გეომეტრიაში რევოლუციის ფიგურებს განსაკუთრებული ყურადღება ექცევა მათი მახასიათებლებისა და თვისებების შესწავლისას. ერთ-ერთი მათგანია დამსხვრეული კონუსი. ეს სტატია მიზნად ისახავს პასუხის გაცემას კითხვაზე, თუ რა ფორმულით შეიძლება გამოვთვალოთ შეკვეცილი კონუსის ფართობი.
რომელ ფიგურაზეა საუბარი?
შეჭრილი კონუსის ფართობის აღწერამდე აუცილებელია ამ ფიგურის ზუსტი გეომეტრიული განსაზღვრება. შეკვეცილი არის ისეთი კონუსი, რომელიც მიიღება ჩვეულებრივი კონუსის წვეროს სიბრტყით მოჭრის შედეგად. ამ განმარტებაში ხაზგასმულია მთელი რიგი ნიუანსი. პირველ რიგში, მონაკვეთის სიბრტყე პარალელურად უნდა იყოს კონუსის ფუძის სიბრტყის პარალელურად. მეორეც, ორიგინალური ფიგურა უნდა იყოს წრიული კონუსი. რა თქმა უნდა, ეს შეიძლება იყოს ელიფსური, ჰიპერბოლური და სხვა ტიპის ფიგურა, მაგრამ ამ სტატიაში ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ წრიული კონუსის გათვალისწინებით. ეს უკანასკნელი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.
ადვილი მისახვედრია, რომ მისი მიღება შესაძლებელია არა მხოლოდ თვითმფრინავის მონაკვეთის, არამედ ბრუნვის მოქმედების დახმარებით. ამისთვისამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ ტრაპეცია, რომელსაც აქვს ორი მართი კუთხე და მოატრიალოთ ის იმ მხარის გარშემო, რომელიც ამ სწორი კუთხით არის მიმდებარე. შედეგად, ტრაპეციის ფუძეები გახდება შეკვეცილი კონუსის ფუძეების რადიუსი, ხოლო ტრაპეციის გვერდითი დახრილი მხარე აღწერს კონუსურ ზედაპირს.
ფორმის განვითარება
შეჭრილი კონუსის ზედაპირის ფართობის გათვალისწინებით, სასარგებლოა მისი განვითარება, ანუ სიბრტყეზე სამგანზომილებიანი ფიგურის ზედაპირის გამოსახულება. ქვემოთ მოცემულია შესწავლილი ფიგურის სკანირება თვითნებური პარამეტრებით.
შეიძლება დავინახოთ, რომ ფიგურის ფართობი სამი კომპონენტისგან შედგება: ორი წრე და ერთი შეკვეცილი წრიული სეგმენტი. ცხადია, საჭირო ფართობის დასადგენად აუცილებელია ყველა დასახელებული ფიგურის ფართობის შეკრება. მოდით გადავჭრათ ეს პრობლემა მომდევნო აბზაცში.
შეკვეცილი კონუსის არე
შემდეგი მსჯელობის გასაადვილებლად, შემოგთავაზებთ შემდეგ აღნიშვნას:
- r1, r2 - დიდი და პატარა ფუძეების რადიუსი, შესაბამისად;
- სთ - ფიგურის სიმაღლე;
- g - კონუსის გენერატრიქსი (ტრაპეციის ირიბი მხარის სიგრძე).
შეჭრილი კონუსის ფუძის ფართობის გამოთვლა ადვილია. დავწეროთ შესაბამისი გამონათქვამები:
So1=pir12;
So2=pir22.
წრიული სეგმენტის ნაწილის ფართობის დადგენა გარკვეულწილად უფრო რთულია. თუ წარმოვიდგენთ, რომ ამ წრიული სექტორის ცენტრი არ არის ამოჭრილი, მაშინ მისი რადიუსი იქნება G მნიშვნელობის ტოლი. მისი გამოთვლა არ არის რთული, თუ გავითვალისწინებთ შესაბამისს.მსგავსი მართკუთხა კონუსის სამკუთხედები. უდრის:
G=r1გ/(r1-r21
-r2).
მაშინ მთელი წრიული სექტორის ფართობი, რომელიც აგებულია G რადიუსზე და რომელიც ეყრდნობა 2pir1 სიგრძის რკალს, ტოლი იქნება. მდე:
S1=პირ1G=პირ1 2გ/(r1-r2).
ახლა განვსაზღვროთ მცირე წრიული სექტორის ფართობი S2, რომელიც უნდა გამოვაკლოთ S1. უდრის:
S2=პირ2(G - გ)=პირ2 (r1გ/(r1-r2) - გ)=პირ22გ/(r1-r2 ).
კონუსური წაკვეთილი ზედაპირის ფართობი Sb უდრის სხვაობას S1 და S შორის 2. ჩვენ ვიღებთ:
Sb=S1- S2=პირ 12გ/(r1-r2) - პი r22გ/(r1-r2)=pig(r1+r2).
მიუხედავად რთული გამოთვლებისა, ჩვენ მივიღეთ საკმაოდ მარტივი გამოხატულება ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის.
ფუძეების ფართობებისა და Sb-ის მიმატებით, მივდივართ შეკვეცილი კონუსის ფართობის ფორმულამდე:
S=So1+ So2+ Sb=პირ 12 + პირ22 + პიგ (r1+r2).
ამგვარად, შესწავლილი ფიგურის S მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სამი წრფივი პარამეტრი.
პრობლემის მაგალითი
წრიული სწორი კონუსი10 სმ რადიუსით და 15 სმ სიმაღლით გაწყვიტა თვითმფრინავი ისე, რომ მიიღეს რეგულარული წაჭრილი კონუსი. იმის ცოდნა, რომ ჩამოჭრილი ფიგურის ფუძეებს შორის მანძილი 10 სმ-ია, აუცილებელია ვიპოვოთ მისი ზედაპირის ფართობი.
შეჭრილი კონუსის ფართობის ფორმულის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი სამი პარამეტრი. ერთი ვიცით:
r1=10 სმ.
დანარჩენი ორი ადვილი გამოსათვლელია, თუ გავითვალისწინებთ მსგავს მართკუთხა სამკუთხედებს, რომლებიც მიიღება კონუსის ღერძული მონაკვეთის შედეგად. პრობლემის მდგომარეობის გათვალისწინებით ვიღებთ:
r2=105/15=3,33 სმ.
საბოლოოდ, შეკვეცილი კონუსის გზამკვლევი g იქნება:
g=√(102+ (r1-r21-r2
) 2)=12,02 სმ.
ახლა შეგიძლიათ შეცვალოთ მნიშვნელობები r1, r2 და g ფორმულაში S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 სმ 2.
ფიგურის სასურველი ზედაპირის ფართობი არის დაახლოებით 852 სმ2.
