სამკუთხედი არის სიბრტყეზე დახურული უმარტივესი ფიგურა, რომელიც შედგება მხოლოდ სამი ურთიერთდაკავშირებული სეგმენტისგან. გეომეტრიის პრობლემებში ხშირად საჭიროა ამ ფიგურის ფართობის დადგენა. რა უნდა იცოდე ამისთვის? სტატიაში ჩვენ ვუპასუხებთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სამკუთხედის ფართობი სამ მხარეს.
ზოგადი ფორმულა
ყველა სტუდენტმა იცის, რომ სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება, როგორც მისი რომელიმე გვერდის სიგრძის ნამრავლი - a სიმაღლის ნახევარზე - h, დაშვებული არჩეულ მხარეს. ქვემოთ მოცემულია შესაბამისი ფორმულა: S=ah/2.
ეს გამოთქმა შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ ცნობილია მინიმუმ ორი გვერდი და მათ შორის კუთხის მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში, სიმაღლის h გამოთვლა ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით, როგორიცაა სინუსი. მაგრამ ყველამ არ იცის, როგორ იპოვნოს ფართობი სამკუთხედის სამი გვერდით.
ჰერონის ფორმულა
ეს ფორმულა არის პასუხი კითხვაზე, თუ როგორსამი გვერდი პოულობს სამკუთხედის ფართობს. ჩაწერამდე ავღნიშნოთ თვითნებური ფიგურის მონაკვეთების სიგრძეები a, b და c. ჰერონის ფორმულა იწერება შემდეგნაირად: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
სადაც p არის ფიგურის ნახევარპერიმეტრი, ე.ი.: p=(a+b+c)/2.
მიუხედავად აშკარა უხერხულობისა, ზემოთ მოცემული გამოხატულება S ფართობისთვის ადვილი დასამახსოვრებელია. ამისათვის ჯერ უნდა გამოთვალოთ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, შემდეგ გამოაკლოთ მას ფიგურის გვერდის ერთი სიგრძე, გაამრავლოთ ყველა მიღებული განსხვავება და თავად ნახევარპერიმეტრი. ბოლოს აიღეთ პროდუქტის კვადრატული ფესვი.
ეს ფორმულა ეწოდა ჰერონ ალექსანდრიელის სახელს, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენი ეპოქის დასაწყისში. თანამედროვე ისტორია თვლის, რომ სწორედ ამ ფილოსოფოსმა გამოიყენა პირველად ეს გამოთქმა შესაბამისი გამოთვლების შესასრულებლად. ეს ფორმულა გამოქვეყნებულია მის Metrica-ში, რომელიც თარიღდება ჩვენი წელთაღრიცხვით 60 წლით. გაითვალისწინეთ, რომ არქიმედეს ზოგიერთი ნაშრომი, რომელიც ჰერონზე ორი საუკუნით ადრე ცხოვრობდა, შეიცავს ნიშანს, რომ ბერძენმა ფილოსოფოსმა უკვე იცოდა ფორმულა. გარდა ამისა, ძველმა ჩინელებმა ასევე იცოდნენ სამკუთხედის ფართობის პოვნა, სამი გვერდის ცოდნით.
მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ჰერონის ფორმულის არსებობის ცოდნის გარეშე. ამისათვის დახაზეთ რამდენიმე სიმაღლე სამკუთხედში და გამოიყენეთ წინა აბზაცის ზოგადი ფორმულა, შეადგინეთ განტოლებათა შესაბამისი სისტემა.
ჰერონის გამოთქმა შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვითნებური მრავალკუთხედების ფართობის გამოსათვლელად, მათი დაყოფის შემდეგსამკუთხედები და მიღებული დიაგონალების სიგრძის გამოთვლა.
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ვიცით როგორ ვიპოვოთ სამკუთხედის ფართობი სამ მხარეს, მოდით გავაერთიანოთ ჩვენი ცოდნა შემდეგი ამოცანის ამოხსნით. ფიგურის გვერდები იყოს 5 სმ, 4 სმ და 3 სმ. იპოვეთ ფართობი.
ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჰერონის ფორმულა. ვიანგარიშებთ ნახევარპერიმეტრს და საჭირო განსხვავებებს, გვაქვს:
- p=(a+b+c)/2=6 სმ;
- p-a=1სმ;
- p-b=2სმ;
- p-c=3 სმ.
შემდეგ მივიღებთ ფართობს: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 სმ2.
პრობლემის პირობით მოცემული სამკუთხედი მართკუთხაა, რომლის შემოწმებაც ადვილია, იყენებთ თუ არა პითაგორას თეორემას. ვინაიდან ასეთი სამკუთხედის ფართობი არის ფეხების ნამრავლის ნახევარი, მივიღებთ: S=43/2=6 სმ2.
მიღებული მნიშვნელობა იგივეა რაც ჰერონის ფორმულისთვის, რომელიც ადასტურებს ამ უკანასკნელის მართებულობას.
