პოლიედრამ მათემატიკოსთა და მეცნიერთა ყურადღება ჯერ კიდევ ძველ დროში მიიპყრო. ეგვიპტელებმა ააშენეს პირამიდები. და ბერძნები სწავლობდნენ "რეგულარულ პოლიედრებს". მათ ზოგჯერ პლატონურ მყარ სხეულებსაც უწოდებენ. "ტრადიციული პოლიედრები" შედგება ბრტყელი სახეებისგან, სწორი კიდეებისგან და წვეროებისგან. მაგრამ მთავარი კითხვა ყოველთვის იყო ის, თუ რა წესები უნდა შეესაბამებოდეს ამ ცალკეულ ნაწილებს, ასევე, რა დამატებითი გლობალური პირობები უნდა აკმაყოფილებდეს, რომ ობიექტს მრავალედრონის კვალიფიკაცია მიეცეს. ამ კითხვაზე პასუხი წარმოდგენილი იქნება სტატიაში.
პრობლემები განმარტებაში
რისგან შედგება ეს მაჩვენებელი? პოლიედონი არის დახურული მყარი ფორმა, რომელსაც აქვს ბრტყელი სახეები და სწორი კიდეები. ამიტომ, მისი განმარტების პირველ პრობლემას შეიძლება ეწოდოს ზუსტად ფიგურის მხარეები. თვითმფრინავებში ყველა სახე ყოველთვის არ არის პოლიედრონის ნიშანი. მაგალითისთვის ავიღოთ „სამკუთხა ცილინდრი“. რისგან შედგება? მისი ზედაპირის ნაწილი სამი წყვილიგადამკვეთი ვერტიკალური სიბრტყეები არ შეიძლება ჩაითვალოს მრავალკუთხედად. მიზეზი ის არის, რომ მას არ აქვს წვეროები. ასეთი ფიგურის ზედაპირი იქმნება სამი სხივის საფუძველზე, რომლებიც ხვდებიან ერთ წერტილში.
კიდევ ერთი პრობლემა - თვითმფრინავები. "სამკუთხა ცილინდრის" შემთხვევაში ის დევს მათ შეუზღუდავ ნაწილებში. ფიგურა ჩაითვლება ამოზნექილად, თუ მასში არის სიმრავლის რომელიმე ორი წერტილის დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტი. წარმოგიდგენთ მათ ერთ-ერთ მნიშვნელოვან თვისებას. ამოზნექილი სიმრავლებისთვის, ეს არის ის, რომ სიმრავლისთვის საერთო წერტილების სიმრავლე იგივეა. არსებობს სხვა სახის ფიგურები. ეს არის არაამოზნექილი 2D პოლიედრები, რომლებსაც აქვთ ჭრილები ან ხვრელები.
ფორმები, რომლებიც არ არიან პოლიედრები
წერტილების ბრტყელი ნაკრები შეიძლება იყოს განსხვავებული (მაგალითად, არაამოზნექილი) და არ აკმაყოფილებდეს პოლიედრონის ჩვეულებრივ განმარტებას. მისი მეშვეობითაც კი ის შემოიფარგლება ხაზების მონაკვეთებით. ამოზნექილი პოლიედრონის ხაზები შედგება ამოზნექილი ფიგურებისგან. თუმცა, განმარტების ეს მიდგომა გამორიცხავს უსასრულობისკენ მიმავალ ფიგურას. ამის მაგალითი იქნება სამი სხივი, რომლებიც არ ხვდებიან ერთსა და იმავე წერტილში. მაგრამ ამავე დროს, ისინი დაკავშირებულია სხვა ფიგურის წვეროებთან. ტრადიციულად, პოლიედრონისთვის მნიშვნელოვანი იყო, რომ იგი შედგებოდეს ბრტყელი ზედაპირისგან. მაგრამ დროთა განმავლობაში, კონცეფცია გაფართოვდა, რამაც გამოიწვია მნიშვნელოვანი გაუმჯობესება პოლიედრების ორიგინალური "ვიწრო" კლასის გაგებაში, ისევე როგორც ახალი, უფრო ფართო განმარტების გაჩენა.
სწორია
მოდით შემოვიტანოთ კიდევ ერთი განმარტება. რეგულარული პოლიედონი არის ის, რომელშიც თითოეული სახე არის კონგრუენტური რეგულარულიამოზნექილი მრავალკუთხედები და ყველა წვერო "იგივეა". ეს ნიშნავს, რომ თითოეულ წვეროს აქვს რეგულარული მრავალკუთხედების იგივე რაოდენობა. გამოიყენეთ ეს განმარტება. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ხუთი რეგულარული პოლიედრა.
პირველი ნაბიჯები ეილერის თეორემამდე პოლიედრებისთვის
ბერძნებმა იცოდნენ მრავალკუთხედის შესახებ, რომელსაც დღეს პენტაგრამა ეწოდება. ამ მრავალკუთხედს შეიძლება ეწოდოს რეგულარული, რადგან მისი ყველა გვერდი თანაბარია. ასევე არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა. კუთხე ორ ზედიზედ მხარეს შორის ყოველთვის ერთი და იგივეა. თუმცა, სიბრტყეში დახატვისას ის არ განსაზღვრავს ამოზნექილ სიმრავლეს და პოლიედრონის გვერდები კვეთენ ერთმანეთს. თუმცა, ეს ყოველთვის ასე არ იყო. მათემატიკოსები დიდი ხანია განიხილავდნენ "არა ამოზნექილი" რეგულარული პოლიედრების იდეას. პენტაგრამა ერთ-ერთი მათგანი იყო. „ვარსკვლავური მრავალკუთხედებიც“დაშვებული იყო. აღმოაჩინეს "რეგულარული პოლიედრების" რამდენიმე ახალი მაგალითი. ახლა მათ კეპლერ-პუანსოტის პოლიედრას უწოდებენ. მოგვიანებით, G. S. M. Coxeter და Branko Grünbaum გააფართოვეს წესები და აღმოაჩინეს სხვა "რეგულარული პოლიედრები".
მრავალედრული ფორმულა
ამ ფიგურების სისტემატური შესწავლა მათემატიკის ისტორიაში შედარებით ადრე დაიწყო. ლეონჰარდ ეილერმა პირველმა შენიშნა, რომ ფორმულა, რომელიც აკავშირებს მათი წვეროების, სახეებისა და კიდეების რაოდენობას, მოქმედებს ამოზნექილი 3D პოლიედრებისთვის.
ის გამოიყურება ასე:
V + F - E=2, სადაც V არის მრავალწახნაგოვანი წვეროების რაოდენობა, F არის პოლიედრების კიდეების რაოდენობა და E არის სახეების რაოდენობა.
ლეონჰარდ ეილერი შვეიცარიელიამათემატიკოსი, რომელიც ითვლება ყველა დროის ერთ-ერთ უდიდეს და ყველაზე პროდუქტიულ მეცნიერად. ის მთელი ცხოვრების განმავლობაში ბრმა იყო, მაგრამ მხედველობის დაკარგვამ მას კიდევ უფრო პროდუქტიული გახდომის საფუძველი მისცა. არსებობს მისი სახელობის რამდენიმე ფორმულა და ერთს, რომელსაც ჩვენ ახლა ვნახეთ, ზოგჯერ ეილერის პოლიედრების ფორმულას უწოდებენ.
არის ერთი განმარტება. თუმცა, ეილერის ფორმულა მუშაობს მხოლოდ პოლიედრებისთვის, რომლებიც გარკვეულ წესებს იცავენ. ისინი იმაში მდგომარეობენ, რომ ფორმას არ უნდა ჰქონდეს ხვრელები. და მიუღებელია მისი გადაკვეთა. პოლიედონი ასევე არ შეიძლება შედგებოდეს ერთმანეთთან შეერთებული ორი ნაწილისგან, როგორიცაა ორი კუბი ერთი და იგივე წვერით. ეილერმა თავისი კვლევის შედეგი ახსენა 1750 წელს კრისტიან გოლდბახისთვის მიწერილ წერილში. მოგვიანებით მან გამოაქვეყნა ორი ნაშრომი, სადაც აღწერა, თუ როგორ ცდილობდა მოეპოვებინა თავისი ახალი აღმოჩენის მტკიცებულება. ფაქტობრივად, არსებობს ფორმები, რომლებიც განსხვავებულ პასუხს იძლევა V + F - E. პასუხს ჯამზე F + V - E=X ეწოდება ეილერის მახასიათებელს. მას სხვა ასპექტი აქვს. ზოგიერთ ფიგურას შეიძლება ჰქონდეს ეილერის მახასიათებელიც კი, რომელიც არის უარყოფითი
გრაფიკის თეორია
ზოგჯერ ამბობენ, რომ დეკარტმა ადრე გამოიტანა ეილერის თეორემა. მიუხედავად იმისა, რომ ამ მეცნიერმა აღმოაჩინა ფაქტები სამგანზომილებიანი პოლიედრების შესახებ, რომლებიც საშუალებას მისცემდა გამოეყვანა სასურველი ფორმულა, მან ეს დამატებითი ნაბიჯი არ გადადგა. დღეს ეილერს გრაფების თეორიის „მამას“მიაწერენ. მან თავისი იდეებით გადაჭრა კონიგსბერგის ხიდის პრობლემა. მაგრამ მეცნიერი პოლიედრონს კონტექსტში არ უყურებდაგრაფიკის თეორია. ეილერი ცდილობდა დაემტკიცებინა ფორმულის მტკიცებულება, რომელიც ეფუძნებოდა პოლიედრონის უფრო მარტივ ნაწილებად დაშლას. ეს მცდელობა არ შეესაბამება მტკიცებულების თანამედროვე სტანდარტებს. მიუხედავად იმისა, რომ ეილერმა არ მისცა თავისი ფორმულის პირველი სწორი დასაბუთება, არ შეიძლება დაამტკიცოს ვარაუდები, რომლებიც არ გაკეთებულა. თუმცა, შედეგები, რომლებიც მოგვიანებით დადასტურდა, შესაძლებელს ხდის ეილერის თეორემის გამოყენებას ამჟამადაც. პირველი მტკიცებულება მოიპოვა მათემატიკოსმა ადრიან მარი ლეჟანდრმა.
ეილერის ფორმულის დადასტურება
ეილერმა პირველად ჩამოაყალიბა მრავალწახნაგოვანი ფორმულა, როგორც თეორემა პოლიედრების შესახებ. დღეს ის ხშირად განიხილება დაკავშირებული გრაფიკების უფრო ზოგად კონტექსტში. მაგალითად, როგორც სტრუქტურები, რომლებიც შედგება წერტილებისა და მათი დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტებისგან, რომლებიც იმავე ნაწილშია. ავგუსტინ ლუი კოში იყო პირველი ადამიანი, ვინც იპოვა ეს მნიშვნელოვანი კავშირი. ეს იყო ეილერის თეორემის დადასტურება. მან, არსებითად, შენიშნა, რომ ამოზნექილი პოლიედრონის გრაფიკი (ან რასაც დღეს ასე ჰქვია) ტოპოლოგიურად ჰომეომორფულია სფეროს მიმართ, აქვს პლანშეტური დაკავშირებული გრაფიკი. რა არის ეს? პლანშეტური გრაფიკი არის ის, რომელიც დახატულია სიბრტყეში ისე, რომ მისი კიდეები ხვდება ან იკვეთება მხოლოდ წვეროზე. სწორედ აქ აღმოჩნდა კავშირი ეილერის თეორემასა და გრაფიკებს შორის.
შედეგის მნიშვნელოვნების ერთ-ერთი მაჩვენებელია ის, რომ დევიდ ეპშტეინმა შეძლო ჩვიდმეტი სხვადასხვა მტკიცებულების შეგროვება. ეილერის მრავალწახნაგოვანი ფორმულის გასამართლებლად მრავალი გზა არსებობს. გარკვეული გაგებით, ყველაზე აშკარა მტკიცებულებები არის მეთოდები, რომლებიც იყენებენ მათემატიკურ ინდუქციას. შედეგი შეიძლება დადასტურდესდახაზეთ იგი გრაფიკის კიდეების, სახეების ან წვეროების რაოდენობის გასწვრივ.
რედემაჩერისა და ტოპლიცის მტკიცებულება
განსაკუთრებით მიმზიდველია რადემაჩერისა და ტოპლიცის შემდეგი მტკიცებულება, რომელიც დაფუძნებულია ფონ შტაუდტის მიდგომაზე. ეილერის თეორემის გასამართლებლად დავუშვათ, რომ G არის სიბრტყეში ჩადგმული დაკავშირებული გრაფიკი. თუ მას აქვს სქემები, შესაძლებელია თითოეული მათგანისგან ერთი კიდე გამორიცხოს ისე, რომ შეინარჩუნოს ის თვისება, რომელიც დაკავშირებულია. არის ერთი-ერთზე კორესპონდენცია ამოღებულ ნაწილებს შორის დაკავშირებულ გრაფიკზე დახურვის გარეშე გადასასვლელად და მათ შორის, რომლებიც არ არის უსასრულო კიდე. ამ კვლევამ გამოიწვია „ორიენტირებადი ზედაპირების“კლასიფიკაცია ე.წ. ეილერის მახასიათებლის მიხედვით..
იორდანიის მრუდი. თეორემა
მთავარი თეზისი, რომელიც პირდაპირ თუ ირიბად გამოიყენება ეილერის თეორემის პოლიედრების ფორმულის მტკიცებულებაში გრაფიკებისთვის, დამოკიდებულია იორდანეს მრუდზე. ეს აზრი განზოგადებას უკავშირდება. ნათქვამია, რომ ნებისმიერი მარტივი დახურული მრუდი სიბრტყეს ყოფს სამ ნაწილად: წერტილები მასზე, შიგნით და მის გარეთ. როდესაც მეცხრამეტე საუკუნეში განვითარდა ინტერესი ეილერის მრავალწახნაგოვანი ფორმულის მიმართ, მრავალი მცდელობა გაკეთდა მის განზოგადებისთვის. ამ კვლევამ საფუძველი ჩაუყარა ალგებრული ტოპოლოგიის განვითარებას და დაუკავშირა ის ალგებრასა და რიცხვების თეორიას.
მოებიუსის ჯგუფი
მალე აღმოაჩინა, რომ ზოგიერთი ზედაპირი შეიძლება იყოს მხოლოდ "ორიენტირებული" თანმიმდევრულად ადგილობრივად და არა გლობალურად. ამის ილუსტრაციად გვევლინება ცნობილი Möbius ჯგუფიზედაპირები. იგი ცოტა ადრე აღმოაჩინა იოჰან ლისტინგმა. ეს კონცეფცია მოიცავს გრაფიკის გვარის ცნებას: აღწერების ყველაზე მცირე რაოდენობა გ. ის უნდა დაემატოს სფეროს ზედაპირს და ის შეიძლება ჩამონტაჟდეს გაფართოებულ ზედაპირზე ისე, რომ კიდეები მხოლოდ წვეროებზე ხვდებოდეს. გამოდის, რომ ნებისმიერი ორიენტირებადი ზედაპირი ევკლიდეს სივრცეში შეიძლება ჩაითვალოს სფეროდ გარკვეული რაოდენობის სახელურებით.
ეილერის დიაგრამა
მეცნიერმა კიდევ ერთი აღმოჩენა გააკეთა, რომელიც დღემდე გამოიყენება. ეილერის დიაგრამა არის წრეების გრაფიკული წარმოდგენა, რომელიც ჩვეულებრივ გამოიყენება ნაკრებებსა და ჯგუფებს შორის ურთიერთობების საილუსტრაციოდ. სქემები ჩვეულებრივ მოიცავს ფერებს, რომლებიც ერწყმის იმ ადგილებში, სადაც წრეები გადახურულია. კომპლექტები წარმოდგენილია ზუსტად წრეებით ან ოვალებით, თუმცა მათთვის სხვა ფიგურების გამოყენებაც შეიძლება. ჩართვა წარმოდგენილია ელიფსების გადაფარვით, რომელსაც ეილერის წრეები ეწოდება.
ისინი წარმოადგენენ სიმრავლეს და ქვესიმრავლეს. გამონაკლისი არის არა გადახურული წრეები. ეილერის დიაგრამები მჭიდრო კავშირშია სხვა გრაფიკულ გამოსახულებასთან. ისინი ხშირად იბნევიან. ამ გრაფიკულ გამოსახულებას ვენის დიაგრამები ეწოდება. მოცემული ნაკრებიდან გამომდინარე, ორივე ვერსია შეიძლება ერთნაირად გამოიყურებოდეს. თუმცა, ვენის დიაგრამებში გადახურული წრეები აუცილებლად არ მიუთითებს ერთობლიობას სიმრავლეს შორის, არამედ მხოლოდ შესაძლო ლოგიკურ ურთიერთობაზე, თუ მათი ეტიკეტები არ არისგადაკვეთის წრე. ორივე ვარიანტი იქნა მიღებული სიმრავლეების თეორიის სწავლებისთვის, როგორც 1960-იანი წლების ახალი მათემატიკური მოძრაობის ნაწილი.
ფერმატის და ეილერის თეორემები
ეილერმა შესამჩნევი კვალი დატოვა მათემატიკაში. რიცხვების ალგებრული თეორია გამდიდრდა მის სახელობის თეორემამ. ეს არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი აღმოჩენის შედეგი. ეს არის ეგრეთ წოდებული ზოგადი ალგებრული ლაგრანჟის თეორემა. ეილერის სახელს ასევე უკავშირდება ფერმას პატარა თეორემა. ის ამბობს, რომ თუ p არის მარტივი რიცხვი და a არის მთელი რიცხვი, რომელიც არ იყოფა p-ზე, მაშინ:
ap-1 - 1 იყოფა გვ.-ზე
ზოგჯერ ერთსა და იმავე აღმოჩენას სხვა სახელი აქვს, ყველაზე ხშირად უცხოურ ლიტერატურაში. ეს ფერმას საშობაო თეორემას ჰგავს. საქმე იმაშია, რომ აღმოჩენა ცნობილი გახდა 1640 წლის 25 დეკემბრის მიჯნაზე გაგზავნილი მეცნიერის წერილის წყალობით. მაგრამ თავად განცხადება ადრეც ყოფილა. მას სხვა მეცნიერმა ალბერტ ჟირარმა გამოიყენა. ფერმა მხოლოდ თავისი თეორიის დამტკიცებას ცდილობდა. ავტორი სხვა წერილში მიანიშნებს, რომ იგი შთაგონებული იყო უსასრულო დაღმართის მეთოდით. მაგრამ მან არ წარმოადგინა რაიმე მტკიცებულება. მოგვიანებით ეიდერმაც იმავე მეთოდს მიმართა. და მის შემდეგ - მრავალი სხვა ცნობილი მეცნიერი, მათ შორის ლაგრანჟი, გაუსი და მინკოსკი.
იდენტობის თავისებურებები
ფერმატის პატარა თეორემას ასევე უწოდებენ თეორემის სპეციალურ შემთხვევას რიცხვების თეორიიდან ეილერის გამო. ამ თეორიაში ეილერის იდენტობის ფუნქცია ითვლის დადებით მთელ რიცხვებს მოცემულ n-მდე. ისინი კოპრაიმები არიან მიმართებაშინ. ეილერის თეორემა რიცხვთა თეორიაში იწერება ბერძნული ასო φ-ს გამოყენებით და ჰგავს φ(n). ის უფრო ფორმალურად შეიძლება განისაზღვროს, როგორც k რიცხვების რაოდენობა 1 ≦ k ≦ n დიაპაზონში, რომლის უდიდესი საერთო გამყოფი gcd(n, k) არის 1. აღნიშვნა φ(n) ასევე შეიძლება ეწოდოს ეილერის ph ფუნქციას. ამ ფორმის მთელ რიცხვებს k ზოგჯერ უწოდებენ ტოტატიურს. რიცხვების თეორიის გულში ეილერის იდენტურობის ფუნქცია არის მრავლობითი, რაც იმას ნიშნავს, რომ თუ ორი რიცხვი m და n არის თანაპირველი, მაშინ φ(mn)=φ(m)φ(n). ის ასევე მნიშვნელოვან როლს ასრულებს RSA დაშიფვრის სისტემის განსაზღვრაში.
ეილერის ფუნქცია დაინერგა 1763 წელს. თუმცა, იმ დროს მათემატიკოსს მისთვის რაიმე კონკრეტული სიმბოლო არ შეურჩია. 1784 წლის პუბლიკაციაში ეილერმა უფრო დეტალურად შეისწავლა ეს ფუნქცია და აირჩია ბერძნული ასო π მის გამოსახატავად. ჯეიმს სილვესტერმა გამოიგონა ტერმინი "სულ" ამ მახასიათებლისთვის. მაშასადამე, მას ასევე მოიხსენიებენ, როგორც ეილერის მთლიანობას. 1-ზე მეტი დადებითი მთელი რიცხვის n ფ(n) არის n-ზე ნაკლები დადებითი რიცხვების რაოდენობა, რომლებიც შედარებით მარტივია n-მდე.φ(1) განისაზღვრება როგორც 1. ეილერის ფუნქცია ან phi(φ) ფუნქცია არის. ძალიან მნიშვნელოვანი რიცხვების თეორია ფუნქცია, რომელიც ღრმად არის დაკავშირებული მარტივ რიცხვებთან და ეგრეთ წოდებულ მთელ რიცხვებთან.
