დღევანდელ სამყაროში ჩვენ სულ უფრო ხშირად ვიყენებთ სხვადასხვა სახის მანქანებსა და გაჯეტებს. და არა მხოლოდ მაშინ, როცა აუცილებელია ფაქტიურად არაადამიანური ძალის გამოყენება: ტვირთის გადატანა, სიმაღლეზე აწევა, გრძელი და ღრმა თხრილის გათხრა და ა.შ. დღეს მანქანები აწყობენ რობოტებს, საჭმელს ამზადებენ მულტიქუერებით და ელემენტარული არითმეტიკული გამოთვლებია. შესრულებულია კალკულატორებით. სულ უფრო ხშირად გვესმის გამოთქმა „ბულის ალგებრა“. ალბათ დროა გავიგოთ ადამიანის როლი რობოტების შექმნაში და მანქანების უნარი გადაჭრას არა მხოლოდ მათემატიკური, არამედ ლოგიკური პრობლემებიც.
ლოგიკა
ბერძნულიდან თარგმნილი ლოგიკა არის აზროვნების მოწესრიგებული სისტემა, რომელიც ქმნის კავშირებს მოცემულ პირობებს შორის და საშუალებას გაძლევთ გამოიტანოთ დასკვნები წინაპირობებისა და ვარაუდების საფუძველზე. ხშირად ვეკითხებით ერთმანეთს: "ლოგიკურია?" მიღებული პასუხი ადასტურებს ჩვენს ვარაუდებს ან აკრიტიკებს აზროვნების მატარებელს. მაგრამ პროცესი არ ჩერდება: ჩვენ ვაგრძელებთ მსჯელობას.
ზოგჯერ პირობების რაოდენობა (შესავალი) იმდენად დიდია და მათ შორის ურთიერთობა იმდენად რთული და რთულია, რომ ადამიანის ტვინს არ შეუძლია ყველაფრის ერთბაშად „მონელება“. შეიძლება ერთ თვეზე მეტი (კვირა, წელი) დასჭირდეს იმის გაგებას, თუ რა ხდება. მაგრამთანამედროვე ცხოვრება არ გვაძლევს ასეთ დროის ინტერვალებს გადაწყვეტილების მისაღებად. და ჩვენ მივმართავთ კომპიუტერების დახმარებას. და აქ ჩნდება ლოგიკის ალგებრა, თავისი კანონებითა და თვისებებით. ყველა საწყისი მონაცემების ჩამოტვირთვით, ჩვენ კომპიუტერს საშუალებას ვაძლევთ ამოიცნოს ყველა ურთიერთობა, აღმოფხვრას წინააღმდეგობები და მოიძიოს დამაკმაყოფილებელი გამოსავალი.
მათემატიკა და ლოგიკა
ცნობილმა გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცმა ჩამოაყალიბა "მათემატიკური ლოგიკის" კონცეფცია, რომლის პრობლემები მხოლოდ მეცნიერთა ვიწრო წრისთვის იყო გასაგები. ამ მიმართულებამ განსაკუთრებული ინტერესი არ გამოიწვია და მე-19 საუკუნის შუა ხანებამდე ცოტამ თუ იცოდა მათემატიკური ლოგიკა.
მეცნიერული საზოგადოების დიდმა ინტერესმა გამოიწვია დავა, რომელშიც ინგლისელმა ჯორჯ ბულმა გამოაცხადა თავისი განზრახვა შექმნას მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც აბსოლუტურად არ აქვს პრაქტიკული გამოყენება. როგორც ისტორიიდან გვახსოვს, იმ დროს აქტიურად ვითარდებოდა სამრეწველო წარმოება, ვითარდებოდა ყველა სახის დამხმარე მანქანა-დანადგარები, ანუ ყველა სამეცნიერო აღმოჩენას პრაქტიკული აქცენტი ჰქონდა.
წინასწარ რომ ვიხედოთ, ვთქვათ, რომ ლოგიკური ალგებრა მათემატიკის ყველაზე ხშირად გამოყენებული ნაწილია თანამედროვე მსოფლიოში. ასე რომ, ბულმა დაკარგა არგუმენტი.
ჯორჯ ბული
ავტორის პიროვნება განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს. იმის გათვალისწინებით, რომ წარსულში ხალხი ჩვენზე ადრე იზრდებოდა, ჯერ კიდევ შეუძლებელია არ აღინიშნოს, რომ 16 წლის ასაკში ჯ.ბული ასწავლიდა სოფლის სკოლაში, ხოლო 20 წლის ასაკში მან გახსნა საკუთარი სკოლა ლინკოლნში. მათემატიკოსი თავისუფლად ფლობდა ხუთ უცხო ენას, თავისუფალ დროს კი კითხულობდა ნაწარმოებებსნიუტონი და ლაგრანჟი. და ეს ყველაფერი უბრალო მუშის შვილზეა!
1839 წელს ბულმა პირველად წარადგინა თავისი სამეცნიერო ნაშრომები კემბრიჯის მათემატიკურ ჟურნალში. მეცნიერი 24 წლისაა. ბულის შრომამ იმდენად დააინტერესა სამეფო საზოგადოების წევრები, რომ 1844 წელს მან მიიღო მედალი მათემატიკური ანალიზის განვითარებაში შეტანილი წვლილისთვის. კიდევ რამდენიმე გამოქვეყნებულმა ნაშრომმა, რომელშიც აღწერილი იყო მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები, ახალგაზრდა მათემატიკოსს საშუალება მისცა დაეკავებინა პროფესორის თანამდებობა კორკის ოლქის კოლეჯში. შეგახსენებთ, რომ თავად ბულს არ ჰქონდა განათლება.
იდეა
პრინციპში, ლოგიკური ალგებრა ძალიან მარტივია. არის განცხადებები (ლოგიკური გამოთქმები), რომლებიც მათემატიკის თვალსაზრისით შეიძლება განისაზღვროს მხოლოდ ორი სიტყვით: „მართალი“ან „მცდარი“. მაგალითად, გაზაფხულზე ხეები ყვავის - მართალია, ზაფხულში თოვს - ტყუილია. ამ მათემატიკის სილამაზე იმაში მდგომარეობს, რომ არ არის მკაცრი საჭიროება მხოლოდ ციფრების გამოყენება. ნებისმიერი დებულება ცალსახა მნიშვნელობით საკმაოდ შესაფერისია განსჯის ალგებრასთვის.
ამგვარად, ლოგიკის ალგებრა შეიძლება გამოყენებულ იქნას სიტყვასიტყვით ყველგან: ინსტრუქციების დაგეგმვისა და წერისას, მოვლენების შესახებ ურთიერთგამომრიცხავი ინფორმაციის გაანალიზებისა და მოქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრაში. მთავარია გვესმოდეს, რომ სრულიად უმნიშვნელოა, როგორ განვსაზღვროთ განცხადების სიმართლე ან სიცრუე. ეს „როგორ“და „რატომ“უნდა იყოს აბსტრაქტული. მხოლოდ ფაქტის განცხადებას აქვს მნიშვნელობა: მართალია-მცდარი.
რა თქმა უნდა, პროგრამირებისთვის მნიშვნელოვანია ლოგიკის ალგებრის ფუნქციები, რომლებიც იწერება შესაბამისინიშნები და სიმბოლოები. და მათი სწავლა ნიშნავს ახალი უცხო ენის დაუფლებას. შეუძლებელი არაფერია.
ძირითადი ცნებები და განმარტებები
სიღრმისეულად შევეხოთ ტერმინოლოგიას. ასე რომ, ლოგიკური ალგებრა ვარაუდობს:
- განცხადებები;
- ლოგიკური ოპერაციები;
- ფუნქციები და კანონები.
განცხადებები არის ნებისმიერი დადებითი გამონათქვამი, რომელიც არ შეიძლება იყოს ორაზროვანი ინტერპრეტაცია. ისინი იწერება რიცხვების სახით (5 > 3) ან ჩამოყალიბებულია ნაცნობი სიტყვებით (სპილო ყველაზე დიდი ძუძუმწოვარია). ამავდროულად, ფრაზას "ჟირაფს კისერი არ აქვს" ასევე აქვს არსებობის უფლება, მხოლოდ ლოგის ალგებრა განსაზღვრავს მას როგორც "ცრუ".
ყველა განცხადება უნდა იყოს ცალსახა, მაგრამ ისინი შეიძლება იყოს ელემენტარული და რთული. ეს უკანასკნელი იყენებს ლოგიკურ კავშირებს. ანუ მსჯელობის ალგებრაში რთული დებულებები იქმნება ელემენტარული დებულებების მიმატებით ლოგიკური მოქმედებების საშუალებით.
ბულის ალგებრა ოპერაციები
ჩვენ უკვე გვახსოვს, რომ განსჯის ალგებრაში მოქმედებები ლოგიკურია. როგორც რიცხვების ალგებრა იყენებს არითმეტიკას რიცხვების დასამატებლად, გამოკლებისთვის ან შესადარებლად, მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ რთული განცხადებები, უარყოფთ ან გამოთვალოთ საბოლოო შედეგი.
ფორმალიზაციისა და სიმარტივის ლოგიკური ოპერაციები იწერება არითმეტიკაში ჩვენთვის ნაცნობი ფორმულებით. ბულის ალგებრის თვისებები შესაძლებელს ხდის განტოლებების დაწერას და უცნობის გამოთვლას. ლოგიკური ოპერაციები ჩვეულებრივ იწერება ჭეშმარიტების ცხრილის გამოყენებით. მისი სვეტებიგანსაზღვრეთ გაანგარიშების ელემენტები და მათზე შესრულებული ოპერაცია და ხაზები აჩვენებს გაანგარიშების შედეგს.
ძირითადი ლოგიკური მოქმედებები
ბულის ალგებრაში ყველაზე გავრცელებული მოქმედებებია უარყოფა (NOT) და ლოგიკური AND და OR. განსჯათა ალგებრაში თითქმის ყველა მოქმედება შეიძლება ასე იყოს აღწერილი. მოდით უფრო დეტალურად შევისწავლოთ სამივე ოპერაცია.
უარყოფა (არა) ეხება მხოლოდ ერთ ელემენტს (ოპერანდს). მაშასადამე, უარყოფის ოპერაციას უნარი ეწოდება. "არა A" ცნების დასაწერად გამოიყენეთ შემდეგი სიმბოლოები: ¬A, A¯¯¯ ან !A. ცხრილის სახით ასე გამოიყურება:
უარყოფის ფუნქცია ხასიათდება შემდეგი დებულებით: თუ A მართალია, მაშინ B არის მცდარი. მაგალითად, მთვარე ბრუნავს დედამიწის გარშემო - მართალია; დედამიწა ბრუნავს მთვარის გარშემო - ცრუ.
ლოგიკური გამრავლება და შეკრება
ლოგიკურ AND-ს ეწოდება შეერთების ოპერაცია. Რას ნიშნავს? ჯერ ერთი, რომ ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორ ოპერანდზე, ანუ ორობითი ოპერაციაა. მეორეც, რომ მხოლოდ ორივე ოპერანდის (როგორც A და B) ჭეშმარიტების შემთხვევაშია თავად გამოთქმა ჭეშმარიტი. ანდაზა „მოთმინება და შრომა ყველაფერს დაფქვავს“ვარაუდობს, რომ მხოლოდ ორივე ფაქტორი დაეხმარება ადამიანს სირთულეებთან გამკლავებაში.
სიმბოლოები, რომლებიც გამოიყენება დასაწერად: A∧B, A⋅B ან A&&B.
შეერთება არითმეტიკაში გამრავლების მსგავსია. ზოგჯერ ამბობენ, რომ - ლოგიკური გამრავლება. თუ ცხრილის ელემენტებს გავამრავლებთ მწკრივზე, მივიღებთ ლოგიკური მსჯელობის მსგავს შედეგს.
დისჯუნქცია არის ლოგიკური ან ოპერაცია. მას ჭეშმარიტების ღირებულება სჭირდებაროდესაც დებულებიდან ერთი მაინც არის ჭეშმარიტი (ან A ან B). ასე იწერება: A∨B, A+B ან A||B. ამ ოპერაციების სიმართლის ცხრილებია:
დისჯუნქცია ჰგავს არითმეტიკულ შეკრებას. ლოგიკური შეკრების ოპერაციას აქვს მხოლოდ ერთი შეზღუდვა: 1+1=1. მაგრამ ჩვენ გვახსოვს, რომ ციფრულ ფორმატში, მათემატიკური ლოგიკა შემოიფარგლება 0-ით და 1-ით (სადაც 1 მართალია, 0 არის მცდარი). მაგალითად, განცხადება "მუზეუმში შეგიძლიათ ნახოთ შედევრი ან შეხვდეთ საინტერესო თანამოსაუბრეს" ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ხელოვნების ნიმუშები, ან შეგიძლიათ შეხვდეთ საინტერესო ადამიანს. ამავდროულად, არ არის გამორიცხული, რომ ორივე მოვლენა ერთდროულად მოხდეს.
ფუნქციები და კანონები
მაშ, ჩვენ უკვე ვიცით, რა ლოგიკურ ოპერაციებს იყენებს ლოგიკური ალგებრა. ფუნქციები აღწერს მათემატიკური ლოგიკის ელემენტების ყველა თვისებას და საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ ამოცანების რთული რთული პირობები. ყველაზე გასაგები და მარტივი თვისება, როგორც ჩანს, არის მიღებული ოპერაციების უარყოფა. წარმოებულები არის ექსკლუზიური OR, მნიშვნელობა და ეკვივალენტობა. ვინაიდან ჩვენ შევისწავლეთ მხოლოდ ძირითადი ოპერაციები, განვიხილავთ მხოლოდ მათ თვისებებს.
ასოციაციურობა ნიშნავს, რომ დებულებებში, როგორიცაა "და A, და B, და C", ოპერანდების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. ფორმულა ასე იწერება:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
როგორც ხედავთ, ეს დამახასიათებელია არა მხოლოდ შეერთებისთვის, არამედ დისიუნქციისთვისაც.
კომუტატიურობა აცხადებს, რომ შედეგიშეერთება ან განცალკევება არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელი ელემენტი იყო განხილული პირველი:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
განაწილება იძლევა ფრჩხილების გაფართოების საშუალებას რთულ ლოგიკურ გამონათქვამებში. წესები წააგავს ფრჩხილების გახსნას გამრავლებაში და შეკრებაში ალგებრაში:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
ერთის და ნულის თვისებები, რომელიც შეიძლება იყოს ერთ-ერთი ოპერანდი, ასევე მსგავსია ალგებრული გამრავლების ნულზე ან ერთზე და შეკრების ერთთან:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
იდეპოტენცია გვეუბნება, რომ თუ ორ თანაბარ ოპერანდთან მიმართებაში, ოპერაციის შედეგი მსგავსი აღმოჩნდება, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია "გადაგდოთ" ზედმეტი ოპერანდები, რომლებიც ართულებენ მსჯელობის მიმდინარეობას. შეერთებაც და დისიუნქციაც იდემპოტენტური ოპერაციებია.
B∧B=B; B∨B=B.
აბსორბცია ასევე საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ განტოლებები. აბსორბცია აცხადებს, რომ როდესაც იგივე ელემენტის სხვა ოპერაცია გამოიყენება გამოხატულებაზე ერთი ოპერანდით, შედეგი არის შთანთქმის ოპერაციის ოპერანდი.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
ოპერაციების თანმიმდევრობა
ოპერაციების თანმიმდევრობას არ აქვს მცირე მნიშვნელობა. სინამდვილეში, რაც შეეხება ალგებრას, არსებობს ფუნქციების პრიორიტეტი, რომელსაც იყენებს ლოგიკური ალგებრა. ფორმულების გამარტივება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკვირვებული იქნება ოპერაციების მნიშვნელობა. რანჟირება ყველაზე მნიშვნელოვანიდან უმცირესამდე, მივიღებთ შემდეგ თანმიმდევრობას:
1. უარყოფა.
2. შეერთება.
3. Disjunction, ექსკლუზიურიან.
4. მნიშვნელობა, ეკვივალენტობა.
როგორც ხედავთ, მხოლოდ უარყოფას და კავშირს არ აქვთ თანაბარი უპირატესობა. დისუნქციისა და XOR-ის პრიორიტეტი ტოლია, ისევე როგორც იმპლიკაციისა და ეკვივალენტობის პრიორიტეტები.
იმპლიკაცია და ეკვივალენტობის ფუნქციები
როგორც უკვე ვთქვით, ძირითადი ლოგიკური ოპერაციების გარდა, მათემატიკური ლოგიკა და ალგორითმების თეორია იყენებს წარმოებულებს. ყველაზე ხშირად გამოყენებული არის იმპლიკაცია და ეკვივალენტობა.
იმპლიკაცია, ან ლოგიკური შედეგი, არის განცხადება, რომელშიც ერთი მოქმედება არის პირობა, ხოლო მეორე არის მისი განხორციელების შედეგი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის წინადადება წინადადებებით "თუ … მაშინ". "თუ გიყვართ ტარება, გიყვართ ციგების ტარება." ანუ, თხილამურებით სრიალისთვის საჭიროა სასწავლებლის გამაგრება გორაზე. თუ მთაზე გადაადგილების სურვილი არ გაქვთ, მაშინ არ გჭირდებათ სასწავლებელი ატაროთ. ასე წერია: A→B ან A⇒B.
ეკვივალენტობა ვარაუდობს, რომ შედეგად მიღებული მოქმედება ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ორივე ოპერანდი მართალია. მაგალითად, ღამე დღედ იქცევა, როცა (და მხოლოდ მაშინ) როცა მზე ამოდის ჰორიზონტზე. მათემატიკური ლოგიკის ენაზე ეს განცხადება ასე იწერება: A≡B, A⇔B, A==B.
ბულის ალგებრის სხვა კანონები
განსჯების ალგებრა ვითარდება და ბევრმა დაინტერესებულმა მეცნიერმა ჩამოაყალიბა ახალი კანონები. ყველაზე ცნობილად ითვლება შოტლანდიელი მათემატიკოსის ო. დე მორგანის პოსტულატები. მან შენიშნა და განსაზღვრა ისეთი თვისებები, როგორიცაა ახლო უარყოფა, კომპლიმენტი და ორმაგი უარყოფა.
დახურვის უარყოფა ნიშნავს, რომ არ არსებობს უარყოფა ფრჩხილების წინ:არა (A ან B)=არა A ან NOT B.
როდესაც ოპერანდი უარყოფილია, მიუხედავად მისი მნიშვნელობისა, საუბარია კომპლემენტზე:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
და ბოლოს, ორმაგი უარყოფა ანაზღაურებს თავის თავს. იმათ. ან უარყოფა ქრება ოპერანდამდე, ან რჩება მხოლოდ ერთი.
როგორ ამოხსნათ ტესტები
მათემატიკური ლოგიკა გულისხმობს მოცემული განტოლებების გამარტივებას. ისევე, როგორც ალგებრაში, ჯერ უნდა გაამარტივოთ პირობა (გაათავისუფლოთ რთული შეყვანები და ოპერაციები მათთან ერთად) და შემდეგ დაიწყოთ სწორი პასუხის ძებნა.
რა შეიძლება გაკეთდეს გასამარტივებლად? გადაიყვანეთ ყველა მიღებული ოპერაცია მარტივზე. შემდეგ გახსენით ყველა ფრჩხილი (ან პირიქით, ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან ამ ელემენტის შესამცირებლად). შემდეგი ნაბიჯი უნდა იყოს ლოგიკური ალგებრის თვისებების პრაქტიკაში გამოყენება (შთანთქმა, ნულის და ერთის თვისებები და ა.შ.).
საბოლოოდ, განტოლება უნდა შედგებოდეს უცნობების მინიმალური რაოდენობისგან, რომლებიც გაერთიანებულია მარტივი ოპერაციებით. გამოსავლის პოვნის უმარტივესი გზაა დიდი რაოდენობის ახლო უარყოფითის მიღწევა. შემდეგ პასუხი გამოჩნდება თითქოს თავისთავად.
