=x. იმისათვის, რომ A იყოს B-ის იდენტური, ჩანაწერს უნდა ჰქონდეს a1, 1=b1, 1, ამიტომ მას შეუძლია იყოს 1=x. ანალოგიურად, ინდექსები a2, 2=b2, 2, ასე რომ 4=y. მაშინ ამონახსნი არის: x=1, y=4. იმის გათვალისწინებით, რომ შემდეგიმატრიცები ტოლია, თქვენ უნდა იპოვოთ x, y და z მნიშვნელობები. A=B რომ ჰქონდეს, კოეფიციენტებს ყველა ჩანაწერი ტოლი უნდა ჰქონდეს. ანუ a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 და ასე შემდეგ. კერძოდ, უნდა:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
როგორც ხედავთ შერჩეული მატრიცებიდან: 1, 1-, 2, 2- და 3, 1-ელემენტებით. ამ სამი განტოლების ამოხსნით, მივიღებთ პასუხს: x=4, y=-6 და z=9. მატრიცული ალგებრა და მატრიცული ოპერაციები განსხვავდება იმისგან, რასაც ყველა სჩვევია, მაგრამ ისინი არ არის გამეორებადი.
დამატებითი ინფორმაცია ამ სფეროში
წრფივი მატრიცის ალგებრა არის განტოლებათა მსგავსი სიმრავლების და მათი გარდაქმნის თვისებების შესწავლა. ცოდნის ეს სფერო საშუალებას გაძლევთ გააანალიზოთ ბრუნვა სივრცეში, მიახლოებით უმცირესი კვადრატები, ამოხსნათ ასოცირებული დიფერენციალური განტოლებები, განსაზღვროთ წრე, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილში და გადაჭრათ მრავალი სხვა პრობლემა მათემატიკაში, ფიზიკასა და ტექნოლოგიაში. მატრიცის წრფივი ალგებრა ნამდვილად არ არის გამოყენებული სიტყვის ტექნიკური მნიშვნელობა, ანუ ვექტორული სივრცე v ველზე f და ა.შ.
მატრიცა და დეტერმინანტი ძალზედ სასარგებლო ხაზოვანი ალგებრის ხელსაწყოებია. ერთ-ერთი ცენტრალური ამოცანაა მატრიცული განტოლების ამოხსნა Ax=b, x-ისთვის. თუმცა ეს თეორიულად შეიძლება ამოიხსნას შებრუნებული x=A-1 b. სხვა მეთოდები, როგორიცაა გაუსის ელიმინაცია, რიცხობრივად უფრო საიმედოა.
გარდა იმისა, რომ გამოიყენება განტოლებათა წრფივი სიმრავლეების კვლევის აღსაწერად, მითითებულიზემოაღნიშნული ტერმინი ასევე გამოიყენება ალგებრის გარკვეული ტიპის აღსაწერად. კერძოდ, L ველზე F აქვს რგოლის სტრუქტურა შიდა შეკრებისა და გამრავლების ყველა ჩვეულებრივი აქსიომით, განაწილების კანონებთან ერთად. აქედან გამომდინარე, ის უფრო მეტ სტრუქტურას აძლევს, ვიდრე ბეჭედი. წრფივი მატრიცის ალგებრა ასევე აღიარებს გამრავლების გარე ოპერაციას სკალარებით, რომლებიც წარმოადგენს F ველის ელემენტებს. მაგალითად, ყველა განხილული გარდაქმნების სიმრავლე V ვექტორული სივრციდან საკუთარ თავზე F ველზე იქმნება F-ზე. ხაზოვანის კიდევ ერთი მაგალითი. ალგებრა არის ყველა რეალური კვადრატული მატრიცების სიმრავლე ველზე R რეალური რიცხვები.
