საკმაოდ ხშირად მათემატიკაში არის მთელი რიგი სირთულეები და კითხვები და ბევრი პასუხი ყოველთვის არ არის ნათელი. გამონაკლისი არ იყო ისეთი თემა, როგორიცაა კომპლექტების კარდინალურობა. სინამდვილეში, ეს სხვა არაფერია, თუ არა ობიექტების რაოდენობის რიცხვითი გამოხატულება. ზოგადი გაგებით, სიმრავლე არის აქსიომა; მას არ აქვს განმარტება. იგი დაფუძნებულია ნებისმიერ ობიექტზე, უფრო სწორად მათ კომპლექტზე, რომელიც შეიძლება იყოს ცარიელი, სასრული ან უსასრულო. გარდა ამისა, ის შეიცავს მთელ რიცხვებს ან ნატურალურ რიცხვებს, მატრიცებს, მიმდევრობებს, სეგმენტებსა და წრფეებს.
არსებული ცვლადების შესახებ
ნულოვანი ან ცარიელი ნაკრები, რომელსაც არ გააჩნია შინაგანი მნიშვნელობა, ითვლება კარდინალურ ელემენტად, რადგან ის არის ქვესიმრავლე. არა ცარიელი S სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეების კოლექცია არის სიმრავლეთა ნაკრები. ამრიგად, მოცემული სიმრავლის სიმძლავრის კომპლექტი ითვლება მრავალრიცხოვან, წარმოდგენად, მაგრამ ერთჯერადად. ამ სიმრავლეს ეწოდება S-ის ძალთა სიმრავლე და აღინიშნება P (S)-ით. თუ S შეიცავს N ელემენტს, მაშინ P(S) შეიცავს 2^n ქვესიმრავლეს, რადგან P(S)-ის ქვესიმრავლე არის ან ∅ ან ქვესიმრავლე, რომელიც შეიცავს r ელემენტებს S-დან, r=1, 2, 3, … შედგება უსასრულო ყველაფრისგან.კომპლექტს M ეწოდება სიმძლავრის სიდიდე და სიმბოლურად აღინიშნება P (M).
სიმრავლეების თეორიის ელემენტები
ცოდნის ეს სფერო შეიმუშავა ჯორჯ კანტორმა (1845-1918). დღეს იგი გამოიყენება მათემატიკის თითქმის ყველა დარგში და მისი ფუნდამენტური ნაწილია. სიმრავლეების თეორიაში ელემენტები წარმოდგენილია სიის სახით და მოცემულია ტიპების (ცარიელი სიმრავლე, ერთტონიანი, სასრული და უსასრულო სიმრავლეები, ტოლი და ეკვივალენტი, უნივერსალური), კავშირი, კვეთა, სხვაობა და რიცხვების შეკრება. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად ვსაუბრობთ საგნების კრებულზე, როგორიცაა გასაღებების თაიგული, ჩიტების ფარა, ბარათების შეკვრა და ა.შ. მათემატიკის მე-5 კლასში და მის შემდეგ არის ბუნებრივი, მთელი, მარტივი და შედგენილი რიცხვები.
შეიძლება ჩაითვალოს შემდეგი კომპლექტები:
- ბუნებრივი რიცხვები;
- ანბანის ასოები;
- პირველადი შანსები;
- სამკუთხედები სხვადასხვა გვერდით.
შეიძლება ნახოთ, რომ ეს მითითებული მაგალითები არის კარგად განსაზღვრული ობიექტების ნაკრები. განვიხილოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი:
- ხუთი ყველაზე ცნობილი მეცნიერი მსოფლიოში;
- შვიდი ლამაზი გოგონა საზოგადოებაში;
- სამი საუკეთესო ქირურგი.
ეს კარდინალურობის მაგალითები არ არის კარგად განსაზღვრული ობიექტების კოლექციები, რადგან კრიტერიუმები "ყველაზე ცნობილი", "ყველაზე ლამაზი", "საუკეთესო" განსხვავდება ადამიანიდან მეორეზე.
კომპლექტები
ეს მნიშვნელობა არის სხვადასხვა ობიექტების კარგად განსაზღვრული რაოდენობა.ვივარაუდოთ, რომ:
- სიტყვების ნაკრები არის სინონიმი, აგრეგატი, კლასი და შეიცავს ელემენტებს;
- ობიექტები, წევრები თანაბარი ტერმინებია;
- კომპლექტები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ასოებით A, B, C;
- კომპლექტის ელემენტები წარმოდგენილია პატარა ასოებით a, b, c.
თუ „ა“არის A სიმრავლის ელემენტი, მაშინ ნათქვამია, რომ „ა“ეკუთვნის A-ს. მოდი, ფრაზა „ეკუთვნის“ბერძნული სიმბოლოთი „∈“(ეპსილონი) აღვნიშნოთ. ამრიგად, გამოდის, რომ a ∈ A. თუ 'b' არის ელემენტი, რომელიც არ ეკუთვნის A-ს, ეს წარმოდგენილია როგორც b ∉ A. მე-5 კლასის მათემატიკაში გამოყენებული ზოგიერთი მნიშვნელოვანი ნაკრები წარმოდგენილია სამი შემდეგი მეთოდის გამოყენებით:
- აპლიკაციები;
- რეესტრი ან ცხრილი;
- ფორმაციის შექმნის წესი.
უფრო დეტალური შემოწმებისას, განაცხადის ფორმა ეფუძნება შემდეგს. ამ შემთხვევაში მოცემულია ნაკრების ელემენტების მკაფიო აღწერა. ისინი ყველა ჩასმულია ხვეული ბრეკეტებით. მაგალითად:
- 7-ზე ნაკლები კენტი რიცხვების ნაკრები - იწერება როგორც {7-ზე ნაკლები};
- 30-ზე მეტი და 55-ზე ნაკლები რიცხვების ნაკრები;
- მოსწავლეთა რაოდენობა კლასში, რომელიც მასწავლებელზე მეტს იწონის.
რეგესტრის (ცხრილის) ფორმაში ნაკრების ელემენტები ჩამოთვლილია წყვილი ფრჩხილებში {} და გამოყოფილია მძიმეებით. მაგალითად:
- მოვცეთ N აღვნიშნოთ პირველი ხუთი ნატურალური რიცხვის სიმრავლე. ამიტომ, N=→ რეგისტრაციის ფორმა
- ინგლისური ანბანის ყველა ხმოვანთა ნაკრები. აქედან გამომდინარე V={a, e, i, o, u, y} → რეგისტრაციის ფორმა
- ყველა კენტი რიცხვის სიმრავლე 9-ზე ნაკლებია. ამიტომ, X={1, 3, 5, 7} → ფორმარეესტრი
- ყველა ასოების ნაკრები სიტყვაში "მათემატიკა". ამიტომ, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → რეესტრის ფორმა
- W არის წლის ბოლო ოთხი თვის ნაკრები. ამიტომ, W={სექტემბერი, ოქტომბერი, ნოემბერი, დეკემბერი} → რეესტრი.
გაითვალისწინეთ, რომ ელემენტების ჩამოთვლის თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს, მაგრამ ისინი არ უნდა განმეორდეს. კონსტრუქციის დადგენილი ფორმა, მოცემულ შემთხვევაში, წესი, ფორმულა ან ოპერატორი იწერება წყვილ ფრჩხილებში, რათა კომპლექტი სწორად იყოს განსაზღვრული. ნაკრების შემქმნელის ფორმაში, ყველა ელემენტს უნდა ჰქონდეს ერთი და იგივე თვისება, რათა გახდეს მოცემული მნიშვნელობის წევრი.
სიმრავლის წარმოდგენის ამ ფორმით, სიმრავლის ელემენტი აღწერილია სიმბოლოთი "x" ან ნებისმიერი სხვა ცვლადი, რასაც მოჰყვება ორწერტილი (":" ან "|" გამოიყენება აღსანიშნავად). მაგალითად, ვთქვათ P იყოს 12-ზე მეტი თვლადი რიცხვების სიმრავლე. P კომპლექტის აღმშენებლის ფორმაში იწერება როგორც - {თვლადი რიცხვი და 12-ზე მეტი}. ის იკითხება გარკვეული გზით. ანუ, "P არის x ელემენტების სიმრავლე, რომ x არის თვლადი და 12-ზე მეტი."
მოხსნილი მაგალითი სამი სიმრავლის წარმოდგენის მეთოდის გამოყენებით: მთელი რიცხვების რაოდენობა -2-დან 3-მდე. ქვემოთ მოცემულია სხვადასხვა ტიპის სიმრავლის მაგალითები:
- ცარიელი ან ნულოვანი ნაკრები, რომელიც არ შეიცავს ელემენტს და აღინიშნება სიმბოლოთი ∅ და იკითხება როგორც ph. სიის სახით ∅ იწერება {}. სასრული სიმრავლე ცარიელია, რადგან ელემენტების რაოდენობა არის 0. მაგალითად, მთელი რიცხვების სიმრავლე 0-ზე ნაკლებია.
- ცხადია არ უნდა იყოს <0. ამიტომ, ესცარიელი ნაკრები.
- ნაკრებს, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს, ეწოდება ერთტონიანი ნაკრები. არც მარტივია და არც რთული.
სასრული ნაკრები
სიმრავლეს, რომელიც შეიცავს ელემენტების გარკვეულ რაოდენობას, ეწოდება სასრული ან უსასრულო სიმრავლე. ცარიელი ეხება პირველს. მაგალითად, ყველა ფერის ნაკრები ცისარტყელაში.
Infinity არის ნაკრები. მასში შემავალი ელემენტების ჩამოთვლა შეუძლებელია. ანუ მსგავსი ცვლადების შემცველობას უსასრულო სიმრავლე ეწოდება. მაგალითები:
- სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლის სიმძლავრე;
- ყველა მარტივი რიცხვის ნაკრები.
მაგრამ უნდა გესმოდეთ, რომ ნაკრების გაერთიანების ყველა კარდინალობა არ შეიძლება იყოს გამოხატული სიის სახით. მაგალითად, რეალური რიცხვები, რადგან მათი ელემენტები არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ ნიმუშს.
სიმრავლის კარდინალური რიცხვი არის სხვადასხვა ელემენტების რაოდენობა მოცემულ რაოდენობაში A. იგი აღინიშნება n (A).
მაგალითად:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. ამიტომ, n (A)=4.
- B=ასოების ნაკრები სიტყვაში ALGEBRA.
ექვივალენტური კომპლექტები ნაკრების შედარებისთვის
A და B სიმრავლის ორი კარდინალობა ასეთია, თუ მათი კარდინალური რიცხვი იგივეა. ეკვივალენტური ნაკრების სიმბოლოა "↔". მაგალითად: A ↔ B.
ტოლი სიმრავლეები: A და B სიმრავლების ორი კარდინალობა, თუ ისინი შეიცავენ ერთსა და იმავე ელემენტებს. თითოეული კოეფიციენტი A-დან არის ცვლადი B-დან და B-დან თითოეული არის A-ს მითითებული მნიშვნელობა.ამიტომ, A=B. კარდინალურობის გაერთიანებების სხვადასხვა ტიპები და მათი განმარტებები ახსნილია მოწოდებული მაგალითების გამოყენებით.
სასრულობისა და უსასრულობის არსი
რა განსხვავებაა სასრულ სიმრავლესა და უსასრულო სიმრავლის კარდინალურობას შორის?
პირველ მნიშვნელობას აქვს შემდეგი სახელი, თუ ის ცარიელია ან აქვს ელემენტების სასრული რაოდენობა. სასრულ ნაკრებში, ცვლადი შეიძლება იყოს მითითებული, თუ მას აქვს შეზღუდული რაოდენობა. მაგალითად, ნატურალური რიცხვის გამოყენებით 1, 2, 3. და ჩამონათვალის პროცესი მთავრდება ზოგიერთ N-ზე. S სასრულ სიმრავლეში დათვლილი სხვადასხვა ელემენტების რაოდენობა აღინიშნება n-ით (S). მას ასევე უწოდებენ ორდენს ან კარდინალს. სიმბოლურად აღინიშნება სტანდარტული პრინციპის მიხედვით. ამრიგად, თუ ნაკრები S არის რუსული ანბანი, მაშინ ის შეიცავს 33 ელემენტს. ასევე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ელემენტი არ ჩნდება ერთზე მეტჯერ ნაკრებში.
უსასრულო ნაკრებში
სიმრავლეს ეწოდება უსასრულო, თუ ელემენტების ჩამოთვლა შეუძლებელია. თუ მას აქვს შეუზღუდავი (ანუ უთვალავი) ნატურალური რიცხვი 1, 2, 3, 4 ნებისმიერი n-ისთვის. სიმრავლეს, რომელიც არ არის სასრული, ეწოდება უსასრულო. ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ განხილული რიცხვითი მნიშვნელობების მაგალითები. დასრულების მნიშვნელობის ვარიანტები:
- მოვცეთ Q={25-ზე ნაკლები ბუნებრივი რიცხვები. მაშინ Q არის სასრული სიმრავლე და n (P)=24.
- მოვცეთ R={მთლიანი რიცხვები 5-დან 45-მდე. მაშინ R არის სასრული სიმრავლე და n (R)=38.
- მოდით S={ნომრების მოდული 9}. შემდეგ S={-9, 9} არის სასრული სიმრავლე და n (S)=2.
- ყველა ადამიანის ნაკრები.
- ყველა ფრინველის რაოდენობა.
უსასრულო მაგალითები:
- სიბრტყეზე არსებული წერტილების რაოდენობა;
- წრფის სეგმენტის ყველა წერტილის რაოდენობა;
- 3-ზე გაყოფილი დადებითი მთელი რიცხვების სიმრავლე უსასრულოა;
- ყველა მთელი და ნატურალური რიცხვი.
ამგვარად, ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან ნათელია, თუ როგორ უნდა განვასხვავოთ სასრული და უსასრულო სიმრავლეები.
კონტინიუმის კომპლექტის სიმძლავრე
თუ შევადარებთ სიმრავლეს და სხვა არსებულ მნიშვნელობებს, მაშინ სიმრავლეს მიმაგრებულია დამატება. თუ ξ უნივერსალურია და A არის ξ-ის ქვესიმრავლე, მაშინ A-ს დანამატი არის ξ-ის ყველა ელემენტის რაოდენობა, რომლებიც არ არიან A-ს ელემენტები. სიმბოლურად, A-ს დანამატი ξ-სთან მიმართებაში არის A'. მაგალითად, 2, 4, 5, 6 ξ-ის ერთადერთი ელემენტებია, რომლებიც არ ეკუთვნის A-ს. ამიტომ, A'={2, 4, 5, 6}
კარდინალურობის უწყვეტობით კომპლექტს აქვს შემდეგი მახასიათებლები:
უნივერსალური სიდიდის
მაგალითად:
- ნატურალური რიცხვების რიცხვი იყოს უნივერსალური სიმრავლე და A იყოს ლუწი. მაშინ A '{x: x არის კენტი სიმრავლე იგივე ციფრებით}.
- მოდით ξ=ასოების ნაკრები ანბანში. A=თანხმოვანთა ნაკრები. შემდეგ A '=ხმოვანთა რაოდენობა.
- უნივერსალური ნაკრების დამატება არის ცარიელი რაოდენობა. შეიძლება აღვნიშნოთ ξ. შემდეგ ξ '=იმ ელემენტების ნაკრები, რომლებიც არ შედის ξ. ცარიელი სიმრავლე φ იწერება და აღინიშნება. ამიტომ ξ=φ. ამრიგად, უნივერსალური ნაკრების კომპლიმენტი ცარიელია.
მათემატიკაში, "კონტინიუმი" ზოგჯერ გამოიყენება რეალური ხაზის წარმოსაჩენად. და ზოგადად, მსგავსი ობიექტების აღსაწერად:
- გაგრძელება (სიმრავლების თეორიაში) - რეალური ხაზი ან შესაბამისი კარდინალური რიცხვი;
- წრფივი - ნებისმიერი მოწესრიგებული ნაკრები, რომელიც იზიარებს რეალური ხაზის გარკვეულ თვისებებს;
- კონტინიუმი (ტოპოლოგიაში) - არა ცარიელი კომპაქტური დაკავშირებული მეტრული სივრცე (ზოგჯერ ჰაუსდორფი);
- ჰიპოთეზა, რომ არცერთი უსასრულო სიმრავლე არ არის მთელ რიცხვებზე მეტი, მაგრამ ნამდვილ რიცხვებზე მცირე;
- კონტინიუმის სიძლიერე არის კარდინალური რიცხვი, რომელიც წარმოადგენს რეალური რიცხვების სიმრავლის ზომას.
არსებითად, კონტინიუმი (გაზომვა), თეორიები ან მოდელები, რომლებიც ხსნიან თანდათანობით გადასვლას ერთი მდგომარეობიდან მეორეზე მკვეთრი ცვლილების გარეშე.
შეერთებისა და გადაკვეთის პრობლემები
ცნობილია, რომ ორი ან მეტი სიმრავლის კვეთა არის რიცხვი, რომელიც შეიცავს ყველა ელემენტს, რომლებიც საერთოა ამ მნიშვნელობებში. სიტყვის ამოცანები სიმრავლეებზე წყდება, რათა მივიღოთ ძირითადი იდეები სიმრავლეების კავშირისა და გადაკვეთის თვისებების გამოყენების შესახებ. ამოხსნა სიტყვების ძირითადი ამოცანებინაკრები ასე გამოიყურება:
მოდით A და B იყოს ორი სასრული სიმრავლე. ისინი ისეთია, რომ n (A)=20, n (B)=28 და n (A ∪ B)=36, იპოვეთ n (A ∩ B)
ურთიერთობა ნაკრებებში ვენის დიაგრამის გამოყენებით:
- ორი სიმრავლის კავშირი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი დაჩრდილული ფართობით, რომელიც წარმოადგენს A ∪ B. A ∪ B, როდესაც A და B არის დისჟონტური სიმრავლეები.
- ორი სიმრავლის კვეთა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვენის დიაგრამით. დაჩრდილული უბნით, რომელიც წარმოადგენს A ∩ B.
- სხვაობა ორ კომპლექტს შორის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვენის დიაგრამებით. დაჩრდილული ფართობით, რომელიც წარმოადგენს A - B.
- ურთიერთობა სამ კომპლექტს შორის ვენის დიაგრამის გამოყენებით. თუ ξ წარმოადგენს უნივერსალურ რაოდენობას, მაშინ A, B, C არის სამი ქვესიმრავლე. აქ სამივე ნაკრები ერთმანეთს ემთხვევა.
კომპლექტის ინფორმაციის შეჯამება
ნაკრების კარდინალურობა განისაზღვრება, როგორც ცალკეული ელემენტების მთლიანი რაოდენობა კომპლექტში. და ბოლო მითითებული მნიშვნელობა აღწერილია, როგორც ყველა ქვეჯგუფის რაოდენობა. ასეთი საკითხების შესწავლისას საჭიროა მეთოდები, მეთოდები და გადაწყვეტილებები. ასე რომ, ნაკრების კარდინალურობისთვის, შემდეგი მაგალითები შეიძლება იყოს:
მოვუშვათ A={0, 1, 2, 3}| |=4, სადაც | A | წარმოადგენს A ნაკრების კარდინალურობას.
ახლა შეგიძლიათ იპოვოთ თქვენი კვების ბლოკი. ეს ასევე საკმაოდ მარტივია. როგორც უკვე ითქვა, სიმძლავრის კომპლექტი მითითებულია მოცემული რიცხვის ყველა ქვეჯგუფიდან. ასე რომ, ძირითადად უნდა განისაზღვროს A-ს ყველა ცვლადი, ელემენტი და სხვა მნიშვნელობა,რომლებიც არის {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
ახლა გამოთვალეთ P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} რომელსაც აქვს 16 ელემენტი. ამრიგად, ნაკრების კარდინალურობა A=16. ცხადია, ეს არის დამღლელი და შრომატევადი მეთოდი ამ პრობლემის გადასაჭრელად. თუმცა, არსებობს მარტივი ფორმულა, რომლითაც, პირდაპირ, შეგიძლიათ იცოდეთ ელემენტების რაოდენობა მოცემული რიცხვის სიმძლავრის კომპლექტში. | P |=2 ^ N, სადაც N არის ელემენტების რაოდენობა ზოგიერთ A-ში. ამ ფორმულის მიღება შესაძლებელია მარტივი კომბინატორიკის გამოყენებით. ასე რომ, კითხვა არის 2^11, რადგან ელემენტების რაოდენობა A სიმრავლეში არის 11.
ასე რომ, სიმრავლე არის ნებისმიერი რიცხობრივად გამოხატული სიდიდე, რომელიც შეიძლება იყოს ნებისმიერი შესაძლო ობიექტი. მაგალითად, მანქანები, ხალხი, ნომრები. მათემატიკური გაგებით, ეს კონცეფცია უფრო ფართო და განზოგადებულია. თუ საწყის ეტაპზე დალაგებულია რიცხვები და მათი გადაწყვეტის ვარიანტები, მაშინ შუა და მაღალ ეტაპებზე პირობები და ამოცანები გართულებულია. ფაქტობრივად, კომპლექტის გაერთიანების კარდინალურობა განისაზღვრება ობიექტის რომელიმე ჯგუფის კუთვნილებით. ანუ ერთი ელემენტი ეკუთვნის კლასს, მაგრამ აქვს ერთი ან მეტი ცვლადი.
