ერთ-ერთი ფიგურა, რომელიც ჩნდება სივრცეში გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას არის კონუსი. ის, პოლიედრებისგან განსხვავებით, მიეკუთვნება ბრუნვის ფიგურების კლასს. მოდით განვიხილოთ სტატიაში, თუ რას ნიშნავს იგი გეომეტრიაში და გამოვიკვლიოთ კონუსის სხვადასხვა მონაკვეთის მახასიათებლები.
კონუსი გეომეტრიაში
ვივარაუდოთ, რომ თვითმფრინავზე არის გარკვეული მრუდი. ეს შეიძლება იყოს პარაბოლა, წრე, ელიფსი და ა.შ. აიღეთ წერტილი, რომელიც არ ეკუთვნის მითითებულ სიბრტყეს და დააკავშირეთ მას მრუდის ყველა წერტილი. მიღებულ ზედაპირს ეწოდება კონუსი ან უბრალოდ კონუსი.
თუ თავდაპირველი მრუდი დახურულია, მაშინ კონუსური ზედაპირი შეიძლება შეივსოს მატერიით. ამ გზით მიღებული ფიგურა არის სამგანზომილებიანი სხეული. მას ასევე უწოდებენ კონუსს. რამდენიმე ქაღალდის კონუსი ნაჩვენებია ქვემოთ.
კონუსური ზედაპირი გვხვდება ყოველდღიურ ცხოვრებაში. მაგალითად, ნაყინის კონუსს ან ზოლიან სატრანსპორტო კონუსს აქვს ასეთი ფორმა, რომელიც შექმნილია მძღოლების ყურადღების მიქცევისთვის დაფეხით მოსიარულეები.
გირჩების ტიპები
როგორც შეიძლება მიხვდეთ, განხილული ფიგურები ერთმანეთისგან განსხვავდებიან იმ მრუდის ტიპის მიხედვით, რომელზედაც ისინი იქმნება. მაგალითად, არის მრგვალი კონუსი ან ელიფსური. ამ მრუდს ფიგურის ფუძე ეწოდება. თუმცა, ფუძის ფორმა არ არის ერთადერთი მახასიათებელი, რომელიც იძლევა კონუსების კლასიფიკაციის საშუალებას.
მეორე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია სიმაღლის პოზიცია ფუძესთან მიმართებაში. კონუსის სიმაღლე არის სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც ჩამოშვებულია ფიგურის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე და პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის მიმართ. თუ სიმაღლე კვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში (მაგალითად, წრის ცენტრში), მაშინ კონუსი სწორი იქნება, თუ პერპენდიკულარული სეგმენტი დაეცემა ფუძის ნებისმიერ სხვა წერტილს ან მის მიღმა, მაშინ ფიგურა იქნება ირიბი.
შემდეგ სტატიაში განვიხილავთ მხოლოდ მრგვალ სწორ კონუსს, როგორც ფიგურების განხილული კლასის ნათელ წარმომადგენლად.
კონუსის ელემენტების გეომეტრიული სახელები
ზემოთ ითქვა, რომ კონუსს აქვს საფუძველი. იგი შემოსაზღვრულია წრით, რომელსაც კონუსის მეგზური ეწოდება. სეგმენტებს, რომლებიც აკავშირებენ სახელმძღვანელოს წერტილთან, რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში, ეწოდება გენერატორები. გენერატორების ყველა წერტილის სიმრავლეს ფიგურის კონუსური ან გვერდითი ზედაპირი ეწოდება. მრგვალი მარჯვენა კონისთვის, ყველა გენერატორს აქვს იგივე სიგრძე.
წერტილი, სადაც გენერატორები იკვეთება, ეწოდება ფიგურის ზედა. პოლიედრებისგან განსხვავებით, კონუსს აქვს ერთი წვერო და არაზღვარი.
სწორ ხაზს, რომელიც გადის ფიგურის თავზე და წრის ცენტრში, ეწოდება ღერძი. ღერძი შეიცავს სწორი კონუსის სიმაღლეს, ამიტომ ის ქმნის სწორ კუთხეს ფუძის სიბრტყესთან. ეს ინფორმაცია მნიშვნელოვანია კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობის გაანგარიშებისას.
მრგვალი სწორი კონუსი - ბრუნვის ფიგურა
განხილული კონუსი საკმაოდ სიმეტრიული ფიგურაა, რომელიც შეიძლება მივიღოთ სამკუთხედის ბრუნვის შედეგად. დავუშვათ, გვაქვს სამკუთხედი მართი კუთხით. კონუსის მისაღებად საკმარისია ეს სამკუთხედი შემოატრიალოთ ერთ-ერთი ფეხის გარშემო, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.
შეიძლება დავინახოთ, რომ ბრუნვის ღერძი არის კონუსის ღერძი. ერთი ფეხი ტოლი იქნება ფიგურის სიმაღლეზე, ხოლო მეორე ფეხი გახდება ფუძის რადიუსი. ბრუნვის შედეგად სამკუთხედის ჰიპოტენუზა აღწერს კონუსურ ზედაპირს. ეს იქნება კონუსის გენერაცია.
მრგვალი სწორი კონუსის მიღების ეს მეთოდი მოსახერხებელია ფიგურის ხაზოვან პარამეტრებს შორის მათემატიკური ურთიერთობის შესასწავლად: სიმაღლე h, მრგვალი ფუძის რადიუსი r და გზამკვლევი g. მართკუთხა სამკუთხედის თვისებებიდან გამომდინარეობს შესაბამისი ფორმულა. ის ჩამოთვლილია ქვემოთ:
g2=h2+ r2.
რადგან ჩვენ გვაქვს ერთი განტოლება და სამი ცვლადი, ეს ნიშნავს, რომ მრგვალი კონუსის პარამეტრების ცალსახად დასაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ნებისმიერი ორი სიდიდე.
კონუსის მონაკვეთები სიბრტყით, რომელიც არ შეიცავს ფიგურის წვეროს
ფიგურის მონაკვეთების აგების საკითხი არ არისტრივიალური. ფაქტია, რომ კონუსის მონაკვეთის ფორმა ზედაპირის მიხედვით დამოკიდებულია ფიგურის ფარდობით პოზიციაზე და სეკანტზე.
ვუშვათ, რომ კონუსს ვკვეთთ სიბრტყეს. რა იქნება ამ გეომეტრიული მოქმედების შედეგი? განყოფილების ფორმის ვარიანტები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
ვარდისფერი მონაკვეთი არის წრე. იგი წარმოიქმნება ფიგურის გადაკვეთის შედეგად, კონუსის ფუძის პარალელურად. ეს არის ფიგურის ღერძის პერპენდიკულარული მონაკვეთები. საჭრელი სიბრტყის ზემოთ ჩამოყალიბებული ფიგურა არის ორიგინალის მსგავსი კონუსი, მაგრამ ძირში უფრო მცირე წრე აქვს.
მწვანე მონაკვეთი არის ელიფსი. იგი მიიღება იმ შემთხვევაში, თუ საჭრელი სიბრტყე არ არის ფუძის პარალელურად, მაგრამ ის მხოლოდ კვეთს კონუსის გვერდით ზედაპირს. სიბრტყის ზემოთ მოჭრილ ფიგურას ეწოდება ელიფსური ირიბი კონუსი.
ლურჯი და ნარინჯისფერი სექციები პარაბოლური და ჰიპერბოლურია, შესაბამისად. როგორც ნახატიდან ხედავთ, ისინი მიიღება იმ შემთხვევაში, თუ საჭრელი სიბრტყე ერთდროულად კვეთს ფიგურის გვერდით ზედაპირს და ფუძეს.
კონუსის მონაკვეთების არეების დასადგენად, რომელიც განიხილება, აუცილებელია სიბრტყეზე შესაბამისი ფიგურის ფორმულების გამოყენება. მაგალითად, წრისთვის ეს არის Pi რიცხვი გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე, ხოლო ელიფსისთვის ეს არის Pi-ს ნამრავლი და მცირე და დიდი ნახევარღერძების სიგრძე:
წრე: S=pir2;
ელიფსი: S=piab.
სექციები, რომლებიც შეიცავს კონუსის ზედა ნაწილს
ახლა განიხილეთ სექციების ვარიანტები, რომლებიც წარმოიქმნება ჭრის სიბრტყეზეგაიაროს კონუსის თავზე. შესაძლებელია სამი შემთხვევა:
- განყოფილება არის ერთი წერტილი. მაგალითად, სიბრტყე, რომელიც გადის წვეროზე და ფუძის პარალელურად, იძლევა სწორედ ასეთ მონაკვეთს.
- მონაკვეთი არის სწორი ხაზი. ეს ვითარება ხდება მაშინ, როდესაც თვითმფრინავი კონუსურ ზედაპირთან არის ტანგენტი. მონაკვეთის სწორი ხაზი ამ შემთხვევაში იქნება კონუსის გენერაცია.
- ღერძული განყოფილება. ის იქმნება, როდესაც თვითმფრინავი შეიცავს არა მხოლოდ ფიგურის ზედა ნაწილს, არამედ მთელ მის ღერძს. ამ შემთხვევაში, სიბრტყე იქნება მრგვალი ფუძის პერპენდიკულარული და დაყოფს კონუსს ორ თანაბარ ნაწილად.
ცხადია, პირველი ორი ტიპის მონაკვეთების ფართობი ნულის ტოლია. რაც შეეხება მე-3 ტიპის კონუსის განივი კვეთის ფართობს, ეს საკითხი უფრო დეტალურად განიხილება შემდეგ აბზაცში.
ღერძული განყოფილება
ზემოთ აღინიშნა, რომ კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება, როდესაც კონუსი იკვეთება მის ღერძზე გამავალი სიბრტყით. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს განყოფილება წარმოადგენს ქვემოთ მოცემულ სურათზე გამოსახულ ფიგურას.
ეს არის ტოლფერდა სამკუთხედი. კონუსის ღერძული მონაკვეთის წვერო არის ამ სამკუთხედის წვერო, რომელიც წარმოიქმნება იდენტური გვერდების გადაკვეთით. ეს უკანასკნელი უდრის კონუსის გენერატრიქსის სიგრძეს. სამკუთხედის ფუძე არის კონუსის ფუძის დიამეტრი.
კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობის გამოთვლა მცირდება მიღებული სამკუთხედის ფართობის პოვნამდე. თუ თავიდანვე ცნობილია r ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლე h, მაშინ განსახილველი მონაკვეთის ფართობი S იქნება:
S=სთრ.
ესგამოხატულება არის სამკუთხედის ფართობის სტანდარტული ფორმულის გამოყენების შედეგი (სიმაღლის ნამრავლის ნახევარი ფუძეზე).
გაითვალისწინეთ, რომ თუ კონუსის გენერატრიქსი უდრის მისი მრგვალი ფუძის დიამეტრს, მაშინ კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი.
სამკუთხა მონაკვეთი იქმნება მაშინ, როდესაც საჭრელი სიბრტყე პერპენდიკულარულია კონუსის ფუძესთან და გადის მის ღერძზე. დასახელებული სიბრტყის პარალელურად ნებისმიერი სხვა სიბრტყე იძლევა ჰიპერბოლას განყოფილებაში. თუმცა, თუ სიბრტყე შეიცავს კონუსის წვეროს და კვეთს მის ფუძეს არა დიამეტრით, მაშინ მიღებული მონაკვეთი ასევე იქნება ტოლფერდა სამკუთხედი.
კონუსის წრფივი პარამეტრების განსაზღვრის პრობლემა
მოდით ვაჩვენოთ როგორ გამოვიყენოთ ფორმულა დაწერილი ღერძული მონაკვეთის ფართობისთვის გეომეტრიული ამოცანის გადასაჭრელად.
ცნობილია, რომ კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობია 100 სმ2. შედეგად მიღებული სამკუთხედი ტოლგვერდაა. რა არის კონუსის სიმაღლე და მისი ფუძის რადიუსი?
რადგან სამკუთხედი ტოლგვერდაა, მისი სიმაღლე h დაკავშირებულია a გვერდის სიგრძესთან შემდეგნაირად:
სთ=√3/2a.
თუ გავითვალისწინებთ, რომ სამკუთხედის გვერდი ორჯერ აღემატება კონუსის ფუძის რადიუსს და ამ გამოხატვის ჩანაცვლებით განივი კვეთის ფართობის ფორმულაში, მივიღებთ:
S=სთრ=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
მაშინ კონუსის სიმაღლეა:
სთ=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
რჩება პრობლემის მდგომარეობიდან ფართობის მნიშვნელობის ჩანაცვლებადა მიიღეთ პასუხი:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 სმ;
სთ=√(√3100) ≈ 13, 16 სმ.
რა სფეროებშია მნიშვნელოვანი განხილული მონაკვეთების პარამეტრების ცოდნა?
სხვადასხვა ტიპის კონუსის მონაკვეთების შესწავლა არა მხოლოდ თეორიულ ინტერესს წარმოადგენს, არამედ აქვს პრაქტიკული გამოყენებაც.
პირველ რიგში, უნდა აღინიშნოს აეროდინამიკის არეალი, სადაც კონუსური მონაკვეთების დახმარებით შესაძლებელია მყარი სხეულების იდეალური გლუვი ფორმების შექმნა.
მეორე, კონუსური მონაკვეთები არის ტრაექტორია, რომლის გასწვრივ კოსმოსური ობიექტები მოძრაობენ გრავიტაციულ ველებში. რა კონკრეტული ტიპის მონაკვეთი წარმოადგენს სისტემის კოსმოსური სხეულების მოძრაობის ტრაექტორიას, განისაზღვრება მათი მასების, აბსოლუტური სიჩქარისა და მათ შორის მანძილების თანაფარდობით.
