ბრუნვის მოძრაობის მათემატიკური აღწერილობისას მნიშვნელოვანია იცოდეთ სისტემის ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ. ზოგად შემთხვევაში, ამ რაოდენობის პოვნის პროცედურა გულისხმობს ინტეგრაციის პროცესის განხორციელებას. ეგრეთ წოდებული შტაინერის თეორემა აადვილებს გამოთვლას. უფრო დეტალურად განვიხილოთ სტატიაში.
რა არის ინერციის მომენტი?
შტაინერის თეორემის ფორმულირების მიცემამდე აუცილებელია ინერციის მომენტის ცნებას შევეხოთ. დავუშვათ, რომ არსებობს გარკვეული მასის და თვითნებური ფორმის სხეული. ეს სხეული შეიძლება იყოს მატერიალური წერტილი ან ნებისმიერი ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი ობიექტი (ღერო, ცილინდრი, ბურთი და ა.შ.). თუ ობიექტი მუდმივი კუთხოვანი აჩქარებით ახორციელებს წრიულ მოძრაობას გარკვეული ღერძის გარშემო, მაშინ შეიძლება დაიწეროს შემდეგი განტოლება:
M=Iα
აქ, მნიშვნელობა M წარმოადგენს ძალების მთლიან მომენტს, რომელიც აძლევს α აჩქარებას მთელ სისტემას. მათ შორის პროპორციულობის კოეფიციენტი - I, ე.წინერციის მომენტი. ეს ფიზიკური რაოდენობა გამოითვლება შემდეგი ზოგადი ფორმულის გამოყენებით:
I=∫მ (r2დმ)
აქ r არის მანძილი dm მასის მქონე ელემენტსა და ბრუნვის ღერძს შორის. ეს გამოთქმა ნიშნავს, რომ აუცილებელია ვიპოვოთ კვადრატული მანძილების ნამრავლების ჯამი r2 და ელემენტარული მასის dm. ანუ ინერციის მომენტი არ არის სხეულის სუფთა მახასიათებელი, რაც განასხვავებს მას წრფივი ინერციისგან. ეს დამოკიდებულია მასის განაწილებაზე მთელ ობიექტზე, რომელიც ბრუნავს, ასევე ღერძამდე მანძილს და მის მიმართ სხეულის ორიენტაციას. მაგალითად, ღეროს ექნება განსხვავებული I, თუ ის ბრუნავს მასის ცენტრისა და ბოლოზე.
ინერციის მომენტი და შტაინერის თეორემა
ცნობილმა შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა იაკობ შტაინერმა დაამტკიცა თეორემა პარალელურ ღერძებზე და ინერციის მომენტზე, რომელიც ახლა მის სახელს ატარებს. ეს თეორემა ვარაუდობს, რომ ინერციის მომენტი თვითნებური გეომეტრიის აბსოლუტურად ნებისმიერი ხისტი სხეულისთვის ბრუნვის ზოგიერთ ღერძთან მიმართებაში უდრის ინერციის მომენტის ჯამს იმ ღერძის მიმართ, რომელიც კვეთს სხეულის მასის ცენტრს და არის პირველის პარალელურად. და სხეულის მასის ნამრავლი მრავლდება ამ ღერძებს შორის მანძილის კვადრატზე. მათემატიკურად, ეს ფორმულირება იწერება შემდეგნაირად:
IZ=IO + ml2
IZ და IO - ინერციის მომენტები Z-ღერძისა და მის პარალელურად O-ღერძის მიმართ, რომელიც გადის სხეულის მასის ცენტრის გავლით, l - მანძილი Z და O ხაზებს შორის.
თეორემა საშუალებას იძლევა, იცოდეთ IO-ის მნიშვნელობა, გამოვთვალოთნებისმიერ სხვა მომენტში IZ ღერძის გარშემო, რომელიც პარალელურია O.
თეორემის დადასტურება
შტაინერის თეორემის ფორმულა მარტივად შეგიძლიათ მიიღოთ თქვენ მიერ. ამისათვის განიხილეთ თვითნებური სხეული xy სიბრტყეზე. მოდით, კოორდინატების საწყისმა გაიაროს ამ სხეულის მასის ცენტრი. გამოვთვალოთ ინერციის მომენტი IO, რომელიც გადის xy სიბრტყის პერპენდიკულარულ საწყისზე. ვინაიდან მანძილი სხეულის ნებისმიერ წერტილამდე გამოიხატება ფორმულით r=√ (x2 + y2), მაშინ მივიღებთ ინტეგრალს:
IO=∫მ (r2დმ)=∫ წ ((x2+y2) დმ)
ახლა გადავიტანოთ ღერძი x-ღერძის გასწვრივ პარალელურად l მანძილით, მაგალითად, დადებითი მიმართულებით, მაშინ ინერციის მომენტის ახალი ღერძის გამოთვლა ასე გამოიყურება:
IZ=∫მ((x+l)2+წ 2)დმ)
გაფართოვეთ სრული კვადრატი ფრჩხილებში და გაყავით ინტეგრანდები, მივიღებთ:
IZ=∫მ ((x2+l 2+2xl+y2)დმ)=∫მ ((x2 +y2)დმ) + 2ლ∫მ (xდმ) + ლ 2∫მდმ
პირველი ამ ტერმინებიდან არის მნიშვნელობა IO, მესამე წევრი ინტეგრაციის შემდეგ იძლევა ტერმინს l2m და აქ მეორე წევრი არის ნული. მითითებული ინტეგრალის ნულიზაცია განპირობებულია იმით, რომ იგი აღებულია x და მასის ელემენტების ნამრავლი dm, რომელიცსაშუალო იძლევა ნულს, რადგან მასის ცენტრი სათავეშია. შედეგად მიიღება შტაინერის თეორემის ფორმულა.
სიბრტყეზე განხილული შემთხვევა შეიძლება განზოგადდეს სამგანზომილებიან სხეულზე.
შტეინერის ფორმულის შემოწმება ჯოხის მაგალითზე
მოდი, მოვიყვანოთ მარტივი მაგალითი ზემოაღნიშნული თეორემის გამოყენების საჩვენებლად.
ცნობილია, რომ L სიგრძისა და m მასის ღეროსთვის ინერციის მომენტი IO (ღერძი გადის მასის ცენტრში) უდრის m L2 /12 და მომენტი IZ (ღერძი გადის ღეროს ბოლოში) უდრის mL 2/3. მოდით შევამოწმოთ ეს მონაცემები შტაინერის თეორემის გამოყენებით. ვინაიდან მანძილი ორ ღერძს შორის არის L/2, მაშინ ვიღებთ მომენტს IZ:
IZ=IO+ მ(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
ანუ, ჩვენ გადავამოწმეთ შტაინერის ფორმულა და მივიღეთ იგივე მნიშვნელობა IZ-ისთვის, როგორც წყაროში.
მსგავსი გამოთვლები შეიძლება განხორციელდეს სხვა სხეულებზე (ცილინდრი, ბურთი, დისკი), ინერციის საჭირო მომენტების მიღებისას და ინტეგრაციის გარეშე.
ინერციის მომენტი და პერპენდიკულარული ღერძები
განხილული თეორემა ეხება პარალელურ ღერძებს. ინფორმაციის სისრულისთვის ასევე სასარგებლოა პერპენდიკულარული ღერძების თეორემის მიცემა. იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: თვითნებური ფორმის ბრტყელი ობიექტისთვის, ინერციის მომენტი მასზე პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო ტოლი იქნება ინერციის ორი მომენტის ჯამის ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული და მწოლიარე.ცულების ობიექტის სიბრტყეში, სამივე ღერძი გადის ერთსა და იმავე წერტილში. მათემატიკურად ეს იწერება შემდეგნაირად:
Iz=Ix + Iy
აქ z, x, y არის ბრუნვის სამი ერთმანეთის პერპენდიკულური ღერძი.
არსებითი განსხვავება ამ თეორემასა და შტაინერის თეორემას შორის არის ის, რომ იგი გამოიყენება მხოლოდ ბრტყელ (ორგანზომილებიან) მყარ ობიექტებზე. მიუხედავად ამისა, პრაქტიკაში ფართოდ გამოიყენება, სხეულის გონებრივად ჭრის ცალკეულ ფენებად და შემდეგ მიღებული ინერციის მომენტების დამატება.
