კვადრატული ფესვის შემცველი რიცხვითი გამონათქვამებით მუშაობის უნარი აუცილებელია OGE-დან და USE-დან რიგი ამოცანების წარმატებით გადაჭრისთვის. ამ გამოცდებში, როგორც წესი, საკმარისია იმის ცოდნა, თუ რა არის ფესვის ექსტრაქცია და როგორ ხდება ის პრაქტიკაში.
განმარტება
X რიცხვის n-ე ფესვი არის x რიცხვი, რომლის ტოლობა მართალია: xn =X.
გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა ფესვით ნიშნავს x-ის პოვნას მოცემული X და n.
კვადრატული ფესვი ან, რომელიც იგივეა, X-ის მეორე ფესვი - რიცხვი x, რომლისთვისაც ტოლობა დაკმაყოფილებულია: x2 =X.
აღნიშვნა: ∛Х. აქ 3 არის ფესვის ხარისხი, X არის ფესვის გამოხატულება. ნიშანს "√" ხშირად რადიკალს უწოდებენ.
თუ ძირის ზემოთ რიცხვი არ მიუთითებს ხარისხზე, მაშინ ნაგულისხმევია ხარისხი 2.
სასკოლო კურსში თანაბარი ხარისხით, როგორც წესი, არ განიხილება უარყოფითი ფესვები და რადიკალური გამონათქვამები. მაგალითად, არ არსებობს√-2, ხოლო √4 გამოსახულებისთვის სწორი პასუხია 2, მიუხედავად იმისა, რომ (-2)2 ასევე უდრის 4-ს.
ძირების რაციონალურობა და ირაციონალურობა
ძირითადი უმარტივესი ამოცანა არის გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა ან რაციონალურობის შემოწმება.
მაგალითად, გამოთვალეთ მნიშვნელობები √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, რადგან 52 =25;
- ∛8=2, რადგან 23 =8;
- ∛ - 125=-5 წლიდან (-5)3 =-125.
მოცემული მაგალითების პასუხები რაციონალური რიცხვებია.
გამონათქვამებთან მუშაობისას, რომლებიც არ შეიცავს ლიტერატურულ მუდმივებსა და ცვლადებს, რეკომენდებულია ასეთი შემოწმება ყოველთვის შეასრულოთ ბუნებრივ სიმძლავრემდე ამაღლების შებრუნებული ოპერაციით. x რიცხვის პოვნა n-ე ხარისხამდე უდრის x-ის n ფაქტორის ნამრავლის გამოანგარიშებას.
არსებობს მრავალი გამონათქვამი ფესვით, რომელთა მნიშვნელობა არის ირაციონალური, ანუ იწერება როგორც უსასრულო არაპერიოდული წილადი.
განმარტებით, რაციონალური არის ის, რაც შეიძლება გამოისახოს როგორც საერთო წილადი, ხოლო ირაციონალური არის ყველა სხვა რეალური რიცხვი.
ეს მოიცავს √24, √0, 1, √101.
თუ პრობლემის წიგნში ნათქვამია: იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2, 3, 5, 6, 7 და ა.შ. ფესვით, ანუ იმ ნატურალური რიცხვებიდან, რომლებიც არ არის კვადრატების ცხრილში., მაშინ სწორი პასუხია √ შეიძლება იყოს 2 (თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული).
შეფასება
პრობლემებშიღია პასუხი, თუ შეუძლებელია ფესვით გამოსახულების მნიშვნელობის პოვნა და რაციონალური რიცხვის სახით დაწერა, შედეგი უნდა დარჩეს რადიკალად.
ზოგიერთ დავალებას შეიძლება დასჭირდეს შეფასება. მაგალითად, შეადარეთ 6 და √37. გამოსავალი მოითხოვს ორივე რიცხვის კვადრატს და შედეგების შედარებას. ორი რიცხვიდან უფრო დიდია ის, ვისი კვადრატიც დიდია. ეს წესი მუშაობს ყველა დადებით რიცხვზე:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- ნიშნავს √37 > 6.
ასევე წყდება ამოცანები, რომლებშიც რამდენიმე რიცხვი უნდა განლაგდეს ზრდადობით ან კლებადობით.
მაგალითი: დაალაგეთ 5, √6, √48, √√64 ზრდადი თანმიმდევრობით.
კვადრატში გაყვანის შემდეგ გვაქვს: 25, 6, 48, √64. შეიძლება ყველა რიცხვი ისევ კვადრატში იყოს √64-თან შესადარებლად, მაგრამ ის უდრის რაციონალურ რიცხვს 8-ს.
გამოთქმის გამარტივება
შეუძლებელია გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა ფესვით, ამიტომ ის უნდა გამარტივდეს. შემდეგი ფორმულა დაგეხმარებათ ამაში:
√ab=√a√b.
ორი რიცხვის ნამრავლის ფესვი მათი ფესვების ნამრავლის ტოლია. ამ ოპერაციას ასევე დასჭირდება რიცხვის ფაქტორიზირების შესაძლებლობა.
საწყის ეტაპზე სამუშაოს დასაჩქარებლად რეკომენდებულია მარტივი რიცხვების და კვადრატების ცხრილი ხელთ. ეს მაგიდები ხშირიამომავალში გამოყენება დაიმახსოვრდება.
მაგალითად, √242 არის ირაციონალური რიცხვი, შეგიძლიათ გადაიყვანოთ იგი შემდეგნაირად:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
როგორც წესი, შედეგი იწერება როგორც 11√2 (წაიკითხეთ: თერთმეტი ფესვი ორიდან).
თუ ძნელია დაუყონებლივ დაინახო, რომელ ორ ფაქტორად უნდა დაიშალა რიცხვი, რათა ერთ-ერთი მათგანიდან ბუნებრივი ფესვის ამოღება მოხდეს, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სრული დაშლა პირველ ფაქტორებად. თუ ერთი და იგივე მარტივი რიცხვი ორჯერ გვხვდება გაფართოების დროს, ის ამოღებულია ძირის ნიშნიდან. როდესაც ბევრი ფაქტორია, შეგიძლიათ ფესვის ამოღება რამდენიმე ნაბიჯით.
მაგალითი: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). რიცხვი 2 ჩნდება გაფართოებაში 2-ჯერ (ფაქტობრივად, ორჯერ მეტი, მაგრამ ჩვენ მაინც გვაინტერესებს გაფართოების პირველი ორი შემთხვევა).
ჩვენ ამოვიღებთ ძირის ნიშნის ქვეშ:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 √ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
გაიმეორეთ იგივე მოქმედება:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2 √ (2 × 3 × 5 × 5).
დარჩენილ რადიკალურ გამოხატულებაში 2 და 3 ჩნდება ერთხელ, ამიტომ რჩება 5 ფაქტორის ამოღება:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
და შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედებები:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
მაშ, მივიღებთ √2400=20√6.
თუ დავალებაში ცალსახად არ არის ნათქვამი: „იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა კვადრატული ფესვით“, მაშინ არჩევანი,რა ფორმით დატოვოს პასუხი (ამოიღო თუ არა ფესვი რადიკალის ქვემოდან) რჩება მოსწავლეზე და შეიძლება დამოკიდებული იყოს პრობლემის გადაჭრაზე.
თავდაპირველად მაღალი მოთხოვნები დგება დავალებების შედგენაზე, გაანგარიშებაზე, მათ შორის ზეპირად თუ წერილობით, ტექნიკური საშუალებების გამოყენების გარეშე.
მხოლოდ ირაციონალური რიცხვითი გამონათქვამებით მუშაობის წესების კარგად დაუფლების შემდეგ, აზრი აქვს გადავიდეთ უფრო რთულ ლიტერატურულ გამონათქვამებზე და ირაციონალური განტოლებების ამოხსნაზე და გამოთვალოთ გამოსახულების შესაძლო მნიშვნელობების დიაპაზონი. რადიკალური.
ამ ტიპის პრობლემას სტუდენტები აწყდებიან როგორც მათემატიკის ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ასევე სპეციალიზებული უნივერსიტეტების პირველ კურსზე მათემატიკური ანალიზისა და მასთან დაკავშირებული დისციპლინების შესწავლისას.
