სამკუთხედი არის მრავალკუთხედი სამი გვერდით (სამი კუთხით). ყველაზე ხშირად, გვერდები აღინიშნება პატარა ასოებით, რაც შეესაბამება საპირისპირო წვეროებს. ამ სტატიაში ჩვენ გავეცნობით ამ გეომეტრიული ფიგურების ტიპებს, თეორემას, რომელიც განსაზღვრავს რა არის სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.
ხედები კუთხით
გამოიყოფა სამი წვეროსანი მრავალკუთხედის შემდეგი ტიპები:
- მწვავე კუთხის, რომელშიც ყველა კუთხე მკვეთრია;
- მართკუთხა, რომელსაც აქვს ერთი მართი კუთხე, ხოლო მის შემქმნელ გვერდებს ეწოდება ფეხები, ხოლო მხარეს, რომელიც მოთავსებულია სწორი კუთხის საპირისპიროდ, ეწოდება ჰიპოტენუზა;
- ბუნდოვანი, როდესაც ერთი კუთხე ბლაგვია;
- ისოსცენები, რომელშიც ორი გვერდი ტოლია და მათ გვერდითი ეწოდება, ხოლო მესამე არის სამკუთხედის ფუძე;
- ტოლგვერდა, სამივე ტოლი გვერდით.
თვისებები
ისინი ხაზს უსვამენ ძირითად თვისებებს, რომლებიც დამახასიათებელია თითოეული ტიპის სამკუთხედისთვის:
- დიდი მხარის საპირისპიროდ ყოველთვის არის უფრო დიდი კუთხე და პირიქით;
- ტოლი ზომის მოპირდაპირე გვერდები ტოლი კუთხეებია და პირიქით;
- ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს ორი მახვილი კუთხე;
- გარე კუთხე უფრო დიდია, ვიდრე ნებისმიერი შიდა კუთხე, რომელიც არ არის მის გვერდით;
- ნებისმიერი ორი კუთხის ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე ნაკლებია;
- გარე კუთხე უდრის დანარჩენი ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ იკვეთება მასთან.
კუთხეების ჯამის სამკუთხედის თეორემა
თეორემა წერს, რომ თუ დააგროვებთ მოცემული გეომეტრიული ფიგურის ყველა კუთხეს, რომელიც მდებარეობს ევკლიდეს სიბრტყეზე, მაშინ მათი ჯამი იქნება 180 გრადუსი. შევეცადოთ დავამტკიცოთ ეს თეორემა.
მოდით, გვქონდეს თვითნებური სამკუთხედი KMN-ის წვეროებით.
M წვეროზე გავავლოთ სწორი ხაზი KN სწორი ხაზის პარალელურად (ამ წრფეს ასევე უწოდებენ ევკლიდეს სწორ ხაზს). მასზე A წერტილს ისე აღვნიშნავთ, რომ K და A წერტილები განლაგდეს MN სწორი ხაზის სხვადასხვა მხარეს. ვიღებთ თანაბარ კუთხეებს AMN და KNM, რომლებიც, შიდა კუთხეების მსგავსად, ჯვარედინად დევს და წარმოიქმნება სეკანტური MN სწორ ხაზებთან ერთად KN და MA, რომლებიც პარალელურია. აქედან გამომდინარეობს, რომ M და H წვეროებზე მდებარე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი უდრის KMA კუთხის ზომას. სამივე კუთხე შეადგენს ჯამს, რომელიც უდრის KMA და MKN კუთხეების ჯამს. ვინაიდან ეს კუთხეები ინტერიერის მიმართ ცალმხრივიაპარალელური სწორი ხაზები KN და MA სეკანტური KM, მათი ჯამი 180 გრადუსია. დადასტურებული თეორემა.
შედეგი
შემდეგი დასკვნა გამომდინარეობს ზემოთ დადასტურებული თეორემიდან: ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს ორი მახვილი კუთხე. ამის დასამტკიცებლად, დავუშვათ, რომ მოცემულ გეომეტრიულ ფიგურას აქვს მხოლოდ ერთი მახვილი კუთხე. ასევე შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ არცერთი კუთხე არ არის მწვავე. ამ შემთხვევაში, უნდა იყოს მინიმუმ ორი კუთხე, რომელიც ტოლია ან აღემატება 90 გრადუსს. მაგრამ მაშინ კუთხეების ჯამი იქნება 180 გრადუსზე მეტი. მაგრამ ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან თეორემის თანახმად, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 ° - არც მეტი და არც ნაკლები. ეს არის ის, რაც უნდა დამტკიცდეს.
გარე კუთხის საკუთრება
რა არის სამკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი? ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია ორიდან ერთი გზით. პირველი ის არის, რომ საჭიროა ვიპოვოთ კუთხეების ჯამი, რომლებიც აღებულია თითო წვეროზე, ანუ სამი კუთხე. მეორე გულისხმობს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ექვსივე კუთხის ჯამი წვეროებზე. პირველ რიგში, მოდით გაუმკლავდეთ პირველ ვარიანტს. ამრიგად, სამკუთხედი შეიცავს ექვს გარე კუთხეს - ორ თითოეულ წვეროზე.
თითოეულ წყვილს აქვს თანაბარი კუთხეები, რადგან ისინი ვერტიკალურია:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
გარდა ამისა, ცნობილია, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე ტოლია ორი შიდა კუთხის ჯამისა, რომლებიც არ იკვეთება მას. ამიტომ, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
აქედან გამოდის, რომ ჯამი გარეკუთხეები, რომლებიც აღებულია თითო წვეროზე, ტოლი იქნება:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
იმის გათვალისწინებით, რომ კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია, შეიძლება ითქვას, რომ ∟A + ∟B + ∟C=180°. და ეს ნიშნავს, რომ ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. თუ მეორე ვარიანტი გამოიყენება, მაშინ ექვსი კუთხის ჯამი იქნება, შესაბამისად, ორჯერ დიდი. ანუ სამკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი იქნება:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
მართკუთხა სამკუთხედი
რა არის მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი? ამ კითხვაზე პასუხი კვლავ გამომდინარეობს თეორემიდან, რომელიც ამბობს, რომ სამკუთხედის კუთხეები ჯამდება 180 გრადუსამდე. და ჩვენი განცხადება (თვისება) ასე ჟღერს: მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეები ემატება 90 გრადუსს. დავამტკიცოთ მისი სიმართლე.
მოდით მოგვცეს სამკუთხედი KMN, რომელშიც ∟Н=90°. აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ ∟K + ∟M=90°.
ასე რომ, კუთხის ჯამის თეორემის მიხედვით ∟К + ∟М + ∟Н=180°. ჩვენი მდგომარეობა ამბობს, რომ ∟Н=90°. ასე რომ, გამოდის, ∟K + ∟M + 90°=180°. ანუ ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. სწორედ ეს უნდა დაგვემტკიცებინა.
მართკუთხა სამკუთხედის ზემოაღნიშნული თვისებების გარდა, შეგიძლიათ დაამატოთ შემდეგი:
- კუთხეები, რომლებიც დევს ფეხებთან, მკვეთრია;
- ჰიპოტენუზა უფრო სამკუთხაა ვიდრე რომელიმე ფეხი;
- ფეხების ჯამი მეტია ჰიპოტენუზაზე;
- ფეხისამკუთხედი, რომელიც მდებარეობს 30 გრადუსიანი კუთხის საპირისპიროდ, არის ჰიპოტენუზის ნახევარი, ანუ მისი ნახევრის ტოლია.
როგორც ამ გეომეტრიული ფიგურის კიდევ ერთი თვისება, შეიძლება განვასხვავოთ პითაგორას თეორემა. იგი აცხადებს, რომ სამკუთხედში 90 გრადუსიანი კუთხით (მართკუთხა), ფეხების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს.
ტოლფერდა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი
ადრე ვთქვით, რომ ტოლკუთხედი არის მრავალკუთხედი სამი წვერით, რომელიც შეიცავს ორ თანაბარ მხარეს. მოცემული გეომეტრიული ფიგურის ეს თვისება ცნობილია: მის ფუძესთან არსებული კუთხეები ტოლია. მოდით დავამტკიცოთ.
აიღეთ სამკუთხედი KMN, რომელიც არის ტოლკუთხედი, KN არის მისი ფუძე.
მოგვჭირდება დავამტკიცოთ, რომ ∟К=∟Н. ასე რომ, ვთქვათ, რომ MA არის ჩვენი სამკუთხედის KMN ბისექტორი. MCA სამკუთხედი, თანასწორობის პირველი ნიშნის გათვალისწინებით, უდრის MCA სამკუთხედს. კერძოდ, პირობით მოცემულია, რომ KM=NM, MA არის საერთო მხარე, ∟1=∟2, რადგან MA არის ბისექტორი. იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ ეს ორი სამკუთხედი ტოლია, შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ ∟K=∟Н. ასე რომ, თეორემა დადასტურებულია.
მაგრამ ჩვენ გვაინტერესებს რა არის სამკუთხედის (ტოლფერდა) კუთხეების ჯამი. ვინაიდან ამ მხრივ მას არ გააჩნია საკუთარი თავისებურებები, დავიწყებთ ადრე განხილული თეორემიდან. ანუ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ∟K + ∟M + ∟H=180°, ან 2 x ∟K + ∟M=180° (რადგან ∟K=∟H). ჩვენ არ დავამტკიცებთ ამ თვისებას, რადგან თავად სამკუთხედის ჯამის თეორემა ადრე იყო დადასტურებული.
გარდა განხილულისათვისებები სამკუთხედის კუთხეების შესახებ, ასევე არის ასეთი მნიშვნელოვანი განცხადებები:
- ტოლფერდა სამკუთხედში, სიმაღლე, რომელიც ფუძესთან იყო დაშვებული, არის როგორც მედიანა, ასევე კუთხის ბისექტორი, რომელიც ტოლ გვერდებს შორისაა, ასევე მისი ფუძის სიმეტრიის ღერძი;
- მედიანები (ბისექტრები, სიმაღლეები), რომლებიც დახატულია ასეთი გეომეტრიული ფიგურის გვერდებზე, ტოლია.
ტოლგვერდა სამკუთხედი
მას ასევე უწოდებენ სწორს, ეს არის სამკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია. ამიტომ, კუთხეებიც თანაბარია. თითოეული მათგანი 60 გრადუსია. მოდით დავამტკიცოთ ეს თვისება.
ვუშვათ, რომ გვაქვს სამკუთხედი KMN. ჩვენ ვიცით, რომ KM=NM=KN. და ეს ნიშნავს, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მდებარე კუთხეების თვისების მიხედვით, ∟К=∟М=∟Н. ვინაიდან, თეორემის მიხედვით, სამკუთხედის კუთხეების ჯამია ∟К + ∟М + ∟Н=180°, მაშინ 3 x ∟К=180° ან ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. ამრიგად, განცხადება დადასტურებულია.
როგორც ხედავთ თეორემაზე დაფუძნებული ზემოაღნიშნული მტკიცებულებიდან, ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი, არის 180 გრადუსი. არ არის საჭირო ამ თეორემის კიდევ ერთხელ დამტკიცება.
არის ასევე ტოლგვერდა სამკუთხედისთვის დამახასიათებელი თვისებები:
- მედიანა, ბისექტორი, სიმაღლე ასეთ გეომეტრიულ ფიგურაში იგივეა და მათი სიგრძე გამოითვლება როგორც (a x √3): 2;
- თუ აღწერთ წრეს მოცემული მრავალკუთხედის გარშემო, მაშინ მისი რადიუსი იქნებაუდრის (a x √3): 3;
- თუ ჩაწერთ წრეს ტოლგვერდა სამკუთხედში, მაშინ მისი რადიუსი იქნება (a x √3): 6;
- ამ გეომეტრიული ფიგურის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: (a2 x √3): 4.
ორკუთხედი სამკუთხედი
ბლაგვი სამკუთხედის განმარტების მიხედვით, მისი ერთ-ერთი კუთხე 90-დან 180 გრადუსამდეა. მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ამ გეომეტრიული ფიგურის დანარჩენი ორი კუთხე მწვავეა, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ისინი არ აღემატება 90 გრადუსს. ამიტომ, კუთხეების ჯამის სამკუთხედის თეორემა მუშაობს ბლაგვ სამკუთხედში კუთხეების ჯამის გამოთვლისას. გამოდის, რომ ზემოხსენებულ თეორემაზე დაყრდნობით შეგვიძლია თამამად ვთქვათ, რომ ბლაგვი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია. ისევ და ისევ, ეს თეორემა არ საჭიროებს ხელახლა დამტკიცებას.
