ლეონჰარდ ეილერი (1707-1783) - ცნობილი შვეიცარიელი და რუსი მათემატიკოსი, პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის წევრი, ცხოვრების უმეტესი ნაწილი რუსეთში ცხოვრობდა. მათემატიკურ ანალიზში, სტატისტიკაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში და ლოგიკაში ყველაზე ცნობილია ეილერის წრე (ეილერ-ვენის დიაგრამა), რომელიც გამოიყენება ცნებების არეალისა და ელემენტების სიმრავლის აღსანიშნავად.
ჯონ ვენი (1834-1923) - ინგლისელი ფილოსოფოსი და ლოგიკოსი, ეილერ-ვენის დიაგრამის თანაავტორი.
თავსებადი და შეუთავსებელი ცნებები
კონცეფცია ლოგიკაში ნიშნავს აზროვნების ფორმას, რომელიც ასახავს ერთგვაროვანი ობიექტების კლასის არსებით მახასიათებლებს. ისინი აღინიშნება ერთი ან სიტყვების ჯგუფით: „მსოფლიო რუკა“, „დომინანტი მეხუთე-მეშვიდე აკორდი“, „ორშაბათი“და ა.შ.
იმ შემთხვევაში, როდესაც ერთი ცნების სფეროს ელემენტები მთლიანად ან ნაწილობრივ მიეკუთვნება მეორის ფარგლებს, საუბარია თავსებად ცნებებზე. თუმცა, თუ გარკვეული ცნების ფარგლების არცერთი ელემენტი არ ეკუთვნის მეორის ფარგლებს, ჩვენ გვაქვს შეუთავსებელი ცნებები.
თავის მხრივ, კონცეფციის თითოეულ ტიპს აქვს შესაძლო ურთიერთობების საკუთარი ნაკრები. თავსებადი ცნებებისთვის ეს არის:
ტომების
არათავსებადი:
- დაქვემდებარება (კოორდინაცია);
- საპირისპირო (წინააღმდეგობა);
- კონტრადიქცია (წინააღმდეგობა).
სქემატურად, ლოგიკაში ცნებებს შორის ურთიერთობა ჩვეულებრივ აღინიშნება ეილერ-ვენის წრეების გამოყენებით.
ექვივალენტური ურთიერთობები
ამ შემთხვევაში, ცნებები ნიშნავს ერთსა და იმავე საგანს. შესაბამისად, ამ ცნებების მოცულობები სრულიად იდენტურია. მაგალითად:
A - ზიგმუნდ ფროიდი;
B არის ფსიქოანალიზის ფუძემდებელი.
ან:
A არის კვადრატი;
B არის ტოლგვერდა მართკუთხედი;
C არის ტოლკუთხა რომბი.
მთლიანად ემთხვევა ეილერის წრეები გამოიყენება აღსანიშნავად.
გადაკვეთა (ნაწილობრივი დამთხვევა)
ეს კატეგორია მოიცავს ცნებებს, რომლებსაც აქვთ საერთო ელემენტები, რომლებიც დაკავშირებულია გადაკვეთასთან. ანუ, ერთი ცნების მოცულობა ნაწილობრივ შედის მეორის მოცულობაში:
A - მასწავლებელი;
B არის მუსიკის მოყვარული.
როგორც ამ მაგალითიდან ჩანს, ცნებების მოცულობა ნაწილობრივ ემთხვევა ერთმანეთს: მასწავლებელთა გარკვეული ჯგუფი შეიძლება აღმოჩნდეს მუსიკის მოყვარული და პირიქით - მუსიკის მოყვარულებს შორის შეიძლება იყოს მასწავლებლის პროფესიის წარმომადგენლები. მსგავსი დამოკიდებულება იქნება იმ შემთხვევაში, როდესაც ცნება A არის, მაგალითად, „მოქალაქე“, ხოლო B არის „მძღოლი“.
ქვემდებარეობა (დაქვემდებარება)
სქემატურად აღინიშნება, როგორც სხვადასხვა მასშტაბის ეილერის წრეები. ურთიერთობებიცნებებს შორის ამ შემთხვევაში ხასიათდება ის ფაქტი, რომ დაქვემდებარებული ცნება (მოცულობით უფრო მცირე) მთლიანად შედის დაქვემდებარებულში (მოცულობით უფრო დიდი). ამასთან, დაქვემდებარებული ცნება მთლიანად არ ამოწურავს დაქვემდებარებულს.
მაგალითად:
A - ხე;
B - ფიჭვი.
ცნება B დაექვემდებარება A კონცეფციას. ვინაიდან ფიჭვი ეკუთვნის ხეებს, ცნება A ამ მაგალითში ხდება დაქვემდებარებული, "შთანთქავს" B კონცეფციის ფარგლებს.
კოორდინაცია (კოორდინაცია)
ურთიერთობა ახასიათებს ორ ან მეტ ცნებას, რომლებიც გამორიცხავს ერთმანეთს, მაგრამ მიეკუთვნება გარკვეულ საერთო ზოგად წრეს. მაგალითად:
A - კლარნეტი;
B - გიტარა;
C - ვიოლინო;
D არის მუსიკალური ინსტრუმენტი.
ცნებები A, B, C არ იკვეთება ერთმანეთთან მიმართებაში, თუმცა ყველა მათგანი მიეკუთვნება მუსიკალური ინსტრუმენტების კატეგორიას (ცნება D).
საპირისპირო (პირიქით)
ცნებებს შორის საპირისპირო მიმართება გულისხმობს, რომ ეს ცნებები ერთსა და იმავე გვარს მიეკუთვნება. ამავდროულად, ერთ-ერთ კონცეფციას აქვს გარკვეული თვისებები (მახასიათებლები), ხოლო მეორე უარყოფს მათ, ანაცვლებს მათ ბუნებაში საპირისპიროებით. ამრიგად, საქმე გვაქვს ანტონიმებთან. მაგალითად:
A არის ჯუჯა;
B არის გიგანტი.
ეილერის წრე ცნებებს შორის საპირისპირო ურთიერთობითდაყოფილია სამ სეგმენტად, რომელთაგან პირველი შეესაბამება A კონცეფციას, მეორე - B კონცეფციას და მესამე - ყველა სხვა შესაძლო ცნებას.
კონტრადიქცია (წინააღმდეგობა)
ამ შემთხვევაში, ორივე ცნება ერთი და იგივე გვარის სახეობაა. როგორც წინა მაგალითში, ერთ-ერთი ცნება მიუთითებს გარკვეულ თვისებებზე (მახასიათებლებზე), ხოლო მეორე უარყოფს მათ. თუმცა, საპირისპირო ურთიერთობისგან განსხვავებით, მეორე, საპირისპირო ცნება არ ცვლის უარყოფილ თვისებებს სხვა, ალტერნატიულით. მაგალითად:
A რთული ამოცანაა;
B მარტივი ამოცანაა (არა-A).
ასეთი ცნებების მოცულობის გამოსახატავად, ეილერის წრე ორ ნაწილად იყოფა - მესამე, შუალედური რგოლი ამ შემთხვევაში არ არსებობს. ამრიგად, ცნებები ასევე ანტონიმებია. ამავდროულად, ერთი მათგანი (A) ხდება დადებითი (რაღაც მახასიათებლის დამადასტურებელი), ხოლო მეორე (B ან არა-A) ხდება უარყოფითი (შესაბამისი მახასიათებლის უარყოფა): "თეთრი ქაღალდი" - "არა თეთრი ქაღალდი", " ეროვნული ისტორია“– „უცხო ისტორია“და ა.შ.
ამგვარად, ცნებების მოცულობის თანაფარდობა ერთმანეთთან მიმართებაში არის ძირითადი მახასიათებელი, რომელიც განსაზღვრავს ეილერის წრეებს.
ურთიერთობები ნაკრებებს შორის
აუცილებელია ასევე განვასხვავოთ ელემენტებისა და კომპლექტების ცნებები, რომელთა მოცულობა გამოსახულია ეილერის წრეებით. კომპლექტის ცნება ნასესხებია მათემატიკური მეცნიერებიდან და აქვს საკმაოდ ფართო მნიშვნელობა. ლოგიკასა და მათემატიკაში მაგალითები აჩვენებს მას, როგორც ობიექტების გარკვეულ კომპლექტს. ობიექტები თავად არიანამ ნაკრების ელემენტები. "ბევრი ბევრი ფიქრობს, როგორც ერთი" (გეორგ კანტორი, სიმრავლეების თეორიის ფუძემდებელი).
სიმრავლეები აღინიშნება დიდი ასოებით: A, B, C, D… და ა.შ., სიმრავლეების ელემენტები აღინიშნება მცირე ასოებით: a, b, c, d… და ა.შ. ნაკრების მაგალითები შეიძლება იყვნენ სტუდენტები, რომლებიც არის ერთ კლასში, წიგნები გარკვეულ თაროზე (ან, მაგალითად, ყველა წიგნი გარკვეულ ბიბლიოთეკაში), გვერდები დღიურში, კენკრა ტყის გაწმენდაში და ა.შ.
თავის მხრივ, თუ გარკვეული სიმრავლე არ შეიცავს ერთ ელემენტს, მაშინ მას უწოდებენ ცარიელი და აღინიშნება Ø ნიშნით. მაგალითად, პარალელური წრფეების გადაკვეთის წერტილების სიმრავლე, განტოლების ამონახსნების სიმრავლე x2=-5.
პრობლემის გადაჭრა
ეილერის წრეები აქტიურად გამოიყენება მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად. ლოგიკის მაგალითები ნათლად აჩვენებს კავშირს ლოგიკურ ოპერაციებსა და სიმრავლეების თეორიას შორის. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ცნებების სიმართლის ცხრილები. მაგალითად, წრე წარწერით A წარმოადგენს ჭეშმარიტების რეგიონს. ასე რომ, წრის გარეთ არსებული ფართობი წარმოადგენს ყალბს. ლოგიკური ოპერაციისთვის დიაგრამის ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა დაჩრდილოთ ის ადგილები, რომლებიც განსაზღვრავენ ეილერის წრეს, რომლებშიც მისი მნიშვნელობები A და B ელემენტებისთვის იქნება ჭეშმარიტი.
ეილერის წრეების გამოყენებამ ჰპოვა ფართო პრაქტიკული გამოყენება სხვადასხვა ინდუსტრიაში. მაგალითად, პროფესიული არჩევანის სიტუაციაში. თუ სუბიექტი დაინტერესებულია მომავალი პროფესიის არჩევით, მას შეუძლია იხელმძღვანელოს შემდეგი კრიტერიუმებით:
W - რისი კეთება მიყვარს?
D - რას ვაკეთებ?
P– როგორ შემიძლია კარგი ფულის გამომუშავება?
მოდით დავხატოთ ეს დიაგრამის სახით: ეილერის წრეები (მაგალითები ლოგიკაში - გადაკვეთის მიმართება):
შედეგი იქნება ის პროფესიები, რომლებიც სამივე წრის კვეთაზე იქნება.
ეილერ-ვენის წრეებს ცალკე ადგილი უკავია მათემატიკაში (სიმრავლეების თეორიაში) კომბინაციებისა და თვისებების გამოთვლისას. ელემენტების სიმრავლის ეილერის წრეები ჩასმულია უნივერსალური სიმრავლის (U) აღმნიშვნელი ოთხკუთხედის გამოსახულებაში. წრეების ნაცვლად სხვა დახურული ფიგურებიც შეიძლება გამოვიყენოთ, მაგრამ ამის არსი არ იცვლება. ფიგურები იკვეთება ერთმანეთთან, პრობლემის პირობების მიხედვით (ყველაზე ზოგად შემთხვევაში). ასევე, ეს მაჩვენებლები შესაბამისად უნდა იყოს მარკირებული. განსახილველი ნაკრების ელემენტები შეიძლება იყოს წერტილები, რომლებიც მდებარეობს დიაგრამის სხვადასხვა სეგმენტში. მასზე დაყრდნობით შეგიძლიათ დაჩრდილოთ კონკრეტული ადგილები, რითაც მიუთითოთ ახლად ჩამოყალიბებული ნაკრები.
ამ სიმრავლეებით შესაძლებელია ძირითადი მათემატიკური მოქმედებების შესრულება: შეკრება (ელემენტების სიმრავლეთა ჯამი), გამოკლება (განსხვავება), გამრავლება (პროდუქტი). გარდა ამისა, ეილერ-ვენის დიაგრამების წყალობით, შესაძლებელია კომპლექტების შედარება მათში შემავალი ელემენტების რაოდენობის მიხედვით, მათი ჩათვლის გარეშე.
