სივრცითი ფიგურების თვისებების შესწავლა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრაში. მეცნიერებას, რომელიც ეხება ფიგურებს სივრცეში, ეწოდება სტერეომეტრია. ამ სტატიაში, მყარი გეომეტრიის თვალსაზრისით, განვიხილავთ კონუსს და ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ კონუსის ფართობი.
კონუსი მრგვალი ფუძით
ზოგად შემთხვევაში, კონუსი არის ზედაპირი, რომელიც აგებულია გარკვეულ სიბრტყეზე, რომლის ყველა წერტილი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული სეგმენტებით სივრცეში ერთი წერტილით. ამ უკანასკნელს კონუსის მწვერვალი ეწოდება.
ზემოხსენებული განმარტებიდან ირკვევა, რომ მრუდს შეიძლება ჰქონდეს თვითნებური ფორმა, როგორიცაა პარაბოლური, ჰიპერბოლური, ელიფსური და ა.შ. მიუხედავად ამისა, პრაქტიკაში და გეომეტრიის პრობლემებში ხშირად გვხვდება მრგვალი კონუსი. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.
აქ სიმბოლო r აღნიშნავს ფიგურის ფუძეზე მდებარე წრის რადიუსს, h არის წრის სიბრტყის პერპენდიკულარული, რომელიც გამოყვანილია ფიგურის ზემოდან. სიმაღლე ჰქვია. მნიშვნელობა s არის კონუსის გენერატრიქსი ან მისი გენერატორი.
შეიძლება ნახოთ, რომ სეგმენტები r, h და sშექმენით მართკუთხა სამკუთხედი. თუ ის ბრუნავს h ფეხის გარშემო, მაშინ ჰიპოტენუზა s აღწერს კონუსურ ზედაპირს, ხოლო ფეხი r ქმნის ფიგურის მრგვალ ფუძეს. ამ მიზეზით, კონუსი ითვლება რევოლუციის ფიგურად. სამი დასახელებული წრფივი პარამეტრი ერთმანეთთან დაკავშირებულია ტოლობით:
s2=r2+ h2
გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული ტოლობა მოქმედებს მხოლოდ მრგვალი სწორი კონისთვის. სწორი ფიგურა არის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი სიმაღლე ზუსტად ეცემა საბაზისო წრის ცენტრში. თუ ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ფიგურას ეწოდება ირიბი. განსხვავება სწორ და ირიბ კონუსებს შორის ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.
ფორმის განვითარება
კონუსის ზედაპირის ფართობის შესწავლა მოსახერხებელია მისი სიბრტყეში გათვალისწინებით. სივრცეში ფიგურების ზედაპირის წარმოდგენის ამ ხერხს მათ განვითარებას უწოდებენ. კონუსისთვის, ეს განვითარება შეიძლება მიიღოთ შემდეგნაირად: თქვენ უნდა აიღოთ ფიგურა, რომელიც დამზადებულია, მაგალითად, ქაღალდიდან. შემდეგ მაკრატლით მოაჭერით მრგვალი ძირი გარშემოწერილობის გარშემო. ამის შემდეგ, გენერატრიქსის გასწვრივ, გააკეთეთ კონუსური ზედაპირის ჭრილი და გადააქციეთ იგი თვითმფრინავად. ამ მარტივი ოპერაციების შედეგი იქნება კონუსის განვითარება, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
როგორც ხედავთ, კონუსის ზედაპირი მართლაც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სიბრტყეზე. იგი შედგება შემდეგი ორი ნაწილისგან:
- წრე r რადიუსით, რომელიც წარმოადგენს ფიგურის ფუძეს;
- წრიული სექტორი g რადიუსით, რომელიც არის კონუსური ზედაპირი.
კონუსის ფართობის ფორმულა გულისხმობს ორივე გაშლილი ზედაპირის ფართობის პოვნას.
გამოთვალეთ ფიგურის ზედაპირის ფართობი
მოდით დავალება ორ ეტაპად გავყოთ. ჯერ ვხვდებით კონუსის ფუძის ფართობს, შემდეგ კონუსური ზედაპირის ფართობს.
პრობლემის პირველი ნაწილი ადვილად მოსაგვარებელია. იმის გამო, რომ რადიუსი r მოცემულია, საკმარისია გავიხსენოთ წრის ფართობის შესაბამისი გამოხატულება, რომ გამოვთვალოთ ბაზის ფართობი. მოდი ჩავწეროთ:
So=პი × r2
თუ რადიუსი არ არის ცნობილი, მაშინ ჯერ უნდა იპოვოთ იგი მის, სიმაღლესა და გენერატორს შორის ურთიერთობის ფორმულის გამოყენებით.
კონუსის ფართობის პოვნის პრობლემის მეორე ნაწილი გარკვეულწილად უფრო რთულია. გაითვალისწინეთ, რომ წრიული სექტორი აგებულია გენერატრიქსის g რადიუსზე და შემოსაზღვრულია რკალით, რომლის სიგრძე ტოლია წრის წრეწირის. ეს ფაქტი საშუალებას გაძლევთ ჩაწეროთ პროპორცია და იპოვოთ განხილული სექტორის კუთხე. ავღნიშნოთ ბერძნული ასო φ. ეს კუთხე ტოლი იქნება:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
მრგვალი სექტორის ცენტრალური კუთხის φ ცოდნა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შესაბამისი პროპორცია მისი ფართობის საპოვნელად. ავღნიშნოთ სიმბოლო Sb. ტოლი იქნება:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=პი × გ2 × φ / (2 × პი)=პი × რ × გ
ანუ, კონუსური ზედაპირის ფართობი შეესაბამება g გენერატრიქსის ნამრავლს, r ფუძის რადიუსს და რიცხვს Pi.
იცოდი რა სფეროებია ორივეგანიხილება ზედაპირები, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ კონუსის ფართობის საბოლოო ფორმულა:
S=So+ Sb=pi × r2+ პი × r × გ=პი × რ × (რ + გ)
წერილობითი გამოხატულება გულისხმობს კონუსის ორი წრფივი პარამეტრის ცოდნას S-ის გამოსათვლელად. თუ g ან r უცნობია, მაშინ მათი პოვნა შესაძლებელია h სიმაღლეზე.
კონუსის ფართობის გამოთვლის პრობლემა
ცნობილია, რომ მრგვალი სწორი კონუსის სიმაღლე მისი დიამეტრის ტოლია. აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, იმის ცოდნა, რომ მისი ფუძის ფართობი არის 50 სმ2.
წრის ფართობის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ ფიგურის რადიუსი. ჩვენ გვაქვს:
So=პი × r2=>
r=√(So /პი)
ახლა ვიპოვოთ გენერატორი g h და r-ის მიხედვით. პირობის მიხედვით, ფიგურის სიმაღლე h უდრის ორ რადიუსს r, შემდეგ:
სთ=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So /პი)
გ და r-ის ნაპოვნი ფორმულები უნდა შეიცვალოს კონუსის მთელი ფართობის გამოხატულებაში. ჩვენ ვიღებთ:
S=So+ პი × √(So /პი) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
მიღებულ გამოსახულებაში ვცვლით ფუძის ფართობს So და ვწერთ პასუხს: S ≈ 161,8 სმ2.
